多元表征：讓數學思維可見

束楓林

北京市特級教師華應龍老師在“我不是笨小孩——以‘師徒年齡問題為例”一課的教學中，妙用“投石問路”，實現了“直觀操作思維—表象思維—算術思維—代數思維”四個思維階段的順利銜接。而后，華老師在課后反思中這樣寫到：“數學家之所以能在工作中攻克一個又一個難關，一個重要方面是他們能夠將問題在各種各樣的數學表達式間靈活轉換，這些數學表達方式包括符號、語言、圖形、表格、圖表等?！边@其中，符號、語言、圖形、表格、圖表等多種表達方式，即為數學內容的多元表征。在數學教學中，讓學生用數學思維去思考和解決問題一直是難點。由于年齡特點，小學生的思維仍處在由直觀思維向抽象思維的過渡階段。因此，作為教師，應當在教學中采取多元表征的形式，讓數學思維能夠以學生“可見”的方式，幫助他們去理解和掌握知識，發展數學能力。

一、恰當呈現，讓知識內核“看得見”

呈現學習對象多元表征，是指通過言語、操作、圖形、數據、符號等表征從不同的視角運用不同的方式、不同的手段呈現數學對象，并引導學生分層次、逐步地抽象數學學習對象。經由多元化呈現后，數學知識的非本質屬性得以逐步剝離，學生理解數學知識的本質、實現數學意義的多元建構自然而然，從而讓知識內核真正“看得見”。以 “加法交換律”一課為例，加法交換律的內容可以用以下四種方式表征。（如表1）

其中，以數據列舉的形式呈現加法交換律，學生很容易在頭腦中建構起加法交換律的數據表征，以便發現交換律的外部特征，理解交換律的外延，意義建構得以實現;而以動畫操作和圖形的形式呈現交換律，學生自然會在頭腦中建構交換律的圖形表征，同時，這樣的圖形表征又為他們建構交換律的文字表征以及符號表征提供了感性經驗支撐，使得理解交換律的本質內涵更容易，意義建構水到渠成。

值得注意的是，數學學習對象的呈現一定要圍繞數學本質選擇恰當的方式，不可盲目認為方式越多越好。要以相互映襯、相互補充、相互解釋的原則恰到好處地擇機呈現， 做到形不同而質相同。這樣，才能在豐富的數學多元表征下構成數學學習對象的網絡結構，讓知識內核真正“看得見”。

二、巧妙勾連，讓思維方法“看得清”

數學知識體系是一個有機的結構性整體，數學教學中，教師要抓住數學表征內在的多元聯系，引領學生實現數學學科內容各種表征內部的靈活轉換和表征之間的靈活轉譯，促使學生靈活提取數學知識并應用于實踐，讓思維方法“看得清”。這既是實現學生數學知識學習由認識到理解的重要標志，又是數學素養生成的重要標志。

以“認識面積單位”一課為例，教學“1平方厘米”時，可以采用視覺表征的形式，讓1平方厘米的正方形紙片貫穿教學始終。

首先，我讓學生拿出準備好的1平方厘米紙片，明確其面積就是1平方厘米，使得學生對1平方厘米有一個直觀感知。其次，再讓學生用直尺量一量它的邊長，并交流：“1平方厘米的正方形的邊長是多少厘米？”在這一環節，學生通過測量，把視覺表征轉譯成“邊長為1厘米的正方形，面積就是1平方厘米”的語言表征。最后，我引導學生通過“摸一摸”“比一比”“找一找”等多種方式對1平方厘米形成表象，讓他們到生活中找尋1平方厘米的實物。學生有了具體的視覺表征和準確的語言表征后，很自然地找出了許多生活中的1平方厘米大小的實物，從而在腦海里留下了關于“1平方厘米大小”的深刻表象。這樣，通過勾連視覺、語言、記憶三種表征之間的相互轉譯、互換，使得學生理解1平方厘米及面積單位的含義的思維方法一目了然。

三、內外融合，讓思維過程“看得深”

如何將看不見、摸不著的數學思維可視化？一個重要的方式就是恰當融合數學學習對象的內化表征和學生數學思維的外化表征，以構成學生的生態學習循環系統，讓他們的思維過程“看得深”。

以 “解決問題的策略——假設”一課為例，教材中有這樣一道例題：

小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿。已知小杯的容量是大杯的[13]，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

把這道題以問題表征的形式呈現給學生后，我先引導他們將自己內心對學習對象加工的思維表象，用恰當的方式轉譯成可視性表征。這時，發現了學生多元的個性化外部可視表征。

如有的學生用直觀形象的模擬圖表征。（如圖1、圖2）

有的學生則用更高抽象思維水平的線段圖表征、言語文字表征（如圖3、圖4）

在學生對學習對象的思維表象轉譯成可視的模擬圖表征、線段圖表征、言語文字表征后，緊接著，我引導他們更深入地將理解加工后的問題表征進一步轉譯成算式表征，又發現了學生不同的思維外顯。（如圖5、圖6、圖7、圖8）

觀察學生的算式表征，他們的思維過程一覽無遺：如圖5、圖6、圖7、圖8 ，他們是利用分數和比之間的聯系，先將“小杯容量是大杯的 [13]”轉化成“小杯與大杯容量之比是1︰3”。以此，將大、小杯的個數進行靈活轉化并替換成一種杯型的后列式來解答。圖5是把6個小杯換成2個大杯，這樣720 毫升的果汁就相當于倒滿3個大杯，就可先列式求大杯的容量，小杯容量也就迎刃而解。圖6是把1個大杯換成3個小杯，720 毫升的果汁就相當于倒滿9個小杯，于是先列式求小杯的容量，大杯容量同樣順利得解。而圖7、圖8，學生則是運用了方程的思想，根據“小杯的容量是大杯的[13]”或把大杯容量設為x毫升，則小杯容量就是 [13]x毫升，或把小杯容量設為x毫升，則大杯容量就是3x毫升，然后再根據“把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿”列方程順利解決了問題。

由此可見，同樣的問題，不同學生內化后所外化出來的表征是不同的，在這樣一個“內化—外化—再內化”的融合中，我們可以看出學生不同的認知風格以及不同深度的思維水平。

總之，數學多元表征的恰當呈現、互換互譯、內外融合能夠讓學生的思維可見，讓數學學習真正落地，能夠有效實現數學素養的整體提升。作為教師，我們應恰當將數學的多元表征學習融入到平時的數學課堂教學中，實現深度學習，發展綜合學力。

（責任編輯：楊強）