探索三元一次方程組的求解方法在初中數學教學中的作用

何家奇

摘要：基于二元一次方程組的求解探索三元一次方程組的求解方法在初中數學教學中的作用，進一步體會消元—加減消元法和代入消元法，同時，應用在教學中可以訓練學生的數學思維，開發學生延伸和拓展能力，培養創新意識，達到拋磚引玉的效果，根據三元一次方程組的不同形式進行分類，進行解法探究、方法歸納，可以培養學生的方程、劃歸等數學思想方法，從而提高學生的數學素養。

在前人研究的基礎上對三元一次方程組的求解方法進行系統地歸納總結，將結合實例分析，探討三元一次方程組求解方法的探究對初中數學教學的作用。

1二元一次方程組、三元一次方程組的相關概念

1.1二元一次方程組

含有兩個未知數的兩個一次方程組成的一組方程，稱為二元一次方程組，二元一次方程組的兩個方程的公共解，是這個二元一次方程組的解，求解二元一次方程組的主要思想是消元，具體方法有代入消元法和加減消元法，將二元一次方程組中的兩個方程轉化為兩個一次函數，結合一次函數圖像，利用數形結合的方法也可進行求解，兩個一次函數的交點坐標就是二元一次方程組對應的解。

1.2三元一次方程組

含有三個未知數的三個一次方程組成的一組方程，稱為三元一次方程組，三元一次方程組的三個方程的公共解，是這個三元一次方程組的解，基于二元一次方程組的求解方法，通過類比可以探索三元一次方程組求解的方法和數學思想。

2三元一次方程組的求解

2.1缺項型

例1、解方程組

解：把③式子代入①、②式中得

得： ，即

把 代 中得：

所以，原方程組的解為

分析：將③式變形為

然后代入①、②式中也可得到結果，運算方法一樣，只是運算中增加了分數，增加了計算難度。所以，遇到此類型的三元一次方程組，可將只有兩個字母的式子直接或變形后代入另外兩個式子即可達到先消一元的目的，從而應用求二元一次方程組的方式將其中兩個未知數求出，最后將已求出的兩個未知數代入原式即可得到最終解。此類題型可以訓練學生的類比、邏輯推理能力，類比解二元一次方程組中先消一元再求另一元的數學思想，從而得出三元一次方程組中先消一元，再求兩元，最后求一元的解題思想，

2.2標準型（要選擇恰當的未知數）

分析：此類題型可以先觀察未知數的系數，找到三個式子中的兩個未知數系數成比例、相同或相反的兩個式子，應用加減消元法或整體代入消元法可求得第三個未知數的值，再將求出的未知數的值回代到原方程組中，可求出原方程組的最終解，此類題型可以訓練學生的觀察、歸類能力，培養學生的整體意識、數據分析意識。

2.3缺項輪換型（要勇于創新）

分析：在解輪換并缺少未知數的題型時，可將原方程組中的三個式子相加得到第4式，再用第4式與原方程組中的式子加減消元或整體代入消元可得到最終解，此類題型很好地繼承了解二元一次方程組中消元的思想方法。在觀察原方程組的特殊性后，大膽嘗試三式相加，所以本題型在解答過程中在消元解法中又有所提升，有效培養了學生的觀察和分析能力，讓學生樹立良好的創新意識。

2.4缺項含比例型

分析：此類題型可將成比例關系的兩式進行變形，再將變形得到的兩式代入第三式中，從而達到一次性消兩元的目的，即可求出其中一個未知數的值，再將此未知數的值回代到原式中，即可得到原方程組的解。當然，此類題型也可設參數，在比例式中用參數表示未知數，例如：x=3k，y=4k，把y=4k代入2式中得 ，把x=3k，y=4k， 同時代入3式中可得到k的值，再將k的值回代到題設中可得最終解。在本題計算過程中，學生不僅可以利用變形、消元的方法求解，而且還可以利用方程組的特殊性，增設含參數的未知數進行運算，對學生的思維拓展由促進作用，讓學生意識到同一個問題，可以有多種解法進行解答，培養了學生一題多解的能力，在兩種求解方法中選擇，第二種解法明顯比第一種解法簡單得多，對學生在學習中、生活中選擇最佳方案解決難題、困難有極大的幫助。

3總結

把解三元一次方程組的內容融入到初中數學必學教學中，學生可以通過用代入法、加減消元法解簡單的三元一次方程組的訓練及選擇合理、簡捷的方法解方程組，培養運算能力;通過對方程組中對未知數系數特點的觀察和分析，明確三元一次方程組解法的主要思想是“消元”，從而促成未知向已知的轉化，培養和發展邏輯思維能力;通過對三元一次方程組消元后轉化為二元一次方程組，再消元轉化為一元一次方程及將一些代數問題轉化為方程組問題的方法的學習，培養初步運用轉化思想去解決問題，發展思維能力。

參考文獻：

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[2]劉英成.“三元一次方程組解法舉例”的教學設計[J].中小學數學（初中版），2013（11）：27-29.

[3]北師大版初中數學課本八年級上冊第五章.