小學數學“變中有不變”思想的實踐與思考

王錫芳

【摘 要】世間百態，瞬息萬變，倘若洞悉了個中奧妙，掌握其中玄機，便能化動為靜，更好地認知世界。其實數學教學莫不如是，在變化萬千的題組變式中，若能抽絲剝繭，把尋到“不變”之匙，定能發現知識本真，撬開與之關聯的諸多問題之鎖，解決相類同的數學問題。“變中有不變”思想，就是讓學生透過現象看本質，把握聯系找規律，進而實現知能、思想、體驗等多方面的成長，提升數學學習的核心素養。在這一過程中當努力做到：從膚淺到深入，讓學生在“變”與“不變”中感知知識的形成過程;從片面到全面，在“變”與“不變”中經歷知識的探索過程;從割裂到統整，在“變”與“不變”中感悟知識的應用過程。

【關鍵詞】“變中有不變”思想 知識形成 知識探索 知識應用

“動與靜”是哲學觀中的一組關鍵詞，用以辯證性地認知世界。動靜相宜，互為補充，此乃融善之道。意為在變幻莫測的現象中，找到不變的規律，以便更好地認識它，為自身服務，可視為不變。在學習數學或用數學解決問題的過程中，也會面對千變萬化的對象，在這些變化中找到不變的性質和規律，發現數學的本質，這就是“變中有不變”思想，正所謂“萬變不離其宗”。數學教學時，面對變化萬千的題組變式，若能引導學生抽絲剝繭，把尋到“不變”之匙，定能發現知識本真，撬開與之關聯的諸多問題之鎖，解決相類同的數學問題。

一、從膚淺到深入，在“變”與“不變”中感知知識的形成過程

知識的獲取和認識不是一蹴而就的，而是有其內在聯系的，需要循序漸進，在多變的外形下引導學生經歷逐步內化的認知過程，促使其真正觸及概念的本質，掌握知識的原理。

如教學“倍的認識”一課，新授環節通過設計三個層次的教學，讓學生在“變”與“不變”中逐步深化對“倍”的認識。第一個層次，教師利用課件進行動態演示，在第一行畫2個圓，告訴學生可以把它看作一份圈起來，并稱它為“1個2”，再出示第二行的圓，讓學生一起來數一數共有幾個2。在此基礎上告訴學生：第一行有1個2，第二行有3個2，像這樣就可以說，第二行的個數是第一行的3倍。接著，通過逐步增加第二行圓的個數，讓學生認識4倍、5倍、6倍直至幾倍。第二個層次，保持第二行圓的個數（12個）不變，變化第一行圓的個數（從2個變成4個），追問學生：“第二行圓的個數是否還是第一行的6倍？”讓學生試著圈一圈。學生在圈的過程中發現第一行有1個4，第二行有3個4，第二行的個數是第一行的3倍。接著去掉第一行的一個圓，變成3個，再次讓學生圈一圈，學生發現第一行有1個3，第二行有4個3，第二行的個數是第一行的4倍。最后，比較三次變圓的過程，提問：“第二行都是12個圓，可為什么有的第二行是第一行的6倍，有的第二行是第一行的4倍，還有的第二行是第一行的3倍呢？”通過探究學生明白：要知道第二行的個數是第一行的幾倍，關鍵是要看清第一行是幾個為一份的，第二行有這樣的幾份，第二行的個數就是第一行的幾倍。第三個層次，屏幕隱去上面圖框中的圓，只留下圖框，引導學生思考：第一行除了可以畫2個圓、3個圓、4個圓，你覺得還可以畫什么？逐步引導學生說出：還可以畫三角形、正方形、紅花、藍花等。最后小結：不管第一行是什么物體，也不管有幾個，只要把第一行的數量看作一份，第二行有這樣的幾份，就可以說，第二行的個數是第一行的幾倍。

上述三個層次，由淺入深，教師通過對例題的巧妙擴容，將倍的概念先解構再建構，讓學生在“變”與“不變”的智慧演繹中，不斷獲得更清晰的概念表象，“倍”的模型也在學生頭腦中悄然生長。在這里，“變”的是物體的個數，“不變”的是“只要把第一行的數量看作一份，第二行有這樣的幾份，第二行的個數是第一行的幾倍”這樣的模型。“變”與“不變”的智慧，加深了學生對“倍”的理解，也點燃了學生樂學的情感。

二、從片面到全面，在“變”與“不變”中經歷知識的探索過程

建構主義哲學認為：學習是一個積極主動的探知過程，是學生自主完成知識建構的過程。因此，在數學課堂中要注重探究式學習，引導學生觀察比較，在“變”與“不變”中經歷知識的探索過程，從而獲得深刻的感性體驗和理性規律，提升自我探究解決問題的能力。

如教學“一一間隔排列”一課，分三個層次讓學生經歷知識的探索過程。第一個層次結合情境圖，讓學生觀察夾子與手帕、小兔與蘑菇、木樁與籬笆這三組物體的排列特點。在讓學生知道什么是一一間隔排列的基礎上，引導他們數一數這些一一間隔排列的物體的個數，并通過觀察、比較形成初步的猜想：兩端物體和中間物體的個數相差1。第二個層次，舉例驗證，用小棒和圓片擺一擺，同桌交流擺法后，全班交流并匯報展示幾種擺法，然后引導學生觀察小棒與圓片的個數，思考：小棒和圓片有著怎樣的排列特點？它們的個數又有怎樣的排列規律？最后得出結論：不管是什么物體，也不管有多少個，只要是一一間隔排成一行，兩端相同，那么兩端物體就比中間物體多1，中間物體就比兩端物體少1。第三個層次，拓展延伸，教師追問：兩端是小棒時，100根小棒之間應擺多少個圓片？若擺了100個圓片需要擺多少根小棒？出示：10個正方形，并引導學生思考：正方形和三角形一一間隔排列，如果正方形有10個，三角形可能有多少個？最多有多少個？最少呢？如果圍成一圈呢？

上述三個層次，由情境引入，不斷變換探究的對象和物體的個數，從一開始的夾子與手帕、兔子與蘑菇、木樁與籬笆，到后來的小棒與圓片，再到后來的正方形和三角形，教師通過不一樣的素材，豐富了學生的感官，讓他們經歷了“初步猜想—舉例驗證—得出結論—拓展延伸”的探索規律的全過程。同時也展現了動態教學的優勢，通過多媒體演示讓學生直觀感知直線與封閉圖形中間隔現象的異同，了解其中的變化規律。教學中，教師不時鼓勵學生透過現象去抓住數學中不變的本質。這種應用不變的本質去解決變與不變的哲學思想是本課的點睛之筆。

三、從割裂到統整，在“變”與“不變”中感悟知識的應用過程

數學問題的呈現情境各不相同，然而其內在解題思路是相通的。如果能夠抓住數學模型來認知，那么就可以去偽存真，不為問題表象所迷惑。培養學生的模型思想，有利于培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。當學生理解并掌握了各種基本的數學模型后，面對變化多樣的數學問題，就可以利用已掌握的模型進行分析求解，把握數學的本質。

如分數應用題一直以來都是學生容易出錯、不易解答的一類題，尤其是當題目中分數、比同時出現時，部分學生會無從下手，不知所措。雖說除法、分數和比表面上有很大不同，除法是一種運算，分數是一種數，比表示一種關系，實際在本質上它們有一致的一面，都可以表示兩個數量之間的關系。教學時，教師要充分認識到這一點，設計具備典型意義的題目，幫助學生厘清數量間的關系。首先，課件出示：“小明讀一本書，已讀和未讀的頁數比是1：5，如果再讀30頁，則已讀的頁數是未讀的3 /5，這本書共有多少頁？”讀題后先讓學生理解1：5和3 —5分別表示的含義，再引導學生思考：什么變了，什么沒變，以及把什么看作單位“1”。在此基礎上，抓住“總頁數”這個不變量，進行合理地分析，變化題中已知條件的表述，“已讀與未讀的頁數比是1：5”變化為“已讀的頁數是總頁數的1/6”，“已讀的頁數是未讀的3/5”變化為“已讀的頁數是總頁數的3 /8”，并借助線段圖分析數量間的關系，列出算式：30÷（3/8-1 /6）。最后，帶領學生回顧整個思考過程并追問：“根據條件，你還能提出哪些問題？”學生很快就能提出“小明還剩多少頁沒有讀”的問題。由于總量已知，要解決這一問題非常簡單，只要用單位“1”（總頁數）乘還剩的頁數的占比。接著，趁熱打鐵，設計一個讓學生找一找不變量的題組，可以是“部分量不變”，也可以是“相差量不變”，讓學生在分析比較中，學會從變化中找到不變量，并把不變量看作單位“1”來解題的方法，同時體會抓住不變量解題的重要性。最后，可以嘗試讓學生自己創編題目，培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力。

如果說新授課上學生對分數、比的認識僅僅是割裂的，是孤立知識點的累加，那么設計分數應用題題組就能很好地將兩者融合，調動學生的解題興趣，豐富教學過程。在一次次的比較分析中，學生充分感受到了雖然題目千變萬化，但可抓住“不變量”來解題的重要性。教師將一些深刻的數學本質生動地呈現出來，學生對數學思想的感悟也隨之增強。

學生探索知識的形成、發展和應用，除了獲取知識，更重要的是經歷探索的過程，獲得積極的體驗，感悟探索數學知識的基本思想與方法。小學數學教學中，抓住“變中有不變”思想展開教學，有助于學生刪繁就簡，抓住本質，形成更簡練的思維品質。“泰山不讓土壤，故能成其大;河海不擇細流，故能就其深。”教師應在每堂課的教學中適時、適當地體現思想方法的教學目標，使學生在潛移默化中日積月累，通過提高數學素養達到學好數學的目的。