正視實驗誤差，讓數學學習真實發生

吳靜

【摘 要】隨著新課改的不斷深入，數學實驗作為學生自主建構數學知識的一種有效方式，已被越來越多的一線教師接受。然而，面對數學實驗中出現的誤差，教師往往會產生“畏難”情緒。教學中，教師要認識到實驗誤差的教學價值，通過引導學生覺察誤差、辨識誤差和控制誤差，優化實驗過程，增進學生的數學理解，提升學生的思維品質，讓數學學學習真實發生。

【關鍵詞】實驗誤差 思維 可見

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“設計必要的數學活動，讓學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感知知識的形成和應用。”數學實驗是為了獲得某種數學理論、檢驗某個數學猜想和解決某類數學問題，借助一定的物質手段，在數學思維活動的參與下所進行的一種數學探索活動。數學實驗是一種常見的數學學習活動，學生以數學實驗為載體進行數學探究，逐步建構數學知識或驗證數學猜想，能促進數學理解力和創造力的提升。隨著課改的不斷深入，數學實驗被越來越多的一線教師采納和運用。然而，數學實驗中出現的誤差往往會使教師陷入尷尬的境地，使得教師對數學實驗教學心存畏懼。

一、問題：實驗誤差的教學現狀和分析

教師在面對數學實驗誤差時，主要有以下三種情況：

1.“規避”誤差

教師對實驗過程中出現的誤差有清晰的認識，但考慮到實驗誤差可能會對學生的數學學習產生負面影響，在設計教案時有意通過控制實驗變量、改變實驗要求等方式，直接規避實驗誤差，不讓學生有看見誤差的機會。

2.“忽略”誤差

實驗過程中，學生已經發現誤差，但教師往往因分析誤差影響教學的進程和學生判斷，采取視而不見的態度，直接忽略誤差，出示標準數據。

3.“應付”誤差

學生發現并提出實驗誤差，教師無法給予學生合理的解釋，而用“誤差在實驗中是客觀存在的、無法避免的”“出現實驗誤差是正常現象”等語言應付，不做深究。

透過以上教學現象，可以看出教師面對實驗誤差時，存在懼怕心理，教師對實驗誤差的成因和教學價值缺乏應有的認識。

二、明晰：實驗誤差的成因和教學價值

正確認識實驗誤差，了解實驗誤差產生的原因，明晰其蘊含的教學價值，對于優化實驗過程，促進學生數學理解都有著重要意義。

（一）實驗誤差的成因

實驗誤差是實驗中一個量的觀測值或計算值與真實值之間的差距。實驗誤差具有客觀性、生成性和可控性的特點。導致實驗誤差的因素有很多，實驗方式、實驗工具、實驗程序、操作和觀察方法等都會造成實驗誤差，特別對具象的、現實的實驗素材進行手工操作時，誤差是難以避免的。

（二）實驗誤差的教學價值

表面看，實驗誤差會阻礙教學進程，混淆學生的認知，影響學生的判斷。事實上，實驗誤差中蘊含著豐富的教學價值，對學生的數學學習有著積極的推動作用。

1.培育實驗精神

物理學家丁肇中認為：“需要培養實驗的精神，不論是研究自然科學，研究人文科學，還是在個人行動上，我們都要保留一個懷疑求真的態度。”實驗誤差是培育實驗精神的有效物質載體。妥善利用誤差，能幫助學生樹立懷疑求真的實驗態度。

2.優化實驗要素

基于實驗誤差，組織學生進行成因分析，有助于教師和學生對實驗素材、實驗過程、實驗要求等要素的主動改良和優化，使實驗操作更規范，實驗結果更合理。

3.提升思維品質

對實驗誤差的分析，能引發學生的深度思考，不僅能使學生主動改變和修正原有的想法，增進數學理解;還能尋找更為合理的實驗方法和路徑，發展實踐能力和創新能力。

三、實踐：利用實驗誤差組織教學的操作路徑

教師要正視和利用實驗誤差，讓內隱的思維可見，幫助學生發現誤差背后的原因并及時加以改進、優化實驗過程，不斷提升思維品質。

（一）覺察誤差：數據從“內隱”走向“外顯”，讓思維可見

小學數學教學中的實驗，比較常見的是基于合情猜想而進行的驗證性實驗，其主要目的在于 “證實”，而非“證偽”。長期受到這種數學實驗文化的影響，即便在實驗中出現了誤差，大部分學生也會選擇相信猜想，把真實存在的誤差當作是自身學習中的錯誤，自動調整和修改實驗數據。這種對誤差“視而不見”的現象，不僅不利于學生形成嚴謹、科學的實驗精神，還會使學生錯失深入思考的機會。因此教師在組織數學實驗時，要謹防這種“虛假”實驗，引導學生正視實驗誤差，讓每一個測量的數據都能被覺察、看見，從而推動思維的發展。

1.明確要求，提供方法支持

看見實驗誤差，需要以規范的操作為前提。實驗前，教師要出示實驗要求，提供實驗工具和實驗材料、明確規范實驗流程，避免學生出現實驗錯誤。例如，在教學“三角形的內角和”時，教師要在學生基于已有經驗猜想“三角形內角和是180°”后，出示實驗要求：（1） 標一標，在課前準備好的任意三角形（可以是畫的，也可以是剪下的三角形）上標出3個內角，做好記號;（2）想一想，你有什么辦法驗證自己的猜想，再動手實驗;（3） 填一填，三角形的內角和是（ ? ? ?）°。注意：操作規范、正確，并如實記錄實驗數據。為了確保實驗的有效性，教師要在課前對學生任意畫的、剪下的三角形進行檢查，確保符合標準。

規范的數學實驗活動，能有效排除無關干擾，凸顯數學實驗中真正的誤差，進而幫助學生聚焦誤差，引發深度思考。教師要認識到數學實驗誤差的成因具有多樣性和復雜性，根據數學知識特點進行問題的預設，制訂實驗規范，為誤差的顯現提供外在的方法支持。

2. 夯實基礎，依托經驗支撐

為了防止出現錯誤的實驗數據，教師不僅要檢視實驗工具等外在因素，還要從源頭出發，夯實數學實驗所必備的基礎知識和技能。如教學“三角形內角和”前，要幫助學生回憶和固化量角的基本方法，包括量角器的擺法和讀刻度的方法。學生在量角經驗的支撐下，按“規定”實驗，就能關注到與猜想不同的實驗數據，并就此深入探究，形成對實驗誤差的正確認識。

3. 鼓勵求真，給予心理支援

實驗誤差能否被接納與實驗者的實驗態度、實驗精神高度相關。學生實驗精神的養成，需要教師給予足夠的心理支援，教師要做好兩方面的工作：一是要積極營造“納錯”文化氛圍，引導學生正確看待學習中出現的問題，認識到錯誤資源的價值，并能在錯誤中探尋學習方向和方法;二是要幫助學生形成求真務實的實驗態度，尊重實驗結果，接納各種不同的實驗數據。實驗中，教師更要提醒學生如實記錄實驗數據。

（二）辨識誤差：認識從“模糊”走向“清晰”，讓思維可立

小學生的抽象思維能力尚處在發展階段，對直觀、可見的事物抱有一種執念。當實驗數據和實驗猜想出現不一致的情況時，絕大多數學生會受表象的迷惑，相信實驗數據而放棄原有的想法。對學生而言，接受誤差是從感性思維走向理性思維的一次飛躍。教師要把握機會，引導學生理性看待實驗結果和實驗猜想之間的矛盾，分析實驗數據背后的原因，正確認識實驗誤差的意義。

1.多樣呈現，形成“沖突點”

同一個實驗，不同學生得到的實驗結果是不完全相同的。教學時，教師要充分利用差異資源，設置認知沖突，引導學生聚焦實驗數據，進行合理分析，正確認識實驗誤差。如教學“可能性大小”時，教師先出示裝有3個紅球和3個黃球的透明袋子，讓學生猜測“任意摸一個球，摸到哪種顏色的可能性大？”隨后進行摸球實驗驗證猜想，通過先猜想后實驗的方式引發學生的認知沖突。最后，引導學生對大量的實驗數據進行分析，感受摸球實驗中“摸到紅球或黃球”的不確

定性。

2.多方辨析，澄清“混淆點”

實驗誤差和實驗錯誤是兩個不同的概念，澄清實驗誤差和實驗錯誤，有助于學生形成更為嚴謹的實驗態度，同時能發展學生的思辨能力。教師要舍得花時間，呈示各種不同的數據，組織學生進行辨析。如學生通過測算驗證三角形內角和為180°時，出現了179°、180°、173°等不同的實驗數據，教師要適時提問：“對于179°和173°這2個不是180°的內角和，你有什么想說的？”在學生初步判斷出173°是錯誤數據后，對三角形三個內角進行再次測算，確認其是實驗過程中測量和讀數錯誤導致的。而179°是在實驗過程中受材料、觀察角度的影響出現的誤差，難以避免。通過以上辨析，學生對實驗誤差和實驗錯誤有了一定的鑒別能力，為后續結論的得出掃除了認知障礙。

3.多元對話，構建“認知點”

學生對實驗誤差的理解需要從比較接近精確結論的模糊認知，走向對誤差合理范圍的基本框定。教學中，教師要追問實驗誤差的出現是否正常，引導學生通過多元對話，理解和分析實驗誤差。如，在學生利用工具測算圓周長和直徑的比值后，教師要組織學生討論2個問題：（1）剛才我們的猜想圓周長和直徑的商是固定不變的，可是實驗得到的商都不一樣，這是怎么回事？（2）你認為實驗誤差能不能避免？為什么？

（三）利用誤差：理解從“淺表”走向“深刻”，讓思維可變

實驗誤差一定程度上會讓學生的思維淺表化，影響學生的數學判斷。教學中，教師要利用實驗誤差這一資源，引導學生進行由表及里、由淺入深的思考，讓思維變得更加深刻、精準和有創意。

1. “深”處走——逼近知識本質，讓思維變得更深刻

實驗誤差有時會成為學生數學學習路上的“絆腳石”。教師要引導學生從數學的角度化解問題，完善實驗過程，提升學生的思維品質。如教學“三角形三邊關系”時，經常會遇到學生用“兩邊之和等于第三邊”的小棒圍出了三角形的情形。教師清楚把小棒作為“線”進行實驗必然會出現實驗誤差，因而設計了小棒由粗變細的多個實驗活動，但學生遵循“眼見為實”的準則，拒絕承認小棒變細后就不可能圍成三角形的事實。

面對這個問題，教師不妨引導學生從“現象觀察”走向“數據分析”。事先在操作小棒上標示具體的長度，當學生出現認知偏差時，引導學生通過數據的計算和分析，判斷小棒圍成三角形的可能性，用數學眼光看問題。

2. “寬”處行——拓寬認知視域，讓思維變得更精確

實驗誤差的有效控制，本質上是對實驗數據再優化的過程，有助于發展學生的數據分析能力，讓學生的思維得到發展。教學中，教師在學生收集大量實驗數據的基礎上，引導他們選取更合理的實驗量表示實驗結果。如教學蘇教版數學四年級下冊的教學活動課“怎樣滾得遠”時，當小球滾動距離普遍存在差異的情況下，可以統計班級所有學生得到的數據取平均值作為標準數據，進而縮小實驗誤差。

優選統計量表示實驗數據，是將實驗誤差控制在合理范圍內的有效辦法。在采用這一方法時，教師應滲透統計的思想，引導學生做好兩件事：一是不要受單個實驗數據的制約，而要擴大實驗樣本，收集盡可能多的實驗數據;二是根據數據的實際情況靈活選擇平均值、眾數等統計量表示實驗數據的總體水平。只有這樣，才能合理控制實驗誤差，使實驗結果真正為數學學習服務，提高學生思維的準確性。

3. “高”處看——打破思維局限，讓思維變得更靈活

誤差有時是創新之源，能幫助學生克服思維定式，尋找到最佳的實驗路徑。教師要充分利用實驗誤差，引導學生另辟蹊徑，從不同角度、不同側面思考以尋求新的突破。如當學生用先量角再計算的實驗方法探究“三角形內角和”卻出現誤差時，教師可以通過提問：“求三角形內角和就是把三角形3個內角度數合起來，除了用先量后合的方法求內角和，還可以用什么方法呢？”引導學生反向思考。實踐證明，很多學生受到啟發，想到先把三角形的3個內角合起來再量度數的方法，并選擇用折角、撕角、畫角等實驗方法加以證明。

綜上所述，實驗誤差是數學實驗的必然產物，教師要看到實驗誤差背后的教學價值，通過引導學生覺察誤差、辨識誤差和控制誤差，使思維變得更加理性、深刻和靈活，讓數學學習真實發生。