雙軸旋轉調制捷聯慣導系統旋轉方案優化設計

謝元平，范會迎，王子超，羅 暉，于旭東

（國防科技大學前沿交叉學科學院，長沙 410073）

慣性測量單元（Inertial Measurement Unit, IMU）誤差的標定是捷聯慣導系統（Strapdown Inertial Navigation System, SINS）誤差補償的一項重要技術。系統級標定法通過慣導系統的導航解算誤差，建立IMU輸入輸出精確的數學關系模型，可以實現慣導系統現場標定、自標定[1-2]，且具有不需要高精度轉臺等測試設備、不需要測量記錄陀螺或加速度計的輸出等優點，彌補了傳統分立式標定法精度低的不足。在系統級標定旋轉方案研究方面，要以誤差傳遞解耦和提高誤差參數的可觀測性為目的進行方案編排。文獻[3]設計了一種25位置轉動編排方式，額外考慮了加速度計的二次項誤差和內桿臂的誤差，驗證了其可行性。文獻[4]設計了1套10位置旋轉編排方案，相較以前的方案所需時間更短、精度更高，具有較好的工程應用參考價值。文獻[5]給出了一種SAGEM公司使用的激光陀螺捷聯慣導系統濾波標定方法，設計了一種18位置的標定方案，可以達到導航級慣性導航系統的標定精度要求。

目前，國內外高精度捷聯慣導系統廣泛采用了旋轉調制技術，以抵消慣性測量單元誤差對導航系統的影響[6-8]。合理的旋轉調制方案，既要盡量避免引入由旋轉運動引起的累積導航誤差，又要盡可能減小零偏、標度因數誤差和安裝誤差等器件誤差帶來的導航誤差。相比于單軸旋轉調制方案，雙軸方案能夠調制三個軸向上的器件誤差，抑制系統誤差隨時間的積累[9]。文獻[10]分析指出，在傳統靜電陀螺8次序旋轉方案中，安裝誤差引起的數學平臺誤差角度不斷累積，會引起一個不斷增長的導航誤差。作者將該方案中后4個次序反向旋轉，設計了一種能夠抵消所有安裝誤差的改進的8次序旋轉方案。最后設計了一種16次序旋轉方案，解決了改進后的8次序方案中仍存在標度因數不對稱性誤差補償不完全、計算誤差累積等問題。文獻[11]提出了一種改進式的16次序調制方案，該方案不僅能調制零偏誤差、安裝誤差和標度因數誤差，還能有效地減小由陀螺安裝誤差引起的速度和位置誤差振蕩，明顯提高定位精度。文獻[12]提出了一種64次序旋轉方案，該方案將64次序的旋轉順序分為四個小周期，其針對由對稱性標度因數誤差引起的姿態角誤差的調制效果比16次序旋轉方案更為理想。目前國內旋轉慣導系統普遍采用文獻[10]提出的16次序方案，其他方案在實踐中并不多見。文獻[13]提出了6條兼具自標定與旋轉調制功能的旋轉方案的設計原則，并具體給出了一種48次序一體式旋轉方案，該方案不僅降低了實際操作的復雜性，而且對安裝誤差的調制效果優于傳統16次序方案，相比18位置標定方案對器件誤差參數的標定結果更精確。但是該旋轉方案仍然存在旋轉次序冗余，誤差調制周期過長等問題。

本文將基于文獻[13]提出的6條設計原則，首先給出一種改進的40次序旋轉方案，然后根據捷聯慣導系統誤差傳播方程，對系統的可觀測性和誤差傳播特性進行分析，證明該方案可以同時實現自標定和旋轉調制功能，并對比該方案與傳統16次序方案、18位置方案和48次序方案對各誤差狀態量的標定效果和對器件誤差的旋轉調制效果。最后，通過仿真和實驗對比40次序方案、48次序方案的導航性能，并給出結論。

1 旋轉調制式捷聯慣導系統

采用捷聯慣導系統φ角誤差方程描述旋轉過程中誤差傳播特性[14]：

式中：n表示導航坐標系，s表示IMU坐標系，i表示地心慣性系，e表示地球坐標系，b表示載體坐標系；φ為數學平臺姿態角誤差，v、δv分別表示數學平臺速度及其誤差，ω、δω分別為角速度及其誤差，f、δf分別表示加速度計測量比力及其誤差；δg為重力偏差，為從IMU坐標系到導航坐標系的變換矩陣。

旋轉式捷聯慣導系統通過旋轉機構控制IMU轉動，可以周期性改變使誤差傳播模型中的數學平臺誤差項和在一個周期內的積分為零，即由慣性器件誤差造成的數學平臺姿態角誤差的均值為零，以此消除慣性器件誤差累積對導航結果的影響。其中陀螺和加速度計的輸入輸出誤差模型為：

在靜基座條件下，IMU載體無線運動和角運動，假設初始時刻n、b、s三系重合，即I為單位矩陣，且轉動過程中始終有ωen=0、ωnb=0。以陀螺誤差為例，在一個旋轉周期T內其引起的姿態角誤差為：

設陀螺誤差矩陣用E表示：

其中E11、E22、E33分別表示三個陀螺的標度因數誤差，其它元素表示安裝誤差。

僅考慮旋轉運動與器件誤差的耦合，忽略地球自轉，則式(3)化為：

2 一體式旋轉方案設計

根據文獻[13]中的6條設計原則，提出一種改進的40次序自標定和旋轉調制一體式旋轉方案，示意圖如圖1所示。

圖1 40次序一體式旋轉方案Fig.1 The unified 40-sequence rotation scheme

圖中U、E為導航坐標系的天向軸和東向軸，A～D、A′～D′為8個滯停位置，虛線表示零偏矢量→ε在旋轉過程中的運動軌跡(初始位置為A)，1～40表示40個旋轉次序。該方案繞水平兩軸翻轉，具體旋轉次序如表1所示，其中x、y、z為IMU的三個軸。

表1 詳細旋轉方案Tab.1 The detailed rotation scheme

設置轉速為12°/s，每個次序結束后的滯停時長為60 s，則在IMU系下，16次序方案、48次序方案和40次序方案在一個旋轉周期內繞IMU各軸的旋轉角度如圖2所示。可以看出，16次序方案繞x、z軸的旋轉角度范圍為-720 °～720 °，而48次序方案和40次序方案繞IMU各軸旋轉角度范圍為-360 °～360 °，避免了IMU繞同一個軸旋轉角度過大。

圖2 三種方案下IMU各軸旋轉角度Fig.2 The rotation angle around each IMU axis of the three scheme

3 可觀測性分析和誤差分析

3.1 可觀測性分析

為證明40次序一體式旋轉方案可實現對誤差參數的自標定功能并對比標定效果，本節將進行基于分段線性定常系統（PWCS）的可觀測性分析和基于奇異值分解（SVD）的可觀測度分析[15-17]。

建立30維度卡爾曼濾波標定方程：

其中X(t)為狀態向量，A(t)為系統矩陣，W(t)為激勵噪聲。狀態向量取為：

式中δλ、Lδ、hδ分別為經度誤差、緯度誤差和高度誤差。

卡爾曼濾波器件的量測方程為：

式中Z(t)為量測量，V(t)為系統量測噪聲，是系統量測矩陣。

對系統進行分段線性化，利用提取可觀測性矩陣（SOM）代替總體可觀測性矩陣（TOM）進行可觀測性分析，針對18位置方案和40次序方案分別計算各位置SOM的秩，結果如表2所示。可以看到，經過四個次序的旋轉后，40次序方案中SOM的秩達到了30，等于濾波器的維數，證明該系統完全可觀。此外40次序方案SOM的秩比18位置方案更早一步達到30，說明40次序方案能夠更快觀測全部狀態變量。

表2 各位置SOM的秩Tab.2 Ranks of the SOM

系統提取可觀測性矩陣SOM的奇異值大小與可觀測程度大小呈正相關，奇異值越大，對應狀態向量的觀測效果越好。分別給出18位置方案、48次序方案和40次序方案均旋轉48個次序后各狀態量對應SOM的奇異值，結果如表3所示。

表3 各狀態量對應SOM的奇異值Tab.3 Singular values of parameters

相比于18位置方案，40次序方案大部分狀態量對應的SOM奇異值均更大，說明40次序方案可觀測程度更高，標定結果更容易接近真實值。對于部分狀態量，40次序方案中其對應SOM奇異值大于48次序方案，說明對這些狀態量可觀測度更高。

3.2 誤差分析

為證明本文提出的40次序一體式旋轉方案可實現旋轉調制功能并對比旋轉調制效果，本節將以陀螺誤差項為例對其傳播特性進行分析。

根據式(5)，計算一個旋轉周期內由E引起的數學平臺姿態角誤差：

可以看到，在一個旋轉周期內對于誤差E有說明在的時間內由E引起的數學平臺姿態角誤差被調制為0，在一個旋轉周期內不會造成誤差累積，能夠達到調制標度因數誤差和安裝誤差的目的。

圖3給出了16次序方案和40次序方案在一個小時的時間內，經過旋轉調制后由陀螺安裝誤差(5″)造成的北向姿態角誤差對比結果。可以看到，本文提出的40次序方案的北向姿態角誤差均值和峰值都小于16次序方案，可以推測由該姿態角誤差與重力耦合引起的鋸齒形速度誤差也將更小，證明了本文提出的40次序方案可以對安裝誤差有更好的調制效果。

圖3 陀螺安裝誤差引起的北向數學平臺姿態角誤差對比Fig.3 The comparison of northward mathematical platform misalignment angle errors caused by the gyro misalignment errors

圖4 n系下陀螺零偏引起的數學平臺姿態角誤差對比Fig.4 The comparison of mathematical platform misalignment angle errors in ‘n frame’ caused by gyro drifts

4 仿真與實驗驗證

文獻[13]中仿真和實驗結果已經表明，相比于傳統18位置自標定方案和16次序旋轉調制方案，48次序一體式方案減小了導航速度誤差和定位誤差，提高了導航精度。本節仿真和實驗主要對比48次序方案和40次序方案的導航結果。

4.1 仿真驗證

4.1.1 自標定仿真驗證

為對比18位置方案、48次序方案和本文提出的40次序方案對器件誤差參數的標定效果，現分別采用這三種方案進行4 h自標定仿真，結果如表4所示。可以看出，相比于傳統18位置方案，40次序方案的標定結果更接近真實值。

表4 自標定仿真結果Tab.4 Simulation results of self-calibration

4.1.2 旋轉調制仿真驗證

利用MATLAB進行導航仿真，條件設置如表5。圖5(a)為48次序方案和40次序方案分別進行三天旋轉調制仿真后產生的東向、北向速度誤差，圖5(b)為兩種方案的導航位置誤差。48次序方案產生的東向、北向速度誤差最大值分別為0.53 m/s和0.76 m/s，位置誤差最大為0.36 nm。而40次序方案產生的東向、北向速度誤差分別為0.43 m/s和0.62 m/s，位置誤差最大為0.31 nm，導航誤差略小于48次序方案，說明40次序方案對誤差的調制效果更好，進一步提升了捷聯慣導系統的導航精度。

表5 仿真參數設置Tab.5 Parameters used for simulations

圖5 48次序方案和40次序方案的速度誤差和位置誤差對比Fig.5 The comparison of velocity and position errors for the 48-sequence scheme and the 40-sequence scheme

4.2 實驗驗證

實驗系統如圖6所示，其組成包括某型IMU、三軸轉臺、旋轉機構控制端和數據接收端。IMU中三個激光陀螺的零偏穩定性優于0.003°/h，三個石英加速度計的零偏穩定性優于10μg。

圖6 實驗系統圖Fig.6 The diagram of the experimental system

為驗證40次序一體式方案對自標定和旋轉調制功能具有提升效果，進行以下對比實驗：1.為期3天的48次序一體式方案導航實驗；2.為期3天的40次序一體式方案導航實驗。

兩組實驗前4 h用于自標定和初始對準，后72 h進行旋轉調制導航。兩組實驗溫度均設為恒溫25 ℃，同時設置相同的轉速、滯停時間等條件，導航結果如圖7所示。可以看到，相比于48次序方案，40次序方案的東向和北向速度誤差最大值分別減少了0.09 m/s和0.11 m/s，位置誤差最大值減少了0.055 nm，速度精度和位置精度分別提高了約20%和12%，說明40次序方案對器件誤差的標定和旋轉調制效果更優，能夠有效提高導航精度。

圖7 速度誤差和位置誤差對比Fig.7 The comparison of velocity errors and position errors

5 結 論

本文針對捷聯慣導系統48次序一體式旋轉方案的旋轉周期過長，旋轉次序存在冗余的問題，提出了一種改進的40次序一體式旋轉方案。通過可觀測性分析和誤差分析，證明了該方案不僅兼具自標定和旋轉調制功能，而且對器件誤差狀態量的可觀測度高于18位置方案和48次序方案，對安裝誤差的調制效果優于傳統16次序方案，對零偏誤差的調制效果優于48次序方案。仿真和實驗結果表明，40次序方案在3天內分別提高了約20%和12%的速度精度和位置精度。下一步可以針對是否存在旋轉次序更少、標定或調制效果更優的一體式方案開展研究。