有效設計教學活動，讓數學探究浸潤課堂
——以“勾股定理的逆定理”為例

湖北省武漢市光谷第一初級中學 張 芳

筆者以“勾股定理的逆定理”實際教學為例，就教學活動的探究談了幾點教學思考。

一、在命題引入環節借助數學文化設置懸疑，激發學生探究學習的內動力

命題引入環節主要注重讓學生探尋問題產生的來源，精準呈現知識的發生和形成過程。在此環節中，本節課通過展現趣味性的數學文化，讓學生產生學習的興趣。

情境1：幾千年前，古埃及人曾用這樣的方法作直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結間距、4個結間距、5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，則其中一個角便是直角。

圖1

問題：古埃及人的這種作直角方法的奧秘是什么？

班級學生眉頭緊鎖，愁容滿面，說不上來，一時沒有思緒。

評析：此情境選自人教版數學課本，它體現了古埃及人的智慧，通過故事的巧妙設疑可以讓學生初步感受數學蘊含的奧秘。根據前面所學的勾股定理，已知一個三角形是直角三角形，如果兩條直角邊是3和4，那么斜邊必定是5。可是現在確實已知有三條邊分別為3、4、5，那怎么證明它一定是直角三角形呢？猜想直角容易，但究其原理就不知道了。由此，疑問自然產生，學生迫切希望找到答案。這樣借助數學文化創設問題情境、設置疑惑，之后再回過頭使問題得到解決的導入方式，不僅展現了知識形成的過程，更讓學生感受到數學來源于生活，并服務于生活，從而激發學生探究學習的內在動力。

二、在命題探究環節以數學活動為載體，培養學生知識建構的能力

命題的探究旨在讓學生經歷問題解決的全過程，包含觀察、猜想和證明等教學活動。探究勾股定理的逆定理的整個過程，是培養學生的構造思想和創新思維的好時機。本節課中定理的證明是最大的難點，這給教師和學生預留了很大的發揮空間，而通過學生的實踐活動，可以充分挖掘學生的探究思維，培養學生知識建構的能力。

（一）命題的猜想

畫一畫，量一量：（1）畫一個三角形，使得三邊長度分別為3cm、4cm、5cm，最大角是多少度？（2）畫一個三角形，使得三邊長度分別為2.5cm、6cm、6.5cm，最大角是多少度？

教師利用幾何畫板規范學生尺規作圖。問題：觀察三角形的邊和角，你能得到什么結論？學生提出猜想：如果△ABC的三邊長a、b、c，滿足a2+b2=c2，那么它是直角三角形。教師順勢指出此命題與前面所學的勾股定理的命題互為逆命題。

（二）命題的證明

環節1：教師要求學生獨立畫出圖形，并寫出已知求證。

已知：如圖2，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，滿足a2+b2=c2，求證：△ABC是直角三角形。

圖2

環節2：分組討論。一開始大部分學生沒有思路，教師可以嘗試點撥學生，要證明△ABC是直角三角形，即要證明∠C=90°，從a2+b2=c2這個條件出發，學生自然能聯想到勾股定理，而勾股定理的前提是要有直角。教師再順勢引導，如果沒有直角，怎么辦呢？學生經過組內討論，很快就提出先構造出一個直角三角形。但是在畫出一個直角后，馬上有學生質疑：“既要畫一個角是90°，又要同時畫三邊長是a、b、c，二者是無法同時作出的。”由激發了沒有意識到這一問題的學生進行自主思考。經過討論得出原因：若先作一個90°的角，那就只能再作出三角形的兩條邊，此時第三條邊已經唯一確定。證明思路由此產生，更多學生的思維隨之喚醒，很快就有許多學生想到了可以先根據勾股定理確定第三條邊，再利用SSS全等來進行證明，教師順勢總結勾股定理的逆定理內容。

評析：命題的探究過程有兩個環節，一是學生借助特例畫圖進行探究，通過“看得見、摸得著”的操作直觀地感知結論；二是嚴謹的邏輯證明，這也是本節課最大的難點，教師需要對學生進行恰當地引導，并且能給學生預留足夠的自我探究空間，培養學生將舊知識和新知識進行建構的能力。因此，教師有效的活動設計非常關鍵。

三、在命題應用環節通過情境呼應及例題變式，培養學生的發散思維

命題的應用環節主要是通過設置情境呼應，讓一開始拋給學生的疑問在經歷探究之后得到解決，讓學生切身體會從問題產生到問題解決的全過程。同時，通過設置典型、有針對性的例題和有層次、有坡度的變式訓練題，并結合學生的實際情況進行優化，讓學生的思維在應用中得到變通和發散。

情境呼應：同學們現在明白古人畫直角的奧秘了嗎？學生再次感嘆數學文化的博大精深，真正理解了古埃及人畫直角的原理是應用勾股定理的逆定理。

（一）典例精析，深化重點

例：判斷由線段a、b、c組成的三角形是否為直角三角形，（1）a=5，b=12，c=13；（2）a=12，b=15，c=14。

師生共同分析（1），教師板書規范做題過程。學生獨立完成（2），有不少學生計算的是122+152≠142，從而得出（2）中的三角形不是一個直角三角形。教師引導之后，馬上有學生舉手指正：應該驗證三角形較短的兩條邊的平方和是否等于最長邊的平方來進行判斷。教師指出像5、12、13這樣能夠成為直角三角形的三條邊長度的三個正整數，稱為勾股數。

變式：若a∶b∶c=7∶24∶25（a、b、c均為正數），判斷由線段a、b、c組成的三角形是否為直角三角形。大部分學生看到比例式，很快想到設a=7k，b=24k，c=25k（k＞0），經過計算得出是直角三角形的結論。

思考：如果將直角三角形的三邊的長度都擴大或縮小同樣的倍數，還是直角三角形嗎？

學生由上述變式得出結論：只要線段長度的比值滿足較小的兩個數的平方和等于第三個數的平方，則由這三條線段組成的三角形就是直角三角形。

（二）思維拓展，能力提升

圖3

變式：如圖4，四邊形ABCD中，∠ACB=90°，BC=9，AB=15，AD=5，CD=13。求四邊形ABCD的面積。

圖4

評析：作為一節新授課，情境呼應環節加深了學生對勾股定理的逆定理的理解。例題及變式有層次、有坡度，前面的例題和變式是基礎知識的直接運用，后面的拓展及變式是勾股定理及勾股定理的逆定理的綜合應用，主要訓練學生新舊知識運用整合的能力。變式在拓展的基礎上進一步求面積，方法有多種，但都必須先求證△ACD是直角三角形，考查的依舊是勾股定理及勾股定理的綜合運用。但因時間有限，要求教師在設置和選取題目的時候不僅要體現所學知識的基礎應用，更要考慮學生思維的最近發展區。

四、在總結反思環節適當留白，數學探究無止境

在總結反思環節，教師引導學生自主歸納本節課所學習的知識及數學思想方法，并提出問題：類似地，銳角三角形是否也可以利用邊來判斷呢？鈍角三角形呢？

評析：適當地留白，拋一個新問題給學生，有利于學生思維拓展。雖然課后思考的問題需要用到高中的余弦定理知識，并不屬于初中數學的范疇，但學生通過思考和探究，可以充分挖掘思維潛力。當然，本節課還存在一些不足，部分環節的實施并不十分順暢，如在要求學生畫指定邊長三角形的時候，部分學生直接拿尺子畫，忘記了尺規作圖的方法。所以在課前，教師應帶領學生進行必要的復習。另外，在探究勾股定理的逆定理的證明環節，應該還有更好地突破難點的方法，有待進一步學習思考。

總之，一堂數學探究課，教學設計應圍繞探究活動來進行，不論是教師的引導探究，還是學生的自主探究，整個過程應使學生的思維品質得到適當培養。同時，探究學習是一個艱辛而漫長的過程，只有堅持不懈地反復浸潤，學生的自主探究能力才能在無形之中得以提升，從而使課堂教學顯現一定的成果。