測量視角下小數計數和計數單位教學及其改進

張 平 彭 亮 徐文彬

計數既關涉學生對數的意義的理解，也關涉其數感的培養。十進制計數用0～9 這樣十個符號加上位值制進行自然數和小數的計數，這是人類最偉大、最奇妙的創造之一，也是世界范圍內應用最廣泛的計數方式。但就如此簡單的計數而言，如果我們忽略了其中的某些計數規則，則極有可能會造成一些邏輯上的混淆。譬如，有人認為500 的計數單位是“百”，1.23 的計數單位是“0.01”（百分之一）。正因為有如此“理解”，在小數教學中遇到“請將1.23改寫成用0.001（千分之一）作單位的數”的問題時，很多人會認為，其結果應該是“1.230”。其實，這些錯誤都源于對“基本計數單位”和“最小計數單位”的混淆。據此，我們需要從測量的視角來深入認識和理解小數的計數和計數單位，以期幫助學生深入理解小數的意義，進而培養其數感。

一、測量的理解

測量問題可能是人類最早的數學問題。所謂測量，是按照某種規律，用數據來描述觀察到的現象。更具體地說，測量是對事物的屬性做出量化描述，是對非量化事物的量化過程。量化就是把待測定的量用同一個標準進行比較的過程。一般來說，測量包括四個要素——測量對象、測量標準（計量單位）、測量方法和測量的準確度。［1］

測量是人類認識世界的重要工具，使人類探索世界的成果具有穩固性，因而是人類文明建構的基礎。有了測量，就有了對量的把握、理解及應用；離開測量，單純地談論量是沒有實質意義的。人們用來作為計量標準的量叫作標準量或單位量，進行比較的方法促使測量方法和測量工具誕生了，測量得到的結果需要用數學語言來表征。測量結果的表征一般是由數據及其單位組成，這是由測量的目的和方法決定的。首先，測量本質上是對事物做出量化的描述，測量結果就是事物與測量標準（測量單位）進行比較的結果，其實質就是一個比值；其次，測量同一個事物，可以用不同的單位，測量的標準不同，得出的結果也不同，因而一般情況下，“數據加單位”才能將測量結果表達清楚。如一個人的身高可以用168 厘米表示，也可以用1.68 米表示，兩種不同的結果表達的是同一個人的身高。那么，測量同一個對象為什么會有不同的測量單位呢？一是因為事物是復雜多樣的，人們如果規定測量一個對象只能有一個測量單位，可能會帶來很多不便；二是用一個標準測量，很多時候并不能正好測量完，會多出一部分或少了一部分。因此，人們會在規定一個基本測量標準的基礎上再按照一定的規則制定出一些其他相應的測量單位。

二、測量視角下的計數和計數單位

數源于量，計數與計量的原理是一致的。正因如此，計數也包括四個要素，即計數對象、計數單位、計數方法和精確度。如自然數的計數對象是物體個數，自然數的基本單位是1，在此基礎上，根據計數的需要，自然數的計數單位還有十、百、千等。自然數的計數方法是十進制和位值制，即“滿十進一”，同一個數在不同的數位上表示不同的值。需求不同，對自然數計數結果的精確度要求也不同，如256086600 四舍五入到萬位大約是25609 萬，四舍五入到千位大約是256087千。

我國古代的小數是在計量中產生的。最早關于十進制計量單位的記載是賈誼的《新書·六術》篇：“數度之始，始于微細，有形之物，莫細于毫，是故立一毫以為度始，十毫為發，十發為厘，十厘為分。”［2］這里把“數”與“度”的最小單位都歸于毫，開了后世數學家用度量單位表示小數位值的先河。明確從數學上提出小數的是我國古代數學家劉徽，他在處理開放不盡問題時建議采用一種微數方法：“微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數，不足言之也。”［3］這段話的意思是：微數不需要借助單位來標識其“零”位值，一退再退皆以10 的整數次冪為分母，可避免通分引起的微數變化。可見，我國古代的小數計數延續了自然數的計數方式，也是十進制和位值制。

三、測量視角下小數計數教學存在的問題及其分析

小數計數看似和自然數計數一樣簡單，卻存在著一些誤區。譬如，1.23 可以表示為由1個1 加2 個0.1 再加3 個0.01 所組成。但很多人會認為1.23 的計數單位是0.01，理由是1.23 這個小數最小的有效數位是百分位，百分位的計數單位是百分之一。據此，將1.23 改寫成以0.001 作單位的數，應該寫成1.230。然而，如此改寫會在邏輯上出現以下混亂：

一是從測量的視角來看，測量結果一般應由數據和測量單位組成，計數也應如此，計數所得的數應是計數對象與計數單位（或標準）比較而產生的。正因如此，1.23 的計數單位如果是0.01，那么其結果如若改寫成“數據加標準”的樣式，則應該為1.23（0.01），即“1.23 個0.01”。而1.23 的實際大小應該是“1.23 個1”。由此可見，1.23的實際大小若用0.01來計數，則應該是“123個0.01”，這顯然與1.23個0.01相差甚遠。

二是將1.23 改寫成計數單位是0.001 的數時，如果寫成1.230，那么從數的大小上比較，1.23=1.230。此時，如果1.23 認定的計數單位是0.01，而1.230 認定的計數單位是0.001，那么，0.01 和0.001 顯然是兩個不同的計數單位。在測量上，用兩個不同的計數單位測量同一個對象，其得到的數肯定是不相等的，正如人民幣1 元，用元測量的結果是1 元，用角測量的結果則是10 角。反向推之，如果測量所得的數（據）相同，則只可能是用同一個標準進行的測量，這樣才能保證測量結果的唯一性。如上所述，用0.01和0.001測量，測量單位不同，而結果相同，那就不能保證測量結果的唯一性。

三是將1.23 的計數單位認定為0.01，顯然與自然數的計數方式相違背。自然數的計數方式只有當單位是1時會省略不寫，如2800，這樣的寫法表示計數單位是1，即表示“2800 個1”。如果要用百作單位，就應該寫成“28 百”。同理，1.23 的計數單位如果是0.01，就應該寫成“123個0.01”。

那么，如何理解1.23 的計數單位呢？從測量的角度來看，我們或可從以下幾方面來進行分析與思考：

一是1.23 作為計數的結果，可以表示為1個1加2個0.1再加3個0.01，也可以表示成1.23個1，即1 個1 加0.2 個1 再加0.03 個1。如此，1.23 個1 這樣的結果就表示，測量對象與測量標準1 比較的結果是1.23，這與1.23 的實際大小相符合。

二是1.23的計數單位是1，還可以寫成12.3個0.1，也可以寫成123個0.01，即1.23個1=12.3個0.1=123 個0.01。用不同的計數單位測量同一個對象，其數據是不同的，但表示的結果是相等的，保證了計數結果的唯一性。

三是1.23 的計數單位是1，這與自然數的計數方式一致，即“1”是基本的自然數計數單位，也是小數的基本計數單位，其他單位都可以看作其在基本計數單位“1”的基礎上的拓展。基本計數單位“1”約定可以省略，這也與自然數的書寫方式相吻合。

四是將1.23改寫成用0.001作單位的數，從測量的視角來看，應該理解為1.23 個1 與0.001相比較的結果是多少。因此，其結果應該寫成1230 個0.001，就如58090000 改寫成以萬作單位的數是5809 萬一樣。如此，自然數與小數的計數規則就是統一的，而且符合數學追求統一性的特征。

由此可見，為了避免上述“邏輯混亂”，我們似乎可以在小數計數中引入“基本計數單位”和“最小計數單位”這兩個概念。譬如1.23，其基本計數單位應該是1，其最小計數單位則應該是0.01，其中也有計數單位0.1。此外，整數計數中的最小計數單位和基本計數單位均為1。

其實，測量視角下的理解與古人在小數計數單位上的理解是一致的。我國古代數學巨著《數理精蘊》中就有這樣的記載：“凡數單位后有奇另者，必作點于單位上以志之，如有金三百四十五兩六錢七分，命兩為單位則于五上作點志之，又如有米六石五斗四升三合，命石為單位則于六上作點志之。”［4］意思是：三百四十五兩六錢七分，小數點點在五上，表示用“兩”作單位。六石五斗四升三合，小數點點在六上，表示用“石”作單位。顯然，古人所說的345.67 金的單位是“兩”而非“分”，6.543米的單位是“石”而非“合”。筆者在測量視角下所理解的小數的（基本）計數單位1與其不謀而合。

四、測量視角下小數教學的改進策略

由上述分析可見，測量視角有助于我們深入認識和理解計數問題，而且能夠統一小學數學中的自然數、小數乃至分數，從而提升學生對數的認識。

1.要適時滲透測量思想。

法國數學家龐加萊說：“如果沒有測量空間的工具，我們便不能構造空間。”［5］從根本上說，測量是人們認識世界事物的數學方法，也是每個人的一項基本數學素養。因此，一些國家在小學階段的數學學習中有專門的測量內容體系。在我國的小學數學教材中，雖然沒有專門的測量內容體系，但基本內容十分豐富，都安排在相關領域；雖然測量的內容不同，但其都是通過一定的標準來度量物體的某些屬性，將物體的一些屬性數量化。因此，對于測量中標準統一的必要性、測量單位的系統性、測量結果的精確度等數學思想方法，需要在小數教學中加以必要的滲透，這將有助于學生真正認識或理解小數。

2.要注意從測量的視角引導學生理解小數計數單位的意義。

測量得以實現，關鍵是要有標準；計數得以實現，離不開單位。我國小學數學教材主要是根據知識間的聯系和學生的認知水平分階段引入測量單位的。譬如，長度單位一般在第一學段，面積單位一般在第二學段，體積單位一般在第三學段。這種安排盡管力求符合學生的認知發展水平，但還不夠。其實，從上述分析的測量視角來貫穿這些分階段安排，也許更符合學生日常生活中的實際認知過程。從測量的視角來理解小數計數單位的意義，需要關注以下三個方面：一是感受計數單位的測量價值，如1.23既可以是1.23個1，也可以是12.3個0.1，更可以是123個0.01；二是讓學生經歷計數單位的形成過程，如在認識小數時，把1 平均分成10 份，其中的2 份如何表示呢？讓學生大膽去猜想，去嘗試創造新的單位；三是讓學生真切體會為什么要選擇合適的計數單位來進行計數，如認識大數時，我國的人口就不適合用較小的計數單位來計數。

3.要注意培養學生的數感。

在測量和計數教學中，培養學生的數感十分重要。小學生對數的理解主要建立在其對量的認識的基礎之上。學生有很多對量進行比較（測量）的生活經驗，并由此慢慢積累起大量的數的經驗。在測量教學或測量視角下的小數教學中，要讓學生經歷由量到數的過程。在這個過程中，尤其要注重學生估計意識和估算能力的培養，讓學生在測量中通過對量的估計逐步積累起數量經驗，加深數與量之間的聯系，再通過不斷抽象，慢慢加深對數的意義的認識以及對數的大小的理解，從而逐步建立、豐富、完善數感。

綜上所述，任何小學數學的課程或教學改革，抑或小學數學教師的專業發展，首先必然意味著對數學自身的理解的逐步深入與逐漸拓展。否則，任何所謂的創新必然是“夢幻的現實”，均無實現的絲毫可能。