倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動同步機理與實驗研究1)

鄒 敏 方 潘 , 侯勇俊 , 彭 歡 王德金

* (西南石油大學機電工程學院,成都 610500)

? (石油天然氣裝備技術(shù)四川省科技資源共享服務平臺,成都 610500)

引言

振動同步可以表征為運動系統(tǒng)根據(jù)內(nèi)部子系統(tǒng)之間的耦合效應調(diào)整特征量的變化頻率,并使子系統(tǒng)的位移、速度等變量具有一致性和統(tǒng)一性.近年來,由于同步在非線性耦合混沌系統(tǒng)[1-2]、復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)[3]、多軸控制系統(tǒng)[4-5]、振動篩系統(tǒng)[6-7]等工程技術(shù)中具有很高的應用價值和良好的應用前景,已成為國內(nèi)外重要科學研究課題之一.特別是在振動篩分領(lǐng)域,自20 世紀中葉前蘇聯(lián)學者Blekhanm 首次對兩相同激振器同步給出理論解釋[8]后,利用偏心轉(zhuǎn)子同步激勵振動質(zhì)體便開始用于實現(xiàn)物料的篩選與分級.按照振動篩的振動軌跡分類,至今共發(fā)展了四類振動篩:圓振動篩、直線同步振動篩、平動橢圓同步振動篩和雙軌跡同步振動篩[9].在整個振動系統(tǒng)中,激振電機的同步狀態(tài)是影響振動篩工作效率的核心因素.

目前針對振動系統(tǒng)同步機理和實驗的研究主要側(cè)重于單頻激勵多電機振動系統(tǒng).比如,趙春雨等[10-11]根據(jù)異步電機運動學原理導出以角轉(zhuǎn)速為變量的電磁轉(zhuǎn)矩表達式,從而進一步探究振動系統(tǒng)在同轉(zhuǎn)速偏心塊激勵下的動力學行為和同步穩(wěn)定性理論,并有效解決了若干工程實際問題.通過將剛性轉(zhuǎn)子安裝在兩個彈性阻尼支座上,Sperling 等[12]提出一種帶有雙平面自動平衡裝置的轉(zhuǎn)子同步模型,并根據(jù)運動方程進行數(shù)值計算后發(fā)現(xiàn),當轉(zhuǎn)子速度高于系統(tǒng)最大共振轉(zhuǎn)速范圍時,系統(tǒng)可以有效補償剛性轉(zhuǎn)子的離心力和不平衡力矩從而獲得同步振動.Balthazar等[13-14]基于數(shù)值模擬定量地分析了非線性振動系統(tǒng)中4 個非理想激振器安裝于柔性支撐結(jié)構(gòu)的同步運動,表明在共振頻率階段的Sommerfeld 效應顯著影響激振電機的同步性.上述學者從振動力學理論角度研究了單頻自同步振動系統(tǒng)的同步機理,但是忽略了系統(tǒng)的機電耦合動力特性.針對機電耦合誘導的單頻振動系統(tǒng)同步傳動行為,侯勇俊等[15-16]考慮電機系統(tǒng)與振動機械系統(tǒng)之間的相互影響,采用轉(zhuǎn)子動力學理論成功構(gòu)造三機橢圓振動系統(tǒng)的機電耦合數(shù)學模型,揭示轉(zhuǎn)子與振動質(zhì)體間同步傳動的機電耦合機理.方潘等[17]在侯勇俊的研究基礎上將振動電機視為與擺桿耦合的擺動電機,并成功把單自由度轉(zhuǎn)子耦合擺裝置同步問題轉(zhuǎn)化為研究質(zhì)體瞬時響應解的存在性和穩(wěn)定性.然而,該系統(tǒng)受限于質(zhì)體單一振動方向而不適用于實際篩分工程.所以文獻[18-19]更深入探討了多轉(zhuǎn)子耦合擺電機的多自由度振動同步特性,并引入相鄰交叉耦合控制策略實現(xiàn)系統(tǒng)的橢圓篩分軌跡和零相位控制同步.Zhang等[20-22]運用非線性動力學理論推導了多個同頻驅(qū)動轉(zhuǎn)子與圓柱滾子耦合的同步運動方程,并結(jié)合實驗平臺討論了滾子與轉(zhuǎn)子之間的同步傳動機理與動態(tài)特性.以上研究僅僅闡述了由相同激振器驅(qū)動振動機械的動力學理論,將它們應用到振動篩分工程后發(fā)現(xiàn),物料的篩分能力并沒有得到顯著提升.主要原因是不同粒徑顆粒在單一頻率激勵下受到相同激振力作用,一旦形成篩網(wǎng)堵塞將會影響系統(tǒng)透篩率.而倍頻振動系統(tǒng)單周期內(nèi)由于受到不同形式的激振力,物料運動更為活躍的同時有助于減小篩堵概率.

針對振動系統(tǒng)的雙頻同步行為已有學者做出一些試探性研究,以提高系統(tǒng)物料分級與篩分能力.Modrzewski 和Wodzinski[23-24]設計了3 種不同類型振動篩用于研究礦物廢棄物的分離特性,實驗對比表明雙頻系統(tǒng)的同步行為和篩選能力優(yōu)于其他振動結(jié)構(gòu),但是缺乏振動系統(tǒng)的理論支撐.姚運仕等[25-26]則提出了一種采用單電機輪系傳動方式實現(xiàn)激振器兩種不同頻率的強迫同步,然而受激振器回轉(zhuǎn)振動和箱體振動的影響,輪系承受較大的沖擊載荷和慣性載荷容易引發(fā)齒輪疲勞失效.馮忠緒等[27]引入運動學微分方程闡述了雙頻振動篩的工作原理,卻并沒有對雙頻振動系統(tǒng)的模型做出修正,缺陷依然存在.因此,有必要采用雙頻激勵多電機自同步振動系統(tǒng)(激振器之間無強迫同步的輪系)來實現(xiàn)雙頻振動系統(tǒng)的同步運動,以提高振動篩的壽命與可靠性.根據(jù)振動系統(tǒng)的能量傳遞過程,文獻[28]引入Lyapunov一次近似理論從數(shù)學上證明了雙轉(zhuǎn)子二倍頻系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)定同步運動是可行的,但忽視了結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對系統(tǒng)動力學特性和同步運動狀態(tài)的影響.Zou等[9,29]雖然根據(jù)同步性條件討論了遠共振系統(tǒng)中雙電機倍頻同步范圍,并從同步控制角度出發(fā)利用計算機仿真實現(xiàn)穩(wěn)定零相位差控制同步,但是并沒有通過數(shù)值計算定量探討系統(tǒng)的內(nèi)在耦合特性,同時缺乏實驗驗證其研究的正確性,無法全面揭示振動系統(tǒng)的雙頻同步機理.

綜上所述,現(xiàn)有研究對倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動同步機理和動力學特性分析尚未明確,從而對系統(tǒng)的同步溯源缺少充分的理論依據(jù).本文將圍繞倍頻振動系統(tǒng)的振動同步機理、同步特征參數(shù)定量計算、模擬仿真以及振動實驗測試四個方面展開研究.重點討論了轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量、電機安裝位置、支撐彈簧剛度以及偏心半徑等參數(shù)對系統(tǒng)倍頻同步狀態(tài)的影響,通過實驗平臺對不同工況下的箱體以及轉(zhuǎn)子動力學特性進行深入比較與分析,驗證了倍頻振動同步理論研究的正確性,為研制新型非常規(guī)軌跡的振動機械提供了較好的理論依據(jù).

1 數(shù)學模型及運動微分方程

為掌握電機驅(qū)動偏心轉(zhuǎn)子之間的倍頻同步運動機制,研究箱體沿各自由度的動力學響應,本節(jié)旨在推導出振動系統(tǒng)的運動微分方程.如下圖1 所示為倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動系統(tǒng)力學模型.質(zhì)量為m0的箱體與系統(tǒng)基座之間采用4 個壓縮彈簧進行彈性連接,其中彈簧元件沿x,y,ψ自由度的剛度系數(shù)分別考慮為kx,ky,kψ,阻尼系數(shù)fx,fy,fψ分別表征彈簧在能量釋放和吸收過程中沿x,y,ψ方向上的能量耗散.高頻激振電機(即二極感應電機1)和低頻激振電機(即四極感應電機2)固定安裝于箱體之上,分別以轉(zhuǎn)速(i=1,2)驅(qū)動質(zhì)量為mi的偏心塊作同向回轉(zhuǎn)運動.將兩偏心塊等效為偏心距均是r的質(zhì)點,可以看出振動系統(tǒng)所需的激振力是由轉(zhuǎn)子的離心運動產(chǎn)生.定義偏心塊i繞自身旋轉(zhuǎn)中心oi轉(zhuǎn)動的瞬時相位角為φi;箱體的瞬時擺動角為ψ;系統(tǒng)質(zhì)心至電機軸i的安裝距離為li;直線oio″與坐標軸o″x″之間的夾角為βi.當兩電機在動態(tài)坐標系x″o″y″中同步運行時,固定坐標系xoy可通過圖2 的多自由度振動系統(tǒng)坐標轉(zhuǎn)換原則得到.

圖1 倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動系統(tǒng)數(shù)學模型Fig.1 Mathematical model of the vibration system actuated with double-frequency and dual-rotor

圖2 坐標轉(zhuǎn)換原則Fig.2 Principle of coordinate transformation

當系統(tǒng)處于振動狀態(tài)時,高頻轉(zhuǎn)子坐標矩陣Φ1″和低頻轉(zhuǎn)子坐標矩陣Φ2″在動態(tài)坐標系x″o″y″中可分別描述為

動態(tài)坐標系x″o″y″固定于箱體之上,實時地跟隨系統(tǒng)作位移振動和擺動;移動坐標系x′o′y′可通過x″o″y″繞質(zhì)心o″旋轉(zhuǎn)得到;固定坐標系xoy可通過移動x′o′y′得到.Φi和Φi″的坐標矩陣轉(zhuǎn)換方程為

式中,Φi為第i個轉(zhuǎn)子的固定坐標矩陣;[xy]T為系統(tǒng)質(zhì)心沿x,y方向的幅值矩陣;K為變換矩陣.根據(jù)式(1)和式(2),獲得各轉(zhuǎn)子在平面xoy內(nèi)的固定坐標

分析整個振動系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化過程,由轉(zhuǎn)子驅(qū)動箱體產(chǎn)生的系統(tǒng)總動能E為

考慮各電機軸的摩擦系數(shù)分別是f1,f2,則由電機軸的摩擦轉(zhuǎn)動以及彈簧能量吸收和釋放過程中形成的系統(tǒng)總耗散能D為

倍頻激勵雙電機振動系統(tǒng)是一個完整系統(tǒng),將系統(tǒng)的廣義坐標矩陣和各自由度的廣義力矩陣分別考慮為q=[xyψφ1φ2] 和Q=[0 0 0Me1-Re1Me2-Re2].同時引入下列廣義Lagrange 方程建立力學模型的運動微分方程[20]

在振動工程應用中,箱體的質(zhì)量遠遠大于偏心塊的質(zhì)量,即m0mi;箱體的擺動角度遠小于1,即ψ1.因此可以忽略由激振電機安裝誤差造成的耦合慣性矩,把倍頻激振器驅(qū)動的振動系統(tǒng)視為一個多自由度系統(tǒng).將式(4)～式(6)代入方程(7),并考慮系統(tǒng)總質(zhì)量M=m0+m1+m2,獲得倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動系統(tǒng)動力學模型的運動微分方程

2 倍頻振動同步機理

2.1 系統(tǒng)各自由度響應近似解

式(8)是關(guān)于x,y,ψ,φ1,φ2的動力學耦合方程.若兩個轉(zhuǎn)子均以各自額定轉(zhuǎn)速同步振動時,激振電機作為系統(tǒng)驅(qū)動源同樣分別以角速度和運行.此時波動很小,可對運動微分方程中的角加速度忽略不計.為獲得方程的穩(wěn)態(tài)強迫振動響應近似解,將系統(tǒng)參數(shù)分別替換為下列無量綱參數(shù)形式

采用復變函數(shù)規(guī)則求解[30],可推導出箱體的周期性幅值響應解為

式中,ρc1,ρc2分別是激振器1 和2 沿c方向的振幅放大因子; γc1,γc2分別是激振器1 和2 沿c方向的滯后相位角.

2.2 系統(tǒng)倍頻自同步準則

通過偏心塊間相位差的變化趨勢可反映出兩臺激振電機的同步特性,從而揭示振動系統(tǒng)的動力學特征.在同步振動過程中,以低頻電機的特性參數(shù)為基準,兩轉(zhuǎn)子的平均相位為φ=(φ1/2+φ2)/2.高頻轉(zhuǎn)子與低頻轉(zhuǎn)子的瞬時相位角可分別表示如下

在單頻激勵的振動系統(tǒng)中,其同步穩(wěn)定性通過轉(zhuǎn)子間的真實相位差值表示.然而在倍頻激勵的振動同步系統(tǒng)中,真實相位差φ1-φ2=φ+3α0是一個關(guān)于時間t的函數(shù),即φ1-φ2不穩(wěn)定,無法用于揭示倍頻同步機理.因此,考慮到兩振動電機的轉(zhuǎn)速關(guān)系,可定義倍頻激勵振動系統(tǒng)的相位差為

依據(jù)修正的小參數(shù)平均法[10,20],雖然轉(zhuǎn)子平均角速度是一個與時間有關(guān)的慢變參量,但是當整個系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)同步振動時,依然可以視為在ωm附近周期性波動.以低頻轉(zhuǎn)子的運動特性為基準,將其最小正周期T作為時域上的積分區(qū)間,此時在T內(nèi)積分應視為常數(shù)

引入擾動參數(shù)ε1與ε2分別表征與在瞬時狀態(tài)下的波動程度,可寫為

當系統(tǒng)達到同步振動時,偏心塊的轉(zhuǎn)速不產(chǎn)生變化,說明電機的負載轉(zhuǎn)矩近似等于電磁轉(zhuǎn)矩,即實際輸出轉(zhuǎn)矩與驅(qū)動轉(zhuǎn)矩達到動態(tài)平衡的狀態(tài).而在能量傳遞和能量耦合振動過程中,電機的電磁轉(zhuǎn)矩值是時變的,需要通過轉(zhuǎn)子1 和2 在周期T內(nèi)的微分運動方程的積分平均值來表征.因此先采用式(11)計算得到參數(shù),然后將其代入方程(8)后兩式中并積分求平均,忽略擾動參數(shù)εi的高階無窮小項的影響,則兩轉(zhuǎn)子的運動平衡方程可以推導出

式中

式中,Mi是電機i的輸入轉(zhuǎn)矩;ki是電機i在額定轉(zhuǎn)速運行時的剛度系數(shù);npi是電機i的磁極對數(shù),np1=1,np2=2;Lmi和Lsi分別是電機i的互感系數(shù)和定子電感;Rri是電機i的轉(zhuǎn)子阻抗;Us是電機額定電壓;ωi是電機i的額定激振頻率;ωs是電網(wǎng)供電頻率.

重新整理方程(18),將其寫成與電磁轉(zhuǎn)矩有關(guān)的一階微分方程的矩陣形式

式中,方程(23)稱為振動系統(tǒng)耦合方程,反映了倍頻激勵下兩個偏心塊之間的耦合運動關(guān)系.P為與轉(zhuǎn)子加速度有關(guān)的慣性耦合矩陣;Q為與轉(zhuǎn)子角速度有關(guān)的剛度耦合矩陣;R為各電機軸上的電磁轉(zhuǎn)矩與負載轉(zhuǎn)矩之差.當激振器之間達到穩(wěn)定的同步振動,擾動參數(shù)矩陣和的值與振動電機的激勵頻率相比可忽略,其變化量在T內(nèi)的平均波動是零,即.將它代入耦合方程(23),兩電機軸間的平衡轉(zhuǎn)矩方程可以描述為通過分析方程(25)可以確定振動系統(tǒng)倍頻激勵下的自同步準則.第一式表示兩振動電機的電磁輸出轉(zhuǎn)矩之和,ωm(2f1+f2)表示兩振動電機軸上的摩擦力矩之和,其余項表示振動系統(tǒng)在倍頻激勵下的負載轉(zhuǎn)矩之和.因此第一式揭示了兩電機同步狀態(tài)下的電磁轉(zhuǎn)矩之和與激振器摩擦力矩以及負載轉(zhuǎn)矩的總和相等.方程(25)中第二式表示兩電機以各自額定激振頻率工作時的轉(zhuǎn)矩差分方程.高頻電機與低頻電機之間的電磁轉(zhuǎn)矩以彈性振動體為媒介相互傳遞,通過調(diào)節(jié)兩個轉(zhuǎn)子之間的瞬時相位差來平衡兩個電機輸出轉(zhuǎn)矩的差值,以保證高頻轉(zhuǎn)子與低頻轉(zhuǎn)子達到倍頻自同步狀態(tài).根據(jù)上述差分方程并考慮相應的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)可以反解得到系統(tǒng)同步相位差值.另外Ws與Wc分別是與滯后相位γci(c=x,y,ψ;i=1,2)有關(guān)的正弦系數(shù)和余弦系數(shù).由于箱體的支撐彈簧在各方向的相對阻尼系數(shù)ξc普遍較小,則存在于Ws中與滯后相位有關(guān)的正弦項可忽略.最后,方程(25)第二式可以進一步整理為

式中,Tri為電機i的剩余轉(zhuǎn)矩;Td為兩電機間的剩余轉(zhuǎn)矩之差;Tsyn為系統(tǒng)實現(xiàn)倍頻同步的同步轉(zhuǎn)矩.由式(27)可以看出,振動系統(tǒng)在倍頻激勵下的同步相位差值是由參數(shù)Td,Tsyn和θc共同確定的,而它們又依賴于激振器安裝在箱體上的位置結(jié)構(gòu)、偏心質(zhì)量大小、支撐彈簧剛度等一系列參數(shù).因此振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)會對轉(zhuǎn)子的倍頻同步狀態(tài)產(chǎn)生影響.根據(jù)三角函數(shù)的有界性原則,獲得雙轉(zhuǎn)子倍頻同步運動準則為

作為實現(xiàn)倍頻同步振動的必要條件,兩臺電機之間輸出剩余轉(zhuǎn)矩差的絕對值不能超過系統(tǒng)達到倍頻同步的同步轉(zhuǎn)矩.兩臺激振器之間的同步轉(zhuǎn)矩越大,系統(tǒng)實現(xiàn)同步運行越理想,利用數(shù)值解法即可求出式(27)中倍頻激勵下的同步相位差.

為充分理解具有雙頻率激勵特點的系統(tǒng)同步能力,規(guī)定倍頻同步能力指數(shù)ξ

式中,ML=m2r2ωm2(2Ws1+Ws2/2+Wc0+Ws0),表示兩振動電機的最大負載轉(zhuǎn)矩.同步能力指數(shù)ξ反映了激振器所承受的最大負載轉(zhuǎn)矩與倍頻同步轉(zhuǎn)矩比值的絕對值.若ξ越趨近于零,系統(tǒng)獲得同步運動的可行性越大.

2.3 系統(tǒng)倍頻同步穩(wěn)定判據(jù)

根據(jù)式(27)反解得出的相位差可能會存在多解的情況,其中哪一個值具有同步狀態(tài)的穩(wěn)定性,使得系統(tǒng)能夠以二倍激勵頻率穩(wěn)定地同步振動,需要利用Poincare-Lyapunov 方法確定[17].即考慮Pi存在一組特定參數(shù),滿足下列n-1 階特征方程

若上述行列式的特征根δi(i=1,2,···,n-1)實部全部是負值,則參數(shù)的值具有唯一性,系統(tǒng)擁有周期性的穩(wěn)態(tài)響應解;若所有特征根δi實部至少存在一個是正值,則系統(tǒng)的響應解是非穩(wěn)態(tài)的;若所有特征根δi中部分實部是零并且其他根實部均是負值,則系統(tǒng)的響應解穩(wěn)定性由中心流形定理界定.

結(jié)合式(18)和式(31),由倍頻激勵雙偏心塊的同步穩(wěn)定判別式可寫為

轉(zhuǎn)子同步狀態(tài)的穩(wěn)定性決定振動系統(tǒng)的動力學特性,各自由度的瞬態(tài)響應解的穩(wěn)定性依賴于振動電機的安裝參數(shù)、支承彈簧的剛度系數(shù)和偏心質(zhì)量等.系統(tǒng)參數(shù)同時滿足式(29)和式(32)的前提條件下,穩(wěn)定的倍頻同步振動能夠獲得,即式(27)的穩(wěn)態(tài)相位差具有唯一性.由于是一個負數(shù),式(32)簡化為

3 數(shù)值計算與討論

第2 節(jié)以數(shù)學推導的方式詳細探究了倍頻轉(zhuǎn)子間的同步性與穩(wěn)定性判據(jù)以及遠共振系統(tǒng)的動態(tài)耦合機理.可知,系統(tǒng)的同步運動特性主要取決于轉(zhuǎn)子的質(zhì)量比、振動電機位置結(jié)構(gòu)和彈簧剛度等參數(shù).針對轉(zhuǎn)子同步狀態(tài)與系統(tǒng)各參數(shù)之間的關(guān)系,本節(jié)將運用數(shù)值計算對其進行定量的討論.分析結(jié)果為后續(xù)倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的機電耦合動力學模擬和同步特性實驗研究提供重要的理論依據(jù).為便于計算,考慮兩電機安裝距離l1=l2=l,即rl1=rl2=rl.系統(tǒng)基本參數(shù)值如下:m0=92 kg,m1=2 kg,Jm=10 kg·m2,m2=2～ 3.5 kg (η2=0.02～ 0.035),β1=2π/3～5π/6 rad,β2=π/6～ π/3 rad,fx=fy=300～ 3000 N·s/m,fψ=50～ 500 N·m·s/rad (ξx=ξy=ξψ=0.03～ 0.5),kx=ky=1 × 103～ 2 × 107N/m,kψ=1 × 102～ 5 × 106N·m/rad (λx=λy=λψ=0.02～ 2.85),l=0～ 3.6 m (rl=0～ 12).

3.1 振動同步范圍分析

根據(jù)式(29),高頻轉(zhuǎn)子與低頻轉(zhuǎn)子之間的同步條件可以通過轉(zhuǎn)子輸出剩余轉(zhuǎn)矩差和系統(tǒng)同步轉(zhuǎn)矩的關(guān)系來反映.設安裝距離rl以及激振器質(zhì)量比η12為自由變量,在轉(zhuǎn)子2 的不同偏心質(zhì)量下出現(xiàn)同步運動的區(qū)域如圖2 和圖3 所示.當系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)無法滿足同步運動準則時的非同步區(qū)域用黑色指示標記,藍色范圍表示系統(tǒng)在此狀態(tài)下可以出現(xiàn)同步振動.可見,倍頻激勵下雙轉(zhuǎn)子同步區(qū)域遠遠大于不適用于同步運動準則的區(qū)域.振動電機軸至系統(tǒng)質(zhì)心的安裝距離與激振器質(zhì)量比越大,兩電機之間更容易獲得倍頻同步運動.同時,隨著低頻轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量的增加,雙頻振動系統(tǒng)的非同步范圍逐漸減小.由此可知,實現(xiàn)不同頻率之間同步振動的可行性受結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響.在實際工程應用中,通過選擇有效的系統(tǒng)參數(shù),可以滿足振動系統(tǒng)不同的同步特性和工業(yè)要求.

圖3 倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動同步范圍Fig.3 Synchronization region of two rotors driven by double-frequency

3.2 倍頻同步能力分析

按照式(30),已利用數(shù)值計算方法發(fā)現(xiàn)電機在箱體上傾角βi的變化不影響轉(zhuǎn)子倍頻同步能力,本小節(jié)不再討論.給定β1=120°,β2=60°,圖4 揭示了振動系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量和偏心半徑下,振動電機的安裝距離對倍頻轉(zhuǎn)子同步能力指數(shù)的變化規(guī)律.可以看出,隨著低頻轉(zhuǎn)子質(zhì)量參數(shù)η2的增大,系統(tǒng)同步指數(shù)將會逐漸減小.意味著增加低頻轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量有利于提高振動系統(tǒng)的有效激振力,兩電機通過箱體的彈性振動和能量傳遞使得轉(zhuǎn)子間的耦合量增加,從而提高系統(tǒng)的同步能力.同時,以rl=1附近為界線,左邊部分的同步指數(shù)對rl變化的敏感性程度明顯大于右邊,原因在于縮短電機旋轉(zhuǎn)中心至箱體質(zhì)心的距離容易造成電機間用于平衡自身電磁轉(zhuǎn)矩達到同步狀態(tài)的可調(diào)節(jié)量不足.當rl＞ 1 時,ξ的變化幅度趨于平緩,并最終以很小的斜率無限接近于零值附近,表明箱體獲得倍頻同步振動的可行性也越來越高,該結(jié)果符合3.1 節(jié)的倍頻同步范圍分析.對比圖4(a)～4(d),顯示轉(zhuǎn)子的偏心半徑參數(shù)ro不影響系統(tǒng)同步指數(shù)的整體變化趨勢,只改變ξ在相應的ro和rl取值下的值域.另一方面,若β2=60°,ro=0.16 時,對于電機距離參數(shù)rl分別取1,3,5,7,質(zhì)量參數(shù)η2分別為0.02,0.025,0.03,0.035 時,不同支撐彈簧剛度值對系統(tǒng)倍頻同步能力的影響如圖5所示.可見,由于振動系統(tǒng)具有兩個不同的激勵頻率,導致圖中共出現(xiàn)兩個共振區(qū)域,分別位于2.46 × 106N/m 和9.86 × 106N/m 附近.此時,系統(tǒng)各自由度的固有頻率和系統(tǒng)的外界激勵頻率接近,即系統(tǒng)處于近共振狀態(tài),頻率比λx=λy=λψ=1,無法出現(xiàn)激振器穩(wěn)定的倍頻同步狀態(tài)和箱體的周期性振動.

圖4 當β1=120°,β2=60°時的倍頻同步能力Fig.4 Double-frequency synchronization capacity with β1=120°,β2=60°

圖5 當β2=60°,ro=0.16 時的倍頻同步能力Fig.5 Double-frequency synchronization capacity with β2=60°,ro=0.16

3.3 倍頻同步轉(zhuǎn)矩分析

根據(jù)振動系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩差分方程(25) 第2 式和式(27),高頻電機與低頻電機通過箱體的彈性耦合以及動能、勢能與電能等能量之間的相互轉(zhuǎn)化,使得偏心塊以各自額定轉(zhuǎn)速同步驅(qū)動的同時,其電機軸上的電磁轉(zhuǎn)矩可以達到動態(tài)平衡.因此,振動系統(tǒng)的倍頻同步行為問題可以轉(zhuǎn)換為對電機轉(zhuǎn)矩與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系研究.根據(jù)倍頻同步準則(29)與同步穩(wěn)定判別式(33),倍頻同步轉(zhuǎn)矩參數(shù)Tsyn由常數(shù)和余弦系數(shù)Wc兩個因式組成,所以Wc不僅直接影響系統(tǒng)同步轉(zhuǎn)矩的變化,還決定系統(tǒng)同步運動狀態(tài)的穩(wěn)定性,可將Wc等效為倍頻同步轉(zhuǎn)矩.已確定電機傾斜角βi的取值幾乎不影響系統(tǒng)倍頻同步轉(zhuǎn)矩.因此,如圖6 所示運用數(shù)值計算探究了不同轉(zhuǎn)子的偏心距和偏心質(zhì)量下,位置參數(shù)rl與倍頻同步轉(zhuǎn)矩值的關(guān)系.可以看出,當rl=0 時,倍頻同步轉(zhuǎn)矩值同樣為零,此時不滿足式(29)和式(33),即兩電機無法實現(xiàn)倍頻振動.隨著安裝距離的不斷增加,Wc的值逐漸增大,表明轉(zhuǎn)子實現(xiàn)同步的能力越容易,這與3.2 節(jié)的研究結(jié)果相一致.另外假設rl不變,倍頻同步轉(zhuǎn)矩Wc的值將隨著轉(zhuǎn)子2 質(zhì)量的增大而增加,說明在保證電機所能承受最大負載的前提下,適當增大低頻轉(zhuǎn)子的質(zhì)量有利于提高系統(tǒng)的同步性.對比圖6(a)～6(d),討論了轉(zhuǎn)子的偏心半徑ro只會改變Wc在相應的ro和rl取值下的值域,并不會影響振動系統(tǒng)倍頻同步轉(zhuǎn)矩的整體變化趨勢.

圖6 當β1=120°,β2=60°時的倍頻同步轉(zhuǎn)矩Fig.6 Double-frequency synchronization torque with β2=60°,ro=0.16

3.4 雙轉(zhuǎn)子倍頻同步狀態(tài)分析

雙轉(zhuǎn)子倍頻同步運動狀態(tài)是由高低頻振動電機以及剛性箱體之間的耦合振動效應形成的,其值的穩(wěn)定性決定了振動系統(tǒng)沿各自由度的位移響應和動力學特性,是評估系統(tǒng)同步振動的最重要數(shù)字特征.考慮不同的電機傾斜角βi,根據(jù)上述倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子同步理論推導,電機位置結(jié)構(gòu)參數(shù)rl、支撐彈簧剛度值kx和ky以及雙轉(zhuǎn)子相位差近似穩(wěn)態(tài)值α之間的關(guān)系如圖7 所示,數(shù)值計算的正確性將在接下來的模擬仿真和實驗研究中得到驗證.關(guān)于機械系統(tǒng)振動類型可分為:系統(tǒng)1/λc＜ 0.9 時是亞共振系統(tǒng);0.9 ≤ 1/λc≤ 1.1 是近共振系統(tǒng);1.1 ≤ 1/λc≤ 3 是遠共振系統(tǒng);1/λc＞ 3 是超遠共振系統(tǒng)[22].本文考慮系統(tǒng)的kx=ky,kψ可由kx和ky換算得到,kx和ky的取值范圍為1 × 103N/m ＜kx=ky＜ 2 × 105N/m,即頻率比1/λx=1/λy=1/λψ＞ 3.5,研究對象確定為超遠共振系統(tǒng).由圖7 可知,當β1=150°,β2=30°時,隨著安裝距離rl的增加,實現(xiàn)倍頻振動的穩(wěn)定同步狀態(tài)值α在剛度系數(shù)不變的情況下逐漸減小并最終趨于-1.55 rad 附近.同時,考慮rl為一常數(shù),可見x和y方向彈簧剛度系數(shù)的增加幾乎不影響兩振動電機的穩(wěn)態(tài)相位差值的變化情況.若改變兩振動電機的傾斜角度,即增加各電機的βi值,圖7(b)的同步狀態(tài)變化規(guī)律類似于圖7(a),但明顯兩倍頻激勵的轉(zhuǎn)子相位差的值域發(fā)生變化,此時系統(tǒng)同步狀態(tài)趨近于-1.96 rad 附近.另外圖7(c)和7(d)顯示轉(zhuǎn)子在不同的電機傾斜角βi下,其穩(wěn)定同步狀態(tài)值分別鎖定在-2.32 rad 和-3.12 rad 附近.根據(jù)研究結(jié)果表明電機斜傾角βi的取值雖然不對振動系統(tǒng)的同步范圍、同步能力以及同步轉(zhuǎn)矩值產(chǎn)生影響,但是對倍頻轉(zhuǎn)子的同步行為具有一定的耦合作用.系統(tǒng)的激振力與同步運動特性依賴于不同相位差值所反映出的動力學特性,在工程中合理設計振動電機的安裝位置可以實現(xiàn)穩(wěn)定的振動篩分.

圖7 倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子相位差近似穩(wěn)態(tài)值Fig.7 Double-frequency phase difference between the two rotors in steady state

4 計算機模擬與分析

為進一步論證倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動同步理論分析的有效性,明確兩電機在倍頻激振源的驅(qū)動下各轉(zhuǎn)子與箱體的機電耦合動態(tài)特性,掌握系統(tǒng)倍頻振動同步機理,本節(jié)根據(jù)多自由度運動微分方程(8)建立了系統(tǒng)的機電耦合動力學仿真模型,如圖8 所示.采用Runge-Kutta 算法可求解轉(zhuǎn)子與箱體在超遠共振系統(tǒng)中的動態(tài)模擬結(jié)果.求解原理如下:圖中x,y,ψ方向的動力學方程模塊依次表示箱體質(zhì)心沿水平方向、豎直方向以及擺動方向上,以加速度c″ (c=x,y,ψ)作為輸出信號的運動微分方程.同時,利用積分器分別對其進行一次與二次積分運算,獲取箱體沿c自由度瞬時速度c′和瞬時位移c.在高頻振動電機1 與低頻振動電機2 的運動方程中,分別以各自電磁轉(zhuǎn)矩Mei-Rei作為電機i仿真模型的輸入信號,進而輸出轉(zhuǎn)子i的角速度信號.并通過積分器和微分器分別對其進行一次微分和一次積分運算,獲取各轉(zhuǎn)子的瞬時角速度和瞬時相位角.最后,通過引入數(shù)據(jù)總線模塊連續(xù)將輸出信號繼續(xù)視為整個振動系統(tǒng)的初始值,并加入示波模塊以更加直觀地分析各輸出信號的運動特性.根據(jù)此原理,參照第3 節(jié)中的系統(tǒng)基本參數(shù)作為模型仿真參數(shù),可實現(xiàn)由激振器和箱體之間的相互耦合所形成的倍頻同步運動,并針對系統(tǒng)的倍頻振動特性做出相應分析,包括:箱體各方向的運動學研究、轉(zhuǎn)子倍頻同步狀態(tài)研究、轉(zhuǎn)子同步穩(wěn)定性研究以及振動電機的性能參數(shù)分析等.此外,兩振動電機均考慮為鼠籠式異步激振電機,電機模型的各電氣參數(shù)值如下:高頻電機額定功率0.12 kW,額定電壓380 V,工業(yè)電壓頻率50 Hz,額定轉(zhuǎn)速(激振頻率)314 rad/s,磁極對數(shù)1.低頻電機額定功率0.12 kW,額定電壓380 V,工業(yè)電壓頻率50 Hz,額定轉(zhuǎn)速(激振頻率)157 rad/s,磁極對數(shù)2.

圖8 倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動系統(tǒng)機電耦合動力學仿真模型Fig.8 Electromechanical coupling dynamics simulation model of dual-rotor vibration system excited by double-frequency

4.1 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 時的倍頻同步特性

考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)kx=ky=89 586 N/m,kψ=13 560 N·m/rad (λx=λy=λy=0.2),m2=3 kg (η2=0.03,η12=0.67),l=0.36 m (rl=1.2),系統(tǒng)倍頻同步特性模擬結(jié)果如圖9 所示.經(jīng)過計算驗證,此組結(jié)構(gòu)參數(shù)符合同步準則和穩(wěn)定判別式.如圖9(a)所示,同時對高頻振動電機和低頻振動電機提供相同動力源,驅(qū)動各轉(zhuǎn)子作同向回轉(zhuǎn)運動.由于兩電機內(nèi)部性能參數(shù)存在一定的差異,轉(zhuǎn)子1 到達額定轉(zhuǎn)速所消耗的時間相對轉(zhuǎn)子2 較長,導致兩電機在初始階段無法以相同轉(zhuǎn)速同步啟動,并且轉(zhuǎn)子1 的加速度略小于轉(zhuǎn)子2.可見低頻電機率先以152.3 rad/s 到達同步轉(zhuǎn)速狀態(tài),大約運行2 s 后,高頻電機的穩(wěn)態(tài)同步轉(zhuǎn)速為304.6 rad/s,此時系統(tǒng)逐漸獲得周期性振動.將各轉(zhuǎn)子的速度波動范圍與振動電機的實際運行速度相比較,前者遠遠小于后者,證明理論分析中將擾動參數(shù)看作慢變參量并考慮擾動參數(shù)矩陣是可行的.圖9(b)為振動電機的輸出扭矩情況,啟動階段時箱體質(zhì)量較大而施加在激振器旋轉(zhuǎn)軸上的力矩較小,使得振動電機的輸出電磁轉(zhuǎn)矩主要依靠由動力源提供的驅(qū)動力而逐漸增大,并最終分別以7 N·m 和3.5 N·m 穩(wěn)定在一個動態(tài)平衡的位置.此時,可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)子由雙頻激勵的同步振動現(xiàn)象.高頻轉(zhuǎn)子和低頻轉(zhuǎn)子的自定義穩(wěn)態(tài)同步相位差α近似鎖定在-0.63 rad(-264.52 ≈ -84π-0.63),如圖9(c)所示,仿真結(jié)果與圖7(a)的數(shù)值計算結(jié)果較為接近.由于該振動系統(tǒng)是一個平面驅(qū)動振動系統(tǒng),振動電機激勵的轉(zhuǎn)子1 和轉(zhuǎn)子2 均在xoy平面內(nèi)運動,沿xoy平面的垂直方向并無其他激振力.因此圖9(d)和9(e)顯示箱體僅在x,y與ψ自由度上存在位移響應,其幅值分別是1.2 mm,0.8 mm 和0.01 rad.在振動系統(tǒng)從靜止到同步運動狀態(tài)的過渡中,箱體因共振將存在短暫的混沌運動.然后隨著速度上升,其質(zhì)心的穩(wěn)定軌跡將會顯示為如圖9(f)所示的內(nèi)“8”字型.

圖9 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 時的仿真結(jié)果Fig.9 Simulation result when β1=150°,β2=30° and rl=1.2

圖9 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 時的仿真結(jié)果(續(xù))Fig.9 Simulation result when β1=150°,β2=30° and rl=1.2(continued)

4.2 β1=142°,β2=38°,rl=1 時的倍頻同步特性

改變電機位置參數(shù)并考慮kx=ky=89 586 N/m,kψ=13 560 N·m/rad (λx=λy=λy=0.2),m2=3 kg (η2=0.03,η12=0.67),l=0.31 m (rl=1),其他系統(tǒng)參數(shù)見數(shù)值計算部分,進一步論證機械模型的準確性,其倍頻同步特性模擬結(jié)果如圖10 所示.將結(jié)構(gòu)參數(shù)代入振動系統(tǒng)兩個必要條件中進行理論計算,結(jié)果符合關(guān)于穩(wěn)定相位差值的驗證標準.在零時刻同時對高頻電機和低頻電機提供激振源,從圖10(a)可知轉(zhuǎn)子1 的轉(zhuǎn)速上升趨勢明顯慢于轉(zhuǎn)子2,這是因為系統(tǒng)所采用的振動電機為一個二極異步電機和一個四極異步電機,各電機的電氣參數(shù)存在差異性,導致轉(zhuǎn)子在到達額定角速度過程中所需的角加速度值不一樣.運行2 s 之后兩轉(zhuǎn)子逐漸趨于穩(wěn)態(tài),其同步轉(zhuǎn)速分別維持在304.6 rad/s 和152.3 rad/s.同時可以看出,兩振動電機在穩(wěn)態(tài)時的速度波動最大值僅為0.3 rad/s,遠小于振動電機的激勵頻率.另外,圖10(b)顯示為振動電機的輸出電磁轉(zhuǎn)矩.初始時刻由于箱體質(zhì)量和支撐彈簧的剛度值均較大,造成箱體無法馬上激起振動響應.隨著運行時間增長,兩電機的輸出扭矩增大,并經(jīng)過共振區(qū)后逐漸穩(wěn)定在7 N·m 和4 N·m.系統(tǒng)處于穩(wěn)定的倍頻同步運動狀態(tài),圖10(c)反應轉(zhuǎn)子1 與轉(zhuǎn)子2 間的相位差α穩(wěn)定在-1.32 rad(-265.21 ≈ -84π-1.32).與圖7(b)的理論值相比,計算結(jié)果在允許的誤差范圍內(nèi)是吻合的.此外,圖2-圖10(e)揭示了箱體在雙頻激勵下可獲得穩(wěn)定的周期性振動,各自由度的幅值分別確定為1.1 mm,0.6 mm 與0.008 rad.最后結(jié)合箱體質(zhì)心沿x和y方向的穩(wěn)態(tài)響應可以得到如圖10(f)所示的內(nèi)“8”型穩(wěn)態(tài)運動軌跡.

圖10 β1=142°,β2=38°,rl=1 時的仿真結(jié)果Fig.10 Simulation result when β1=150°,β2=30° and rl=1

5 實驗驗證

前文已對倍頻同步系統(tǒng)的理論推導、數(shù)值計算和計算仿真進行詳細的研究,但是研究成果能否應用于振動篩分工程中有待進一步證明.因此設計倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動系統(tǒng)試驗樣機如圖11 所示.電機啟動時,機械裝置在電機激勵偏心塊的離心力作用下產(chǎn)生激振力,其中電機技術(shù)參數(shù)如表1 所示.箱體在彈簧能量吸收和能量釋放過程中發(fā)生位移振動和旋轉(zhuǎn)擺動.隨著兩電機的回轉(zhuǎn)速度比值逐漸以穩(wěn)定的兩倍關(guān)系驅(qū)動偏心塊,基于箱體與電機間的彈性耦合效應,兩偏心塊將會以恒定相位差值做倍頻同步運動,此時箱體在各方向上做周期性振動.根據(jù)實驗樣機制定倍頻同步實驗測試方案,如圖12 所示.實驗平臺包括同步測試系統(tǒng)、實驗樣機和動態(tài)測試系統(tǒng).首先,在動態(tài)測試過程中,測試點的振動信號由一系列加速度傳感器及時采集.然后通過信號放大器和數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)進行分析得到信號的動態(tài)特性.其次,在同步測試過程中,通過高速成像系統(tǒng)準確捕捉高頻轉(zhuǎn)子與低頻轉(zhuǎn)子在瞬時狀態(tài)下的相位差,可以直觀地實現(xiàn)穩(wěn)定同步運動的定量分析.最后將實驗圖像傳輸?shù)接嬎銠C進行存儲和處理.

圖11 試驗樣機:1 二極振動電機;2 四極振動電機;3 偏心塊;4 電機座;5 鋼架;6 鎖緊螺栓;7 箱體;8 支撐彈簧;9 基座Fig.11 Experimental prototype:1 two-pole motor;2 four-pole motor;3 eccentric block;4 motor base;5 steel frame.;6 locking bolt;7 oscillating body;8 supporting spring;9 foundation support

表1 激振電機的技術(shù)參數(shù)Table 1 Technical parameters of the exciting motors

圖12 倍頻同步振動系統(tǒng)的實驗測試方案Fig.12 Experimental testing scheme of double-frequency synchronization vibration system

5.1 參數(shù)β1=150°,β2=30°,rl=1.2 的實驗結(jié)果

根據(jù)圖12 的實驗測試方案,得到參數(shù)β1=150°,β2=30°,rl=1.2 時的倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動系統(tǒng)動力學響應和同步運動狀態(tài),如圖13 和圖14 所示.此組結(jié)構(gòu)參數(shù)下,系統(tǒng)動力學響應根據(jù)兩種不同激勵頻率疊加所產(chǎn)生的波形可視為近似穩(wěn)定的周期振動.箱體沿水平方向的位移單幅值穩(wěn)定在1.1 mm;同時振動系統(tǒng)的沿豎直方向位移響應測得0.65 mm.為實現(xiàn)同向回轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子倍頻同步振動,箱體不僅必須具有穩(wěn)定的幅值響應,還需要兩激振電機獲得同步運動,這依賴于偏心轉(zhuǎn)子相位差的穩(wěn)定性.如圖14所示,利用高速成像系統(tǒng)精確記錄不同瞬時狀態(tài)的偏心轉(zhuǎn)子位置.實驗測試結(jié)果分析表明倍頻同步相位差α基本穩(wěn)定在-39°～ -35°(即-0.68～ -0.61 rad),波動范圍很小.與數(shù)值分析和計算機模擬結(jié)果對比如表2 所示,確定該工況下的同步狀態(tài)實驗最大誤差為9%,符合振動篩分工程的誤差允許范圍.整個機電耦合系統(tǒng)的動能,勢能和電能在同步運行過程中可以產(chǎn)生穩(wěn)定的動態(tài)平衡,所提出的機械模型能夠成功實現(xiàn)倍頻同步運動.

圖13 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 的位移響應Fig.13 Displacement responses with β1=150°,β2=30°,rl=1.2

圖14 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 的同步運動狀態(tài):(a)～ (f) 分別為轉(zhuǎn)子瞬時相位差Fig.14 Synchronous motion state with β1=150°,β2=30°,rl=1.2:(a)～ (f) the instantaneous phase differences between rotors

表2 動力學響應的理論、仿真和實驗對比結(jié)果Table 2 Comparison results among the theories,simulations and experiments of the dynamic responses

5.2 參數(shù)β1=142°,β2=38°,rl=1 的實驗結(jié)果

結(jié)合實驗平臺和理論推導,重新考慮電機安裝位置參數(shù)β1=142°,β2=38°,rl=1,再次研究了實驗系統(tǒng)的機電耦合穩(wěn)態(tài)同步行為,如圖15 和圖16 所示.運用加速度傳感器測得實驗測試點沿水平方向的加速度響應,并在振動分析儀中將加速度值對時間二次積分得到測點的位移振幅為1 mm.同理,對振動系統(tǒng)的豎直方向位移響應測得0.4 mm.此外,系統(tǒng)6 個不同瞬態(tài)的偏心轉(zhuǎn)子位置被高速攝像機準確捕捉.經(jīng)過對倍頻同步狀態(tài)的分析與計算,得出不同瞬態(tài)的轉(zhuǎn)子相位差值α≈ -79°～ -74°(即-1.38～-1.3 rad).理論、仿真和實驗對比結(jié)果如表3 所示.無論是箱體的動力學響應還是轉(zhuǎn)子間的同步狀態(tài),實驗測試結(jié)果與理論推導,計算機仿真結(jié)果基本一致,并且同步狀態(tài)的絕對誤差為3.3%,進一步論證了倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動系統(tǒng)的可行性和正確性.造成波動誤差的原因歸納為:從振動質(zhì)體的角度出發(fā),機械裝置施加在電機軸上的負載具有可變性和非均勻性,這是由于激振電機與箱體之間的耦合作用以及振動系統(tǒng)質(zhì)量分布的不均勻造成的;從激振器的角度出發(fā),實驗測試環(huán)境的溫度和濕度變化對感應電機的各項電氣參數(shù)會有一定的影響,比如電機內(nèi)部轉(zhuǎn)子和定子的電感系數(shù),阻抗系數(shù),互感系數(shù)等.

圖15 β1=142°,β2=38°,rl=1 的位移響應Fig.15 Displacement responses with β1=142°,β2=38°,rl=1

圖16 β1=142°,β2=38°,rl=1 的同步運動狀態(tài):(a)～ (f) 分別為轉(zhuǎn)子瞬時相位差Fig.16 Synchronous motion state with β1=150°,β2=30°,rl=1:(a)～ (f) the instantaneous phase differences between rotors

表3 動力學響應的理論、仿真和實驗對比結(jié)果Table 3 Comparison results among the theories,simulations and experiments of the dynamic responses

6 結(jié)論

本文通過以上理論推導,數(shù)值計算,仿真研究以及實驗驗證詳細揭示了倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動系統(tǒng)的自同步機理和動態(tài)特征.重要結(jié)論概括如下:

(1)系統(tǒng)倍頻同步條件可表征為兩臺激振器之間輸出剩余轉(zhuǎn)矩差的絕對值不能超過倍頻同步轉(zhuǎn)矩值,穩(wěn)定性判據(jù)可通過一個與倍頻同步轉(zhuǎn)矩和同步相位差有關(guān)的判別式反映;

(2)系統(tǒng)的倍頻同步特性主要依賴于安裝位置,激振器的偏心質(zhì)量,支撐彈簧剛度值以及偏心半徑等參數(shù).倍頻同步能力隨著安裝距離的不斷增加而逐漸接近于零值附近,電機間用于平衡電磁轉(zhuǎn)矩達到同步狀態(tài)的耦合量增大,系統(tǒng)獲得倍頻同步振動的可行性越來越高;

(3)系統(tǒng)的倍頻穩(wěn)態(tài)相位差值在單周期內(nèi)隨著電機位置參數(shù)的增大而逐漸趨于平緩,直至系統(tǒng)同步狀態(tài)不再受到安裝距離變化的影響.另外電機傾角不影響同步狀態(tài)的整體變化趨勢,只改變相位差的值域,系統(tǒng)同步狀態(tài)在計算模擬與實驗研究中得到驗證;

(4)與常規(guī)同頻系統(tǒng)不同,倍頻激勵雙轉(zhuǎn)子振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)質(zhì)心運動軌跡顯示為內(nèi)“8”型,為研制新型非常規(guī)軌跡的振動機械提供了較好的理論依據(jù).