Hopkinson 曲桿型雙向拉伸加載設計探討*

趙思晗，郭偉國，王 凡，李馨馨，陳龍洋，李小龍，王瑞豐

（西北工業大學航空學院，陜西 西安 710072）

傳統單軸Hopkinson 桿動態加載試驗已被廣泛用于測試材料的高應變率應力-應變曲線，然而已有研究表明，材料在多軸加載下往往表現出與單軸狀態不同的特性[1-2]。

為了測試材料在準靜態復雜加載工況下的力學性能，各類雙軸、三軸加載試驗技術或裝置已經被開發和使用[3]。Makinde 等[4]、蔡登安等[5]使用雙軸四缸電液伺服動靜試驗機對材料進行雙軸準靜態加載；Boehler 等[6]使用4 個雙向作用的螺桿驅動活塞進行雙軸拉伸壓縮加載；Wu 等[7]開發了一種可改變載荷比例或2 個方向的加載位移以實現狀態更復雜加載的試驗裝置。為了實現對材料的高應變率動態多軸加載，起初在Hopkinson 桿上采取一些間接的加載手段，試圖模擬實際工況下的復雜加載模式。例如：通過特殊設計的試樣或者端面為斜面的桿來實現壓剪復合加載[8-9]；或使用剛性套筒對試樣周圍施加限制以實現圍壓試驗[10]；也有通過一側使用扭轉桿、另一側使用壓桿，來實現扭轉壓縮復合加載試驗[11]。多軸動態同步加載需要各軸應力波同步傳播至試樣，而動態加載脈寬往往為微秒量級，且應力波在金屬中傳播非常快，因此，加載同步性成為多軸動態加載的關鍵性問題。近些年，徐松林等[12]研制的真三軸靜載混凝土Hopkinson 試驗裝置通過3 個方向施加靜載，其中一個方向子彈沖擊，以實現真三軸靜載應力狀態。電磁Hopkinson 桿可通過電信號精確控制各項參數[13]，目前已開發的雙向電磁Hopkinson 桿可以同步產生兩路壓縮或拉伸脈沖的正弦波，實現對試樣的雙向同步加載[14]。這種加載的原理是采用一種錐形鉚槍應力波調制器[15]在拉伸和壓縮桿中產生加載脈沖，其加載脈沖的脈寬可約為800 μs。單軸雙向拉伸加載較傳統Hopkinson 桿，可提高加載應變率和加快試樣的應力平衡，也為多軸動態加載提供了一種可行的方法。

本文中，基于Hopkinson 壓桿原理，考慮到金屬桿中彈性應力波傳遞速度極高（約5 km/s），借助撞擊桿同時撞擊對稱的曲桿，在對稱的曲桿中同時產生兩路相同構形的壓縮波，經過曲桿的傳播，在緊密接觸的直拉伸桿上反射形成拉伸加載波，最后通過一維直桿傳遞的兩路同步拉伸波對試樣進行雙向拉伸加載。為實現兩路同步加載，對稱雙曲桿的構形、材料、幾何形狀、接觸等均相同，理論上兩路加載應力波將完全一致并同步。該方法為多軸加載的實現奠定了基礎，即可擴展至二維以實現雙軸拉伸加載。針對曲桿型雙向拉伸加載裝置中彎曲桿構形對波形傳播的影響進行深入分析，最終搭建小型試驗裝置并進行測試，驗證該方法的可靠性和有效性。

1 彈性波在曲桿中的傳播規律

本文中采用曲桿實現動態雙向拉伸，因此了解曲桿中彈性波的傳播規律有十分重要的指導意義。假定曲桿屬于彈性小變形，不發生失穩，曲桿的截面幾何形狀相同。根據彈性應力波在曲桿中的傳播理論，當壓縮波在曲桿中傳播時，桿截面會出現軸向力、彎矩和剪切力。這3 種力產生的壓縮波、剪切波或彎曲波在曲桿中傳播，各自波速不一樣，隨傳播距離延長壓縮脈沖會出現失真，實際上可以看成二維應力波傳播問題。Beccu 等[16]、鄧慶田等[17]對壓縮彈性波在彎曲桿中的傳播及失真問題進行了詳細的，其運動方程一般可以表示為：

式中：u、v分別為桿的縱向和橫向位移，R為曲率半徑，S為截面積，ρ 為密度，I為截面慣性矩，s為曲線坐標，t為時間。當R→∞時，此方程就變成了一維波動方程和歐拉-伯努利方程，即變為了一維問題。

以下將從曲桿幾何構型和側向約束兩方面對彎曲桿中彈性波傳播特性的影響進行分析，以分析基于曲桿型雙向拉伸試驗裝置的可行性并優化設計。

1.1 曲桿中彈性壓縮波的數值計算分析

由于曲桿涉及的動力學方程(1)難以獲得精確的解析解，因此基于ABAQUS6.14 中Dynamic-Explicit分析步，對所建立的模型進行有限元分析（finite element analysis，FEA）。因彎曲桿中壓縮波控制方程(1)并未考慮桿受外力及約束情況，所以在FEA 中也未施加邊界約束。圖1 所示為一圓截面曲桿，其中曲率半徑R=400 mm（曲率κ=2.5 m?1），桿直徑d=5 mm, 彎曲角α=0°, 30°, 60°, 90°。材料為6061 鋁合金，彈性模量E=71 GPa，密度ρ=2.73 g/cm3，泊松比μ=0.33，網格類型采用C3D8R。以彎曲圓心為內側，定義桿的外表面、中心以及內表面，這3 處的應變分別為εo、εc、εi。FEA 中分別輸出同一截面3 個點的應變脈沖信號。模擬中同時輸出了桿截面的軸力N、剪切力Q以及彎矩M。A、B、C等3 點分別對應入射端、彎曲部分和透射端的中點。為了驗證本文數值計算的結果并分析R/d（即(κd)?1）對波形的影響，與Beccu 等[16]的研究成果做了對比，建立與之同材料、同幾何（κ=2.5 m?1，d=5 mm）的彎曲桿。

圖1 測試桿示意圖Fig. 1 Schematic diagram of test bars

同時對典型的彎曲桿進行了試驗實測，試驗中使用的彎曲桿的材料為鋼（E=210 GPa，ρ=7.85 g/cm3），幾何尺寸與數值模擬相同，且α=90°，入射端和透射端長度均為L=200 mm。使用長度為l0=80 mm 加載桿以10 m/s 的速度撞擊入射端產生壓縮波脈沖。在入射端A點、透射端C點以及彎曲部分B點的內外側表面分別貼應變片并組成電橋，測量彎曲桿中各部位的應變脈沖信號，即圖1 所示的εo和εi的平均值。

1.2 曲桿幾何構型對彈性波傳播的影響

圖2(a)為入射端和透射端不同彎曲角度時壓縮波波形的對比。α=0°對應的曲線代表長直桿中壓縮波的傳播，與利用常規Hopkinson 壓桿裝置獲得的入射壓縮方波一致。而隨著桿的彎曲，C處壓縮脈沖波形的加載上升沿更緩，平臺段也發生了變形，幅值隨著脈沖時程下降，即出現前高后低。不僅如此，隨著角度的不斷增大，幅值的下降速率越來越大，即高低趨勢更陡。壓縮波后緊接著會出現一段拉伸波，角度越大，拉伸波的幅值也越大。在α=90°的彎曲桿的壓縮波脈沖傳播試驗中，也發現了同樣的現象，如圖2(b)所示。該試驗現象驗證了同樣條件的FEA 結果。

圖2 壓縮波在彎曲桿中傳播Fig. 2 Compression wave propagation in bending bars

圖3 進一步給出FEA 結果，即曲桿中A、B、C等3 處所在截面的軸力、剪切力和彎矩時程圖（l0=40 mm，d=5 mm，R=400 mm，α=90°）。其中εo、εc、εi分別與圖1 中表示對應，εo表示外表面應變值，εi反之。由此可知，彎矩直接導致了桿截面中應力分布的不均勻。在直桿段（圖1 中A和C處），第1 個壓縮波傳播至測量點時，整個壓縮波脈沖范圍內并無明顯的彎矩和剪力值。而在彎曲段（圖1 中B處）時，壓縮波傳播的同時，彎矩和剪力作用該截面。由于桿的彎曲，在壓縮波傳播中產生了彎矩和剪切力，這不可避免地帶來其他方向的位移，也使得壓縮波脈沖發生變化。

圖3 不同位置處的應變、彎矩、剪切力、軸力時程曲線（l0=40 mm，d=5 mm，R=400 mm，α=90°）Fig. 3 Time-history curves of strain, bending moment, shear force and axial force at different positions(l0=40 mm, d=5 mm, R=400 mm, α=90°)

為了對彎曲程度有一個定量的認識，定義參數R/d，即彎曲曲率半徑與桿直徑的比值。Beccu 等[16]研究了d=20 mm，κ=28.57 m?1（即R=35 mm，R/d=1.75），入射波脈寬λ=100 μs（即l0=250 mm）的鋼桿中的壓縮波波形。由圖4(a)可知，這種R/d很小的彎曲桿，類似于急劇彎曲，壓縮波經過彎曲段后為三角震蕩波，相比入射端信號，其幅值和脈寬均嚴重失真。在R/d足夠大時（即R=400 mm，d=5 mm，R/d=80，如圖4(b)所示），波的失真程度不大，脈寬仍保持在約30 μs，幅值變化不大。因此，R/d很小的彎曲桿不能很好地實現波形傳播，更不能將其應用在本文研究的曲桿型雙向拉伸Hopkinson 桿裝置中。為了能在彎曲后仍獲得與入射端近似的波形，需采用R/d更大的彎曲桿，即相對于桿的截面尺寸，彎曲更緩慢。

圖4 R/d 對應變波形的影響Fig. 4 Strain waveforms for the various values of R/d

1.3 側向約束對曲桿傳播特性的影響

基于1.2 節的試驗和FEA 結果可知，波形發生變化的原因主要是彎曲桿中彎矩M以及剪切力Q的影響。前文FEA 并未考慮到約束，而實際在搭建彎曲桿試驗裝置時，為防止曲桿的自由運動，需要施加一定的約束。針對此問題，在R=400 mm，l0=80 mm，d=5 mm 的微型彎曲桿的基礎上，考慮實際約束的可能性，對其進行優化。

若將入射和透射的直桿段與彎曲桿部分間斷開，即增加兩個撞擊界面，使得彎曲桿中的彎矩和剪力不對直桿造成影響；又若將彎曲部分約束，以彎曲圓心為原點建立柱坐標系，約束其徑向和垂直方向，使彎曲桿只在切向可移動，也可以實現優化。綜合考慮這兩種假設，模擬了如圖5 所示4 種條件，既考慮了間斷又考慮了約束。彎曲桿透射端獲得的波形（內、外側表面應變平均值，即εi和εo平均值）如圖6 所示。圖5(a)所示為彎曲桿中壓縮波傳播的原本情形；圖5(b)所示為間斷彎曲桿和直桿，界面處相互作用時只有壓縮波傳播到了透射直桿；圖5(c)所示為在條件1 的基礎上對彎曲段進行約束，有效地降低了波形失真，但仍存在拉伸波拖尾；圖5(d)所示為在條件2的基礎上對彎曲段進行約束，與入射波相比，其失真程度最低。

圖5 不同的約束條件（L=200 mm, R=400 mm，l0=80 mm，d=5 mm，α=90o）Fig. 5 Different constraint conditions (L=200 mm,R=400 mm, l0=80 mm, d=5 mm, α=90o)

圖6 不同約束條件下的波形對比（L=200 mm, R=400 mm，l0=80 mm，d=5 mm，α=90o）Fig. 6 Strain waveforms in the bar under different constraint conditions (L=200 mm, R=400 mm, l0=80 mm, d=5 mm, α=90o)

這些結果為本文雙向拉伸Hopkinson 桿裝置中彎曲桿的設計奠定了一定基礎。彎曲桿需要一定的約束，最完美的約束使其僅可沿切向移動。由于外約束力的存在，使得彎曲桿中的彎矩M和剪切力Q降低，前文討論的桿內力所引起的變形不均勻問題就得以解決，使得問題又回歸為沿切向的一維應力波問題。

2 雙向拉伸的試驗驗證

2.1 試驗裝置及實施方法

根據以上對曲桿中彈性波的傳播規律分析，本文提出的曲桿雙向動態拉伸原理如圖7 所示，其中圖7(a)為雙向動態拉伸裝置示意圖（圖中標注波形傳播均為內外側平均應變信號），圖7(b)為驗證裝置實物圖。這種設計思路意在通過一對幾何構型完全相同的彎曲桿，將一壓縮波一分為二，并向相反方向傳播。在具體實施時，氣炮發射撞擊桿，并撞擊加載桿入射端產生壓縮波脈沖，在人字形的一對彎曲桿中傳播并分為兩路到達彎曲桿和直拉伸桿組合連接處。拉伸直桿與轉接頭使用螺紋連接，人字形彎曲桿兩端頭處壓縮波幾乎同時傳播至轉接頭并產生拉伸波，這一對拉伸波相向傳播至中心試樣處，進而實現對材料的雙向同步拉伸加載。在彎曲桿處，每一邊各使用4 個光軸支座和聚四氟乙烯自潤滑套環，對彎曲桿支撐，并施加一定的位移約束。該裝置已經申請專利并公開[18]。

圖7 曲桿型雙向動態拉伸裝置Fig. 7 Bidirectional bending Hopkinson tension bar

很重要的一點是，兩根彎曲桿應該被精準地加工為相同幾何尺寸。同時，直的拉伸桿以及轉接頭部分也應相同，以確保整個雙向動態拉伸系統的對稱性。這可以有效地保證兩路入射壓縮脈沖幾乎同時傳播到轉接頭處，進而同步反射出拉伸脈沖，使得兩路拉伸波脈沖同步到達中心處并對試樣進行加載。彎曲桿與轉接頭撞擊面應保證桿之間的波阻抗匹配，避免波形拖尾現象，本文中設計的裝置保證端面的截面積相同。

2.2 數值模擬及試驗驗證

對本文中構思的曲桿型雙向拉伸裝置進行數值分析，以初步檢驗裝置的可行性并優化調整加工參數。數值模擬中彎曲桿曲率κ=2.5 m?1（R=400 mm），曲桿橫截面為8 mm 的方形，法蘭和拉伸直桿段總長440 mm，拉伸圓桿直徑9 mm，撞擊桿直徑10 mm，長100 mm，材料為6061 鋁合金。使用ABAQUS6.14/Dynamic Explicit 模擬計算，使用六面體網格（C3D8R，八節點線性實體單元），網格總數為284 280 個。圖8所示為FEA 結果（均為桿截面對稱兩側平均應變信號），圖8(a)為彎曲桿上的壓縮波，圖8(b)為拉伸直桿上的拉伸加載波。可見，拉伸直桿上產生的拉伸加載波滿足了裝置的預期設想。

圖8 雙向拉伸裝置的有限元模擬結果Fig. 8 FEA results of bidirectional dynamic tension device

針對搭建的試驗裝置（如圖7(b) 所示）進行了細致地測試分析。選用的撞擊桿直徑10 mm，長100 mm，材料為6061 鋁合金，入射波脈沖的理論脈寬約為40 μs。彎曲桿中點采集到的脈沖信號如圖9(a)所示，內外側兩個應變片測得應變的平均值曲線，實際脈寬約為54 μs。由波形可知，由于實際無法達到理想的約束狀態，其彎曲桿上的壓縮波仍存在較小的拉伸波拖尾，這與前文的結論接近。而未夾持試樣時拉伸加載桿上信號如圖9(b)所示，分別為左右兩個加載桿（分別為桿1 和桿2）上距離試樣夾持處290 mm 所測得的脈沖信號。由此可見，這一對加載脈沖有著非常好的同步性，這包括了拉伸加載脈沖的起始點、脈寬以及幅值，起始點時間差小于2.5 μs，幅值差約6×10?6以內。這證明了該方法可以實現雙向同步拉伸加載。

圖9 雙向動態拉伸試驗應變波形Fig. 9 Strain signal in bidirectional dynamic tension experiment

在搭建的曲桿型雙向拉伸試驗裝置上，進一步對2024 鋁合金螺紋試樣進行了雙向拉伸試驗。試樣標距2.4 mm，直徑1.85 mm，使用M5 的螺紋與兩桿連接。試驗時采集到的典型應變脈沖信號（內外側兩個應變片測得應變的平均值）如圖10(a)所示。可見，入射波有著較好的同步性，桿1 和桿2 上的反射和透射的疊加波也基本相同，通過試驗證實了本裝置可實現材料的雙向動態同步拉伸測試。與傳統Hopkinson 桿不同的是，桿上測得的反射和透射是疊加的，即桿1 上測得桿1 的反射波和桿2 的透射波。由于文獻[19]對Hopkinson 桿單軸雙向加載以獲得材料的應力-應變曲線的方法有詳細介紹，鑒于本文數據處理方法與文獻[19]的方法相同，在此不作進一步描述。

圖10 雙向拉伸2024 鋁合金試驗結果Fig. 10 Bidirectional tension test results of 2024 aluminum alloy

經計算得到真實應力-真實應變曲線和應變率-真實應變曲線，如圖10(b)所示。試驗入射波幅值達到3.39×10?4，一次加載的應變約9%，試樣未斷，測得2024 鋁合金在約1 500 s?1的應變率下拉伸屈服強度約為310 MPa。為驗證單軸雙向拉伸試驗的準確性，與單軸單向直接式拉伸Hopkinson 桿所做結果對比（直接式拉伸試樣標距段長5 mm，直徑5 mm），如圖10(b)所示。兩種試驗方法所得結果吻合較好，證明單軸雙向拉伸試驗結果可靠。

通過上述空打曲線以及對試樣實際加載試驗證實了基于彎曲桿的雙向拉伸方法具有可行性，可有效地對材料進行雙向拉伸試驗。本文中采用的加載桿屈服強度約為200 MPa，若取65%的屈服載荷為加載桿的最大安全載荷，即桿中應力不超過130 MPa，這樣根據應力波理論以及桿中應力與撞擊桿速度的關系，可知本文驗證裝置所能允許的撞擊桿最大速度不超過10 m/s，拉伸加載桿的最大允許載荷可到2.9 kN。對標距長2.4 mm 的2024 鋁合金試樣實現了單軸雙向拉伸試驗，加載脈寬約54 μs，該次試驗中加載桿上最大載荷為1.9 kN。在此構思的基礎上，后續可設計出更大尺寸其他材料的雙向拉伸裝置，以實現更高應變率或大尺寸試樣的雙向拉伸試驗。這項工作是對現有Hopkinson 桿的一種重要補充和發展，為多軸Hopkinson 桿的建立奠定了基礎。

2.3 多軸動態加載討論

多軸加載存在著一些問題，仍需要深入討論和研究。

2.3.1 軸間同步性問題

多軸動態加載需要加載脈沖的同步，即試樣幾何中心位移為零。以本研究開展的雙向加載為例（如圖11 所示），假如為理想方波σ1(t)和σ2(t)向中心試樣處加載，即加載同步。若不同步，且時間滯后Δt，即σ2(t+Δt)，試樣受力呈現臺階加載，則試樣加載的應變率和變形條件有著明顯變化，這對應變率敏感材料的材料性能參數測定帶來顯著影響。

圖11 雙向動態加載同步性問題Fig. 11 Synchronization of bidirectional dynamic loading

本文所提出的曲桿雙向拉伸加載裝置，經試驗驗證，左右兩根拉伸桿中的加載波同步時差小于2.5 μs，應變幅值差在6×10?6以內。同步性良好的主要原因是，當撞擊桿撞擊人字形加載頭時，人字形的兩根對稱曲桿產生的壓縮應力脈沖是同步的，加載波從撞擊端-曲桿-轉換法蘭-拉桿均為機械接觸傳播，即沒有間隙，如果對稱的人字形曲桿以及兩根對稱拉伸加載桿材料幾何結構完全一樣，理論上兩路傳播的信號可實現完全同步傳遞；如果測試時兩路加載信號有時差，可以采用精細的機械加工調整距離消除或減小時差，保證軸間應力波傳遞的一致性。基于兩對單軸雙向加載，可以容易構成雙軸四向加載，對實現對材料和結構動態雙軸加載奠定基礎。

2.3.2 脈沖構形控制

另外特別強調，加載波的構形與應變率恒定有關，從曲桿對彈性波的傳遞規律知，曲率影響脈沖構形使其失真。若是梯形彈性波，經過曲桿傳播后，梯形平臺會出現傾斜，同曲率下隨著彎曲角度增大，傾斜斜率隨之增大。這時若還要保持梯形構形，可以采用類似錐形的撞擊桿，產生傾斜平臺的梯形波[20]，經過曲桿傳遞后失真反向修正，可實現平臺型梯形加載波。另外對于脆性材料、軟材料等所需要的斜波或半正弦加載波形極容易在本裝置實現。

2.3.3 數據處理

為獲得材料雙向拉伸的應力應變曲線或裂紋張開位移等，文獻[19]已經有詳細的描述，可參考該文獻進行。而多軸加載涉及到軸間耦合問題，需結合具體的測試材料或結構特性深入研究和討論。

3 結 論

提出一種曲桿型雙向拉伸Hopkinson 桿加載方法以實現材料的高應變率雙向同步拉伸加載，并對采用的彎曲桿中彈性波傳播問題進行分析研究，主要結論如下：

（1）彎曲桿中壓縮波的傳播，入射端輸入波形若為梯形彈性波，經過曲桿傳播后梯形平臺會出現前高后低，導致失真；

（2）彎曲桿側向約束的施加，使得彎曲桿中的彎矩M和剪切力Q降低，桿內力所引起變形的不均勻的問題就得以解決，進而可以改善彎曲桿中壓縮波失真問題；

（3）本文中所提出的曲桿雙向拉伸裝置經試驗驗證，兩路波時間差最大不超過2.5 μs，幅值差約在6×10?6以內，撞擊桿理論最高速度為10 m/s，拉伸加載桿理論最大載荷為2.9 kN；

（4）對2024 鋁合金進行了單軸雙向動態拉伸試驗驗證，發現該方法可有效實現單軸雙向拉伸加載。

參與本文工作的還有本科生封碩、袁昊、張志博，博士研究生袁康博為本文提供了修改意見，在此表示感謝！