橫向爆炸載荷下泡沫鋁填充管的動態響應

張春云，劉志芳

（太原理工大學機械與運載工程學院應用力學研究所，山西 太原 030024）

泡沫鋁填充管因具有構造和加工技術簡單、生產成本低且效率高等優點，被廣泛應用在各種類型工程結構中。在實際工程中，填充管會承受各種類型的沖擊載荷，甚至爆炸載荷，因此沖擊載荷下填充管的安全性受到了越來越多的關注，填充管的動態響應引起了國內外學者的研究興趣。

基于空管的特點及其在工程中的廣泛使用，學者們開始了對空管的研究。根據大量爆炸實驗，Henrych[1]建立了經驗公式，對TNT 炸藥在空氣中爆炸形成的沖擊波壓力峰值進行理論分析。Wierzbicki 等[2]基于地基梁模型，考慮圓柱殼在沖擊和爆炸載荷作用下產生軸向拉伸與圓周方向彎曲的特點，提出了研究殼的動態響應問題的分析方法。于博麗等[3]基于地基梁模型，采用模態分析法，建立了橫向爆炸載荷下圓柱殼跨中撓度的理論分析模型，實驗研究與數值模擬驗證了該模型的合理性，結果表明圓柱殼的長徑比、厚度對圓柱殼的變形模式有較大影響。Li 等[4]通過實驗研究了橫向爆炸載荷下圓柱殼的變形模式，包括局部塑性變形、菱形形狀的大的塑性變形與大的非彈性變形。基于圓的變形模式，使用剛塑性分析法，建立了圓柱殼跨中撓度的理論分析模型，解析解小于最終跨中撓度。Brochard 等[5]基于理想剛塑性地基梁模型，提出了一種可以預測水下爆炸產生的沖擊波致使圓柱殼破壞的分析方法。Yuen 等[6]通過對外部集中爆炸載荷作用下的圓柱殼進行實驗和數值模擬，驗證了地基梁模型分析其動態響應的合理性。Karagiozova 等[7]將爆炸沖擊近似為脈沖載荷，采用剛塑性分析法，研究了沖擊載荷作用下空心梁的變形與能量吸收特點。Walters 等[8]使用剛塑性分析法提出了可預測任意形狀的殼結構動態塑性響應的理論方法，證明了爆炸載荷作用下夾支圓柱殼的塑性響應與均布壓力脈沖載荷作用下圓柱殼的塑性響應基本一致。國內外學者對爆炸載荷下圓柱殼的動態響應進行了分析，發現圓柱殼的抗沖擊性較差，該結構在實際工程中較難滿足安全性要求。

與空管相比，填充管因顯著提高了諸多力學性能而吸引了學者的廣泛關注。Wang 等[9]基于三相法建立了橫向沖擊下預測填充管沖擊力與位移響應的理論分析模型，實驗與數值模擬驗證了該理論分析模型的合理性。Hall 等[10]通過實驗對泡沫鋁填充管進行準靜態與動態加載，研究了填充管的橫向與軸向壓潰，結果表明，與空管相比，填充管的能量吸收能力顯著增加。Wang 等[11]實驗研究了爆炸載荷下混凝土填充管的抗爆防護性能，分析了炸藥用量、鋼管壁厚及橫截面形狀對結構動態響應的影響。Zhang 等[12]結合數值模擬與實驗研究了靜態與動態載荷下混凝土填充管的彎曲行為，結果表明該結構具有良好的抗彎曲性能。Yousuf 等[13]采用數值模擬與實驗研究了橫向沖擊載荷下空心管與混凝土填充管的力學性能，發現與空管相比，填充管具有更高的強度和延展性，能量耗散能力有了顯著提高。鄧旭輝等[14]采用數值模擬研究了近爆載荷下鋼管混凝土柱的損傷機理、能量吸收特性與影響參數。

綜上所述，已有的研究主要集中于填充管的數值模擬與實驗研究，結果表明，與空管相比，填充管具有更優異的能量吸收能力和抗爆性能。但是填充管在橫向爆炸載荷下動態響應的理論分析尚未見報道。為探明橫向爆炸載荷下泡沫鋁填充管的動力特性與變形機理，采用數值模擬與理論分析相結合的方法研究其動態響應。利用ABAQUS/EXPLICIT 建立泡沫鋁填充管的有限元模型，分析填充管的幾何參數與泡沫鋁的相對密度對結構塑性變形的影響。基于理想塑性地基梁模型，結合模態分析法，建立預測爆炸載荷下泡沫鋁填充管跨中撓度的理論分析模型，并進行無量綱化分析。對比理論分析與有限元模擬結果，進一步探究填充管的幾何參數、爆炸載荷參數、泡沫鋁相對密度與模態函數等因素對其跨中撓度的影響。

1 數值模擬

1.1 爆炸載荷

根據Henrych[1]的研究可知，炸藥爆炸產生的反射爆炸超壓Δpφr可由炸藥量W與炸藥距結構的距離H得到

式中：Δpφ為爆炸形成的超壓，為比例距離，W=35 g[3]，H=150 mm[3]。

由反射爆炸超壓可得爆炸載荷峰值p0為

假設爆炸載荷的近似方程[15]為

式中：0 ≤x≤L/2，0 ≤θ ≤π/2。填充管承受軸向應力作用如圖1(a)所示，實心泡沫鋁填充管承受徑向應力作用如圖1(b) 所示，爆炸載荷作用的長度為泡沫鋁與薄壁圓管的長度L，d2為填充實心泡沫鋁的直徑。

圖1 爆炸載荷下填充管的幾何模型Fig. 1 Geometry of the tube filling with aluminum foam under blast loading

1.2 材料參數

泡沫鋁填充管是由不銹鋼管與相對密度為8%、12%與20%的泡沫鋁組成。不銹鋼管的密度為7 830 kg/m3，彈性模量為193 GPa，泊松比 μ為0.25，屈服應力為205 MPa。當應變為0.4 時，極限抗拉強度σUTS=520 MPa[3]。填充管的壁厚分別為0.7、0.8 mm，外徑分別為76、89 mm。泡沫鋁與不銹鋼管的長度均為280 mm，泡沫鋁參數[17]如表1 所示，其中：E為彈性模量，σs為圓管的屈服應力。

表1 泡沫鋁參數[17]Table 1 The parameters of aluminum foam[17]

1.3 數值模型

采用有限元軟件ABAQUS/EXPLICIT對3 種相對密度泡沫鋁填充的不同壁厚有限長不銹鋼管在橫向爆炸載荷作用下的動態響應進行數值模擬分析。根據式(4)得到的爆炸載荷峰值，在填充管的上半部作用如式(6)所示的爆炸載荷，分析其動態響應。不銹鋼管采用S4R 單元，材料模型采用Cowper-Symonds 本構方程，其中不銹鋼管應變率敏感率D=100 s?1，參數q=10[18]。考慮到泡沫鋁對應變率效應不敏感，為此材料模型采用雙線性彈塑性模型，選用C3D8R 單元。該爆炸載荷作用在結構上產生的效果與實際爆炸載荷作用下兩端固定的結構產生的效果相同，因此邊界條件為填充管的兩端固定，圓管的內表面與泡沫鋁的外表面綁定，且為通用接觸。

1.4 網格敏感性驗證

網格尺寸大小對數值模擬結果具有重要的影響。以外徑為89 mm、壁厚為0.7 mm、填充相對密度為12%的填充管為研究對象，網格尺寸分別取1.8、1.9 與2.0 mm 進行數值模擬分析，研究網格尺寸對填充管跨中撓度的影響，結果如圖2所示。由圖2 可知，網格尺寸小于1.9 mm 時計算結果收斂。為了節省計算時間，本數值模擬采用1.9 mm 的網格尺寸。

圖2 網格尺寸對跨中撓度的影響Fig. 2 Influence of mesh size on the deflection of the mid-span

1.5 數值模擬結果與討論

根據本研究的藥量與距離，得到爆炸載荷峰值為23.6 MPa。在該爆炸載荷作用下，泡沫鋁填充管跨中撓度隨著時間的增加而增加，當達到最大值后，跨中撓度的數值模擬結果隨著時間的增加而小范圍波動，將這一階段的撓度取平均值作為數值模擬結果。表2 給出了2 種外管直徑、2 種外管壁厚、3 種泡沫鋁相對密度共計12 個填充管的數值模擬結果，其中W為跨中撓度，下標theor 和sim 分別表示理論解和數值模擬結果。由表2 可知：外管的外徑d1與壁厚h一定時，填充管跨中撓度隨著泡沫鋁相對密度的增大而減小；外管的壁厚與泡沫鋁相對密度一定時，填充管跨中撓度隨著外徑的增大而減小；當外管的外徑與泡沫鋁相對密度一定時，填充管跨中撓度隨著壁厚的增大而減小。

表2 實心泡沫鋁填充管跨中撓度的模態解與數值模擬結果對比Table 2 Comparison of mid-span deflection of foamed aluminum filled tubes of modal solutions and numerical simulation results

2 理論分析

2.1 初始速度

在爆炸載荷作用下，剛塑性結構通常會先發生瞬態響應，后出現模態響應。在瞬態響應階段，由于結構的變形隨時間不斷發生顯著的變化，由此產生的速度場和加速度場的大小和分布都在不斷地變化，因此精確分析結構的瞬態響應具有很大的難度。在模態響應階段，可以認為結構的變形不發生變化，速度場的分布形式不發生變化，若不考慮幾何大變形，加速度場也保持不變，因此剛塑性結構做勻減速運動。考慮到結構的塑性變形與破壞發生在瞬態沖擊階段，模態響應階段處于衰減階段，基于模態響應階段的特征，提出模態分析法，在實現簡化分析的同時，得到的模態解趨同于瞬態沖擊的完全解。采用理想剛塑性地基梁模型，得到填充管跨中撓度的模態解，研究橫向爆炸載荷下有限長泡沫鋁填充管的動態響應問題[18]。

在爆炸載荷作用下，填充管承受的橫向動量為

發生爆炸后，填充管受到的脈沖

根據IT=Ω1，填充管跨中的初始速度可以表示為

2.2 跨中撓度的模態解

根據模態解初始速度的定義，可得

基于模態分析法，認為加速度大小不變，可以表示為

廣義應變率與軸向應變率滿足如下關系[3]

對于橫向爆炸載荷作用下有限長泡沫鋁填充管的動態響應，采用如圖3 所示的地基梁模型進行分析。

圖3 爆炸載荷下填充管剛塑性地基梁Fig. 3 Rigid-plastic beam-on-foundation of the tube filling with aluminum foam under blast loading

假設地基梁模型滿足如下式所示的屈服準則式（19）表明，橫向爆炸載荷下填充管跨中的最大撓度與填充管的幾何參數、材料參數與加載參數有關，以下研究中跨中最大撓度均稱為跨中撓度。

3 結果與討論

3.1 跨中撓度的模態解與數值模擬結果的對比

對泡沫鋁相對密度分別為8%、12%和20%，外管壁厚分別為0.7、0.8 mm，外管直徑分別為76、89 mm，長度為280 mm 的填充管進行理論分析。利用第2 節推導的式(19)計算泡沫鋁填充管在橫向爆炸載荷下的跨中撓度，計算結果如表2 所示。由表2 可知，泡沫鋁填充管的外徑與壁厚一定時，隨著泡沫鋁相對密度的增大，填充管的跨中撓度減小。根據文獻[3]，爆炸載荷下薄壁圓管的跨中撓度的模態解與數值模擬解的相對偏差最大，達到41%，而在表2 中，跨中撓度的模態解與數值模擬結果的最大相對偏差為20%，可以認為兩者之間具有較好的一致性。對于外徑為89 mm、壁厚為0.8 mm、填充3 種相對密度的泡沫鋁填充管而言，跨中撓度的模態解比數值模擬結果略小，當保留小數點后一位時，相對偏差為零。

3.2 跨中撓度的無量綱化

基于無量綱理論，分析填充管的長徑比（1/λ）、徑厚比（1/η）對填充管跨中無量綱撓度（）的影響。將沖量無量綱化

當In=0.18、α=0.022、β=0.042（填充相對密度為12%的泡沫鋁）時，研究填充管的長徑比、徑厚比對填充管跨中撓度的影響。長徑比對填充管跨中撓度的影響如圖4 所示，分析可知跨中無量綱撓度隨著無量綱量 λ的增大而減小。填充管的壁厚比對跨中撓度的影響如圖5 所示。由圖5 可知，跨中無量綱撓度隨著徑厚比的減小而減小。

圖4 無量綱撓度-無量綱量λ 曲線Fig. 4 Curves of non-dimensional deflection vs.the non-dimensional quantity λ

圖5 無量綱撓度-無量綱量η 曲線Fig. 5 Curves of non-dimensional deflection vs.the non-dimensional quantity η

3.3 理論分析與數值模擬結果的無量綱化對比

選擇外管尺寸為d1=100 mm、L=300 mm、h=1.0 mm 和d1=50 mm、L=150 mm、h=0.5 mm 兩種填充管，填充泡沫鋁的相對密度為12%，對應的無量綱參數λ=1/3，η=0.01，進行理論分析和數值模擬。利用式(21)對上述兩種填充管進行計算，得到跨中無量綱撓度，如圖6 所示。圖6 中，Wtheor為理論無量綱撓度，為數值模擬無量綱撓度，100-1.0 表示外徑為100 mm、壁厚為1.0 mm 的實心泡沫鋁填充管，50-0.5 表示外徑為50 mm、壁厚為0.5 mm 的實心泡沫鋁填充管。

圖6 不同無量綱沖量下無量綱撓度的理論解與數值模擬結果的對比Fig. 6 Comparison of the non-dimensional deflection of the theoretical results and numerical results under different value of In

將式(6)、式(9)代入式(20)，得到爆炸載荷峰值，其表達式為

對上述兩種尺寸的填充管施加如式(22)所示的爆炸載荷峰值，并對其進行數值模擬，模擬結果如圖6 所示。

由圖6 可知，填充管的跨中無量綱撓度隨著無量綱沖量的增大而增大。當無量綱沖量較小時，跨中撓度的解析解與數值模擬結果吻合較好；當無量綱沖量較大時，跨中無量綱撓度的模態解與數值模擬結果的相對偏差較大。原因是爆炸產生的無量綱沖量越大，結構產生的塑性變形越大，跨中撓度越大，而膜力做功所占的比例隨著跨中撓度的增大而增大；在跨中撓度模態解的分析過程中，膜力做功與塑性極限彎矩有關，導致跨中撓度的模態解小于數值模擬結果。

3.4 泡沫鋁相對密度對跨中撓度的影響

以外管直徑76 mm、壁厚0.7 mm、長度280 mm（對應的無量綱參數為λ=0.27， η=0.009 2）的填充管為研究對象，利用式(21)分析無量綱密度 （無量綱屈服應力 ）對填充管跨中無量綱撓度的影響。圖7給出了3 種無量綱密度α=0.028 （ β=0.014）、α=0.042（ β=0.022）與α=0.070（ β=0.039）填充管的跨中無量綱撓度隨無量綱沖量的變化曲線。

由圖7 可知，在橫向爆炸載荷作用下，泡沫鋁的相對密度對填充管跨中撓度具有顯著的影響。當無量綱沖量一定時，α=0.028對應的無量綱撓度最大， α=0.070對應的無量綱撓度最小，即填充管跨中撓度隨著泡沫鋁相對密度的增大而減小。

圖7 無量綱撓度-無量綱沖量曲線Fig. 7 Curves of non-dimensional deflection vs.the non-dimensional impulse

3.5 爆炸載荷峰值 p0與衰減常數τ對跨中撓度的影響

從式(23)可以看出，爆炸載荷峰值p0與衰減常數τ成反比，即對于給定的無量綱撓度，爆炸載荷峰值隨著衰減常數的增大而減小。圖8 為無量綱撓度分別為0.02、0.10、0.50 時的3 條p0- τ曲線。由圖8可知：當衰減常數τ一定時，填充管跨中撓度隨著爆炸載荷峰值p0的增加而增加；當爆炸載荷峰值p0一定時，跨中撓度隨著衰減常數τ的增加而增加。

圖8 爆炸載荷峰值-衰減常數曲線Fig. 8 Curves of peak explosive load p0 vs.characteristic time constantτ

3.6 模態函數對跨中撓度的影響

采用模態分析法求解填充管跨中撓度的過程中，速度場與模態函數相關，因此模態函數與跨中的初始速度、模態解初始速度及加速度密切相關。假設模態函數為余弦函數，與第2 節中的結果進行對比，分析模態函數對結果的影響。

作用在填充管上的橫向動量

根據IT=Ω2，得到填充管跨中的等效初始速度為

該模態函數對應的模態解的初始速度

對應的加速度為

采用該模態函數得到的跨中撓度的表達式為

將填充管的幾何參數與材料參數代入式(29)可得到填充管的跨中撓度。表3 給出了兩種模態函數下不同泡沫填充管的跨中撓度與誤差分析。由表3 可知，兩種模態函數假設下泡沫鋁填充管的跨中撓度均隨泡沫鋁相對密度的增大而減小，隨外管壁厚和直徑的增大而減小。由余弦形式的模態函數得到的跨中撓度小于由線性分布的模態函數得到的結果。假設兩種模態函數得到的跨中撓度的相對偏差在14%以內，則模態函數對最終跨中撓度的影響較小。

表3 兩種模態函數跨中撓度的對比Table 3 Comparison of mid-span deflection corresponding to two modal functions

4 結 論

(1) 利用有限元軟件ABAQUS/EXPLICIT 對橫向爆炸載荷下泡沫鋁填充管的塑性變形進行了數值模擬分析，研究了泡沫鋁的相對密度、外管直徑與壁厚等因素對結構動態響應的影響。結果表明，泡沫鋁相對密度對橫向爆炸載荷下填充管的跨中撓度有較大的影響，隨著泡沫鋁相對密度的增大，填充管跨中撓度減小；隨著外管直徑與壁厚的增大，跨中撓度減小。

(2) 采用理想塑性地基梁模型和模態分析法，根據橫向爆炸載荷下泡沫鋁填充管塑性變形的特點，假定其模態函數，建立預測泡沫鋁填充管跨中撓度的理論分析模型，并與數值模擬結果進行了對比，誤差在20%以內，表明所建立的理論分析模型合理可行。

(3) 基于無量綱理論，推導了橫向爆炸載荷下填充管跨中撓度的無量綱計算公式，分析了爆炸沖量對結構塑性變形的影響規律，并與對應的有限元模擬結果進行了對比。結果表明，無量綱沖量較小時，理論預測與數值模擬結果較為吻合，無量綱沖量較大時，二者之間的相對偏差逐漸增大。