以直觀模型支持算理理解

陳小玲

【摘 ? 要】學生理解小數除法的難點是對整數部分余數的處理。基于學習路徑分析的“小數除法”單元整體教學，在學生學習列豎式解決小數除法計算問題之前，增設一節指向算理理解的操作活動課。引導學生以直觀模型為媒介，積累先轉換計數單位，再將同單位的數合并、均分的活動經驗，幫助學生理解小數除法的算理本質，溝通算法與算理之間的聯系，為后續豎式意義建構打下思維與活動經驗基礎。

【關鍵詞】小數除法;直觀模型;算理理解;活動課

從基于學習路徑分析的單元整體教學視角思考小數除法單元的教學，我們得出小數除法單元的核心學習目標是理解算理并掌握豎式算法。通過學習起點分析，可知大部分學生能夠用自己的方法解決有關小數的實際問題，在豎式書寫中知道整數部分有余數時還可以繼續往下除，但不知道如何將整數部分的余數進行轉化處理。據此，我們確定本單元的主要學習路徑為：①建立小數平分模型，理解如何對整數部分的余數進行轉化處理;②結合平分模型，以算理理解支持豎式記錄的意義建構;③理解除數是小數的小數除法的算理并掌握豎式算法。

在整數除法的學習中，學生會借助直觀模型，通過“分一分”“算一算”這兩大操作活動來理解算理。但在小數除法的學習中，很多教材提供的現實模型都僅限于抽象思維層面，而沒有具象操作層面。在運算教學中，直觀模型在促進學生理解算理方面有十分明顯的效果，特別是小數除法豎式中對于整數部分余數的轉化處理，更需要借助直觀模型來促進學生的理解與建構[1]。因此，在新授課之前的操作活動課中，我們創設了分錢的現實情境，借助直觀模型“平分人民幣”，讓學生經歷換錢、分錢的過程，從而理解小數除法的算理本質——逐步細分計數單位。

【教學過程】

（一）分一分，在操作活動中感悟計數單位細分的必要性

教師出示任務一：5個小伙伴收集了一些廢品，一共賣了11.5元錢。平均每個人可以分得多少元？

1.想一想，說一說

課件出示：廢品站的叔叔給了他們1張10元，1張1元，5張1角的鈔票，要將這些錢平分給5個人，會遇到什么問題？

生：1張10元無法分給5個人，因為人民幣不能撕毀。

生：1張1元也無法分下去。

學生達成一致意見：因為10元、1元面額的人民幣不能分，所以要換成面額更小的錢才能將錢全部分下去。

2.寫一寫，換一換

課件出示：每個小組有一次兌換零錢的機會。請先想好如何兌換，再到“零錢銀行”按需換取。

師：你們小組想如何換錢？討論后，請將換錢方案寫在記錄單上。一會兒拿著你們的記錄單來換取零錢。

學生小組內商量如何換零錢，并做好記錄。之后，各小組依次到零錢兌換處兌換零錢。可兌換的幣值只有1元和1角的，如果學生要求換其他幣值的，教師予以提醒。

3.分一分，記一記

課件出示：小組內將兌換好的11.5元錢平分給5個小朋友，并用算式記錄每次分的過程（結果以元為單位）。學生組內動手分錢，做分錢過程的記錄。

4.活動反饋，全班交流

學生在換或分的過程中，會出現一些典型的課堂生成。教師基于學生的分法組織學生交流、修正。

（1）反饋換錢方案

師：對于第一種換法（如圖1）和第二種換法（如圖2），你們更傾向于哪一種？

生：第二種方法，更方便分錢，不需要拿著那么多的零錢。

生：第二種方法可以直接把錢分給5個人，不用分得那么碎。

師：兩種換法都是對的。但正如同學們所說，第二種方法更簡潔。

（評析：設置適切的問題情境，凸顯矛盾——無法分錢，要換成面額較小的錢。學生將11.5元換成115角，就是將小數除法的計算轉化為整數除法的計算，能解決實際問題。然而，這種方法并不能很好地幫助學生體會小數除法的算理本質。而第二種換錢方法，體現了計算過程中對余數或分不下去的大面額人民幣的轉化處理，即將其兌換成下一個計數單位再分，有助于學生建構直觀模型并理解算理本質。因此，引導學生排除第一種方法，方便后面的聚焦討論。）

（2）討論分錢記錄

師：這兩種記錄方式哪一種更符合我們換錢、分錢的實際情況？

生：第二種方法（如圖4）更符合。第一種方法（如圖3）中，1元是分不了的，要把1元換成10角，才可以平均分。（學生說，教師及時在學生作業旁記錄）

師：也就是說，第二種方法確實是把剛才換錢、分錢的實際情況給記錄下來了。

師：那么再看第三種方法（如圖5），你能看懂嗎？符合我們換錢、分錢的過程嗎？

生：我認為不符合，剩下的1元已經換成10角，應該把1.5÷5=0.3（元）改成15角÷5=3角。

（教師及時在學生作業旁記錄）

師：這里的15角是怎么來的呢？

生：剩下的1元換成10角，加上原來的5張1角，合起來就是15角。

師：明白了。這里是把換的10角和原有的5角合在一起再平均分，每人分得3角。

（教師將圖3和圖5的記錄放在一起，引導學生做對比）

師：請同學們觀察圖3和圖5中修正后的記錄，它們有什么不同之處？

生：第一種方法是先分10角，再分剩余的5角，第三種方法是把10角和5角合起來一起分。

師：也就是說第一種方法是先分10角，再分5角，第三種方法是10角和5角合起來分一次。你們組是怎么算的呢？

生：我們是分開算的。

師：那現在再讓你分一次，你會怎么分？

生：我可能會選擇第三種方法。

師：為什么？

生：因為同一單位的可以合在一起分。

師：你的回答引發了我的思考，我們可以把10角和5角合起來分，但是不會把10元和15角放在一起分，為什么？

生：因為單位不同。

師：經過剛才的討論，哪位同學能把換錢、分錢的過程整理一下？我們一起記錄下來。

生：10元=1元×10，1元=1角×10，10角+5角=15角。10元÷5=2元，15角÷5=3角，2元+3角=2.3元。

師：在整個過程中，哪些行為對我們分錢至關重要？

生：換錢，把10元換成10個1元，把1元換成10個1角。

（評析：學生反饋的過程就是他們對換錢、分錢操作過程的整理與反思。在這個過程中，教師引導學生重點反饋：①分的順序和結果的合理性;②所做記錄與分錢過程的相符性。在直觀模型表征與算式表征之間建立一一對應的關系。通過關鍵問題的引領給學生提供更多的思考空間，幫助學生真正理解計數單位細分的重要性與必要性。）

（二）算一算，多元表征理解單位細分的必要性

教師出示任務二：你網購了14米長的繩子，準備做4條跳繩。平均每條跳繩長多少米？

出示活動要求：（1）分一分，算一算，用自己喜歡的方式記錄分、算的過程。（2）比較分錢和分繩的過程，想想它們之間有什么共同之處。

師：與之前不同，每位同學要獨立完成這次任務。你能想辦法完成嗎？

學生獨立思考并嘗試解決問題，記錄分和算的過程。反饋交流時，教師展示學生的算法，結合畫圖、列算式等方式，幫助學生厘清算理。

師：能看懂這份記錄（如圖6）嗎？

生：14米長的繩子平均分給4人，每人先得3米，剩下2米，就不夠分了。因為我們學過2米=20分米，所以剩下20分米每人可以再分5分米，也就是0.5米。最后每人分得3.5米。

師：20分米平均分給4人，每人又得5分米。假設分了還有剩余，那該怎么辦？

生：那就再換成厘米，繼續分。

師：對比“分錢”和“分繩”的過程，它們之間有什么共同之處？

生：其實就是能分的就先分，剩下不能分的就換成能分的再分。

師：不管分錢還是分繩，如果分了以后有剩余，我們就換成小的單位后再分。

（評析：經歷了任務一后，學生需要根據獲得的經驗來整理所吸收的信息。從“分錢”到“分繩”，引領的關鍵問題都是“遇到分不下去時該怎么辦”，情境的遷移，引導學生通過對比思考，理性感知不同情境下互通的算理本質。）

【教學思考】

荷蘭數學家弗賴登塔爾曾指出：“算法是一種完全極端的情況，它一旦被掌握，或確信被掌握，人們很可能就不理會它們的來源，甚至認為這件事不值得討論，但是如果機械地運用算法，就會對數學本身的目標構成危害。”[2]基于此，學生在有關小數除法的學習中，應充分理解算理，并在此基礎上進入算法探究。學生對小數除法算理的理解需要借助直觀模型，從操作具象到算式抽象逐步深入。他們有了充分的、足夠的操作與思考，后續才能在理解與聯系的視野下建構用豎式記錄計算過程的意義，凸顯豎式學習的作用與價值。

（一）借助活動經驗，理解計數單位逐步細分

任務一中，當學生拿著“1張10元，1張1元，5個1角”的人民幣沒辦法平均分給5個人時，自然會想到“換錢”。把人民幣單位換小，1張10元換成10個1元，1張1元換成10個1角，就可以繼續分了。情境遷移為任務二中的“剩余2米怎么辦。”同樣是換成20分米繼續分，如果20分米分了以后還有剩余，就把剩余的“分米”換成“厘米”，再繼續分。因為以上活動經驗與思考過程充分支持學生感受計量（數）單位逐步細分這一算理本質，所以去除情境后，這些經驗足以支撐學生理解豎式中計數單位的逐步細分過程。

（二）建構直觀模型，溝通算理與算法的聯系

以往學生在解答“將11.5元平均分給5個人，平均每人能分到多少錢”的問題時，用豎式計算11.5÷5，常常糾結于整數部分除完后，剩余部分應寫成1.5還是15。有了操作直觀模型的活動經驗，學生可以在操作步驟與豎式書寫步驟之間建立對應關系，思考分錢時分的是1.5元還是15角，明確對整數部分余數的處理方法及算理本質。去除情境后，教師繼續引導學生理解15角可以記作15個0.1元，3角記作3個0.1元，從具體到抽象，“溝通直觀模型中的計量單位與計數單位之間的聯系”[3]。

建構主義告訴我們，在教學中應當注意學生的有意義建構，通過適當的教學策略啟發學生自主建構認知結構。本節課的設計從基于學習路徑分析的單元整體教學出發，確立建構直觀模型，以操作活動支持算理理解的學習目標。讓學生在充分的活動與反思中理解計數單位逐步細分的算理本質，不留痕跡地為小數除法豎式學習時理解“整數部分的余數如何處理”以及“小數點位置如何確定”埋下伏筆。

參考文獻：

[1]董文彬.基于單位運作視角下的主題單元整體教學構建：“小數除法”教材對比與教學思考[J].遼寧教育，2020（1）：38-43.

[2]弗賴登塔爾.數學教育再探：在中國的講學[M].劉意竹，楊剛，等譯.上海：上海教育出版社，1999：153-155.

[3]董文彬.直觀模型：溝通“量”與“數”的橋梁：《小數除以整數》教學思考[J].教育研究與評論（小學教育教學），2018（3）：59-63.

（廣東省深圳市寶安區寶安小學 ? 518100）