基于線性回歸模型對(duì)北京市PM2.5含量的統(tǒng)計(jì)分析

廖錫歐

（首都師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京100048）

PM2.5指環(huán)境空氣中直徑不大于2.5微米的顆粒物，它在空氣中能懸浮較長(zhǎng)時(shí)間?？諝庵蠵M2.5的含量越高，空氣污染就越嚴(yán)重。與其他直徑較大的大氣顆粒物相比，PM2.5粒徑小，面積大，活性強(qiáng)，容易附帶有毒、有害物質(zhì)（如重金屬、微生物等），并且在大氣中能停留較長(zhǎng)的時(shí)間、輸送距離較遠(yuǎn)，因此PM2.5對(duì)人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量的影響更大。研究發(fā)現(xiàn)，相比于PM10，PM2.5所攜帶的有害物質(zhì)更多，且易被人體的呼吸道黏膜吸附于體內(nèi)，引發(fā)一系列的呼吸道和肺部疾病。

對(duì)于PM2.5的研究，相關(guān)性分析、主成分分析、多元線性回歸分析等都是主流的分析方法。宋紅鳳等對(duì)杭州地區(qū)的AQI項(xiàng)指標(biāo)建立了多元回歸線性模型，并對(duì)PM2.5和其他五項(xiàng)指標(biāo)及其對(duì)應(yīng)污染物含量之間的關(guān)系進(jìn)行研究。李波等通過對(duì)長(zhǎng)沙市的AQI指標(biāo)進(jìn)行相關(guān)性分析，并建立自回歸移動(dòng)平均模型對(duì)長(zhǎng)沙市的PM2.5進(jìn)行預(yù)測(cè)。叢琳等人建立了PM2.5與其余指標(biāo)的線性回歸模型，同時(shí)基于主成分分析進(jìn)行改進(jìn)，建立了更為精確的多元回歸模型。

北京是我國(guó)的政治、文化中心，也是我國(guó)最早進(jìn)入工業(yè)化的城市之一，隨著工業(yè)化的發(fā)展，工業(yè)化污染不斷加劇，環(huán)境遭受污染。進(jìn)入21世紀(jì)以來，由空氣污染造成的“霧霾”問題一直是眾多學(xué)者討論和研究的對(duì)象。為了研究PM2.5與其他指標(biāo)的關(guān)系，本文采用主成分回歸分析，找到影響北京市空氣質(zhì)量的關(guān)鍵因素，為日后相關(guān)研究和環(huán)境治理提供理論依據(jù)。

1 數(shù)據(jù)的收集和北京市空氣質(zhì)量的基本情況

本文所采用的數(shù)據(jù)全部來自中國(guó)空氣質(zhì)量在線分析平臺(tái)，北京市2020年一年的AQI指數(shù)及AQI的六項(xiàng)指標(biāo)，無(wú)缺失數(shù)據(jù)，故可以直接對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。此外，將各變量換算成同一單位，以消除量綱對(duì)數(shù)據(jù)分析的影響。

對(duì)北京市空氣質(zhì)量評(píng)價(jià)進(jìn)行匯總，從表1中空氣質(zhì)量良的累計(jì)頻率可以看出2020年北京市大多數(shù)時(shí)間空氣質(zhì)量是良好的，輕度污染的頻率為18.31%，中、重度污染的頻率僅為3.01%和2.73%。這表明，近幾年北京市的空氣質(zhì)量治理初顯成效，但仍有中度污染和重度污染的時(shí)候，因此空氣質(zhì)量的改善和治理的工作仍需繼續(xù)落實(shí)。

表1 2019年1月至2021年1月北京市空氣質(zhì)量情況

2 模型的建立

2.1 變量間的線性關(guān)系

選取2020年每日的AQI指數(shù)各項(xiàng)指標(biāo)，通過R語(yǔ)言分別繪制出PM2.5與其他指標(biāo)的散點(diǎn)圖。

由圖1不難看出PM2.5與其他變量之間存在較為明顯的線性關(guān)系。而CO和NO2，PM10和CO之間存在較為明顯的相關(guān)性，因此初步判斷各自變量之間存在復(fù)共線性。為了驗(yàn)證這一猜測(cè)，我們考慮自變量PM10數(shù)據(jù)的列向量xi1，SO2數(shù)據(jù)的列向量xi2，CO數(shù)據(jù)的列向量xi3，NO2數(shù)據(jù)的列向量xi4，O3數(shù)據(jù)的列向量xi5，i=1，2，...，366組成的設(shè)計(jì)矩陣X。

圖1 各變量之間的散點(diǎn)圖

表2 各變量的相關(guān)性

2.2 主成分分析

通過收集2020年366天北京市AQI各項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)據(jù)，利用R語(yǔ)言對(duì)PM10、SO2、CO、NO2、O3進(jìn)行主成分分析。從表3可以看出，前兩個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率高達(dá)74.21%，超過了70%。說明前兩個(gè)主成分很好地包含了原始數(shù)據(jù)的大部分信息，主成分分析良好。

表3 主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率

提取前兩個(gè)主成分，表4是主成分載荷矩陣，呈現(xiàn)了前兩個(gè)主成分在各變量上的載荷值?？梢钥闯觯谝粋€(gè)主成分（下記z1）在PM10、SO2、CO、NO2上的載荷較大；而第二主成分（下記z2）主要作用在O3上的載荷較大。因此，兩個(gè)主成分是相互獨(dú)立的，不存在復(fù)共線性問題，可進(jìn)行回歸分析。下面我們以PM2.5為因變量，兩個(gè)主成分為自變量，通過主成分回歸分析，探索因變量PM2.5與自變量PM10、SO2、CO、NO2、O3之間的相關(guān)關(guān)系。

表4 主成分載荷矩陣

2.3 主成分回歸分析

因?yàn)閮蓚€(gè)主成分不存在復(fù)共線性，再由圖2可以看出，z1和z2無(wú)線性關(guān)系。PM2.5與z1之間存在明顯的線性關(guān)系，PM2.5與z2主成分存在線性關(guān)系。并且PM2.5與第一主成分的相關(guān)度是極高的，因此對(duì)這兩個(gè)主成分做多元線性回歸是合理的。

圖2 主成分散點(diǎn)圖

用R語(yǔ)言對(duì)z1、z2做主成分回歸，由表5可以看出，模型擬合度較高，解釋了絕大部分的數(shù)據(jù)信息。并且通過了回歸方程顯著性的檢驗(yàn)，因此對(duì)PM2.5和z1、z2建立回歸模型是顯著有效的。同時(shí)，主成分回歸系數(shù)的檢驗(yàn)說明兩個(gè)主成分的回歸系數(shù)均呈顯著特征，即主成分與變量是顯著相關(guān)的。于是，可以得到主成分的多元線性回歸方程為：y=15.7853z1+6.5180z2+37.8525；其中，變量y代表的是PM2.5。

表5 主成分回歸結(jié)果

由此可以看出，PM2.5與z1、z2都成正比。為進(jìn)一步提高模型的精確程度，利用統(tǒng)計(jì)診斷找出異常點(diǎn)，并解釋原因，接著用忽略異常值點(diǎn)之后的數(shù)據(jù)再生成主成分回歸模型。

3 統(tǒng)計(jì)診斷

3.1 cook距離

考慮多元線性回歸模型Y=Xβ+ε，E（ε）=0，Var（ε）=σ2In，定義cook距離為，i=1，...，n；這里

于是，對(duì)于每一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，可以用一個(gè)Di來刻畫它對(duì)回歸系數(shù)估計(jì)影響的大小。但直接計(jì)算Di會(huì)很不方便，因此引入Di的簡(jiǎn)便公式：

這里hii是帽子矩陣H=X（X′X）′X′的第i個(gè)對(duì)角元，ri是學(xué)生化殘差。由此定義的cook距離衡量了第i組數(shù)據(jù)到試驗(yàn)中心的距離，顯然，若cook距離越大，則該組數(shù)據(jù)離其他實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越遠(yuǎn)。若一組數(shù)據(jù)距離試驗(yàn)中心很遠(yuǎn)，并且對(duì)應(yīng)的學(xué)生化殘差又很大，那么它必定是強(qiáng)影響數(shù)據(jù)，這是一種基于描述性統(tǒng)計(jì)的異常值檢驗(yàn)方法。

3.2 實(shí)例研究

利用R語(yǔ)言軟件，分別計(jì)算出所有樣本點(diǎn)的cook距離，制作散點(diǎn)圖，在一定標(biāo)準(zhǔn)下計(jì)算出強(qiáng)影響點(diǎn)的范圍，確定強(qiáng)影響點(diǎn)（見圖3）。

圖3 cook距離散點(diǎn)圖

一般來說，如果一組數(shù)據(jù)點(diǎn)的cook距離大于4/（n-k-1）時(shí)，我們稱它為異常值點(diǎn)。這里n為數(shù)據(jù)觀測(cè)組數(shù)，k為自變量個(gè)數(shù)。由此得到強(qiáng)影響點(diǎn)集，發(fā)現(xiàn)北京市的強(qiáng)影響點(diǎn)主要集中在每年11月至次年的2月，而這段時(shí)間正好是北京的冬天，空氣質(zhì)量表現(xiàn)為輕度污染或中度污染，認(rèn)為主要是由于冬季供暖燒煤、乘車出行尾氣排放所導(dǎo)致。

4 模型優(yōu)化

在刪除強(qiáng)影響點(diǎn)之后，對(duì)剩下的數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分回歸。從表6可以看出，在刪除強(qiáng)影響點(diǎn)之后，擬合優(yōu)度R2得到了提高，模型解釋程度得到了優(yōu)化。另外，考慮到刪除一些數(shù)據(jù)后對(duì)模型主成分選擇的影響，因此采用逐步回歸的方法對(duì)zi進(jìn)行篩選。經(jīng)過逐步回歸后，z1、z2仍得到保留，并且都通過了回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)，AIC值得到顯著降低。因此，我們?nèi)员Ａ魞蓚€(gè)主成分，最終得到線性回歸模型：

表6 修正后的主成分回歸結(jié)果

其中，

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過收集2020年北京市的AQI及其六項(xiàng)指標(biāo)，研究了導(dǎo)致北京市“霧霾”問題的主要因素PM2.5與其他觀測(cè)指標(biāo)之間的相關(guān)關(guān)系，在利用主成分回歸分析消除了變量間復(fù)共線性影響之后建立了多元線性回歸方程，并對(duì)方程進(jìn)行了優(yōu)化，最終得到了PM2.5與其他變量指標(biāo)的線性回歸方程。由回歸方程可以看出，PM2.5與第一主成分的相關(guān)性較大，即與PM10、SO2、CO、NO2有較大的關(guān)系，而與O3的關(guān)系相對(duì)較弱。因此為了改善北京市的空氣質(zhì)量，必須先控制空氣中塵土的含量，城市施工面積需要控制，而對(duì)于SO2、CO、NO2這類氣體，則需要控制汽車尾氣排放，減少私家車出行，多乘坐公共交通；在冬天供暖的時(shí)候，可以考慮用地?zé)岬刃履茉粗饾u替代燒煤供暖。同時(shí)，政府還應(yīng)加大綠化面積，開發(fā)新能源產(chǎn)品，從污染等源頭治理污染問題。

表7 逐步回歸后的結(jié)果