磁流變拋光曲率效應的量化評價方法

楊 航,趙 功,賈 陽,何建國,黃 文

(1.遵義師范學院工學院,貴州 遵義 563006；2.中國工程物理研究院 機械制造工藝研究所,四川 綿陽 621900；3.華中光電技術研究所 武漢光電國家實驗室,湖北 武漢 430073)

1 引 言

磁流變拋光技術作為具有革命性的超精密光學元件加工技術,被廣泛應用于強激光系統光學元件最終修形[1-2],其工具特性使其能夠有效控制低頻、中頻、高頻面形,并能夠對光學元件的亞表面損傷層進行有效的去除而不留下新的殘余損傷[3-4]。磁流變拋光作為一種確定性拋光技術,其拋光過程的收斂效率和所能達到的極限修整精度依賴于工藝過程的確定性,如去除函數的確定性[5]、軌跡實現的確定性[6]、面形誤差測量的確定性[7]、機床后置處理實現的確定性[8]等多方面的因素。

對于平面類光學元件的修整,不論光學晶體還是光學玻璃,磁流變拋光在各工藝環節已可以獲得較好的確定性,達到可觀的收斂效率和修整精度。然而,對于球面、非球面、自由曲面、柱面等具有曲率的光學元件,由于加工、測量等技術問題,其各工藝環節的確定性難以達到要求[9-12]。由于曲率的存在,其對磁流變拋光各工藝環節的影響機制不明確,也阻礙了收斂效率和極限精度的進一步提高。

張峰、Kordonski等人建立了光學元件曲率特征與去除函數形成的流動動力學模型[13-14]；Schinhaerl等人提出了拋光非球面鏡面時緞帶與光學元件的幾何關系分析方法[15],可以用于分析不同曲率光學元件對浸入深度的影響規律；Seok等人研究了使用磁流變拋光在硅基微結構上制造曲面的方法,他們分析了不同曲率條件對磁流變拋光邊緣效應的影響機制[16]；Guan等人基于lap-MRF研究了拋光區域緞帶形成幾何條件改變時材料去除率的理論模型[17]；Alam等人為克服凸和凹樣品曲率的影響設計了特制的拋光工具實現了銅基曲面的加工[18-19]；宋辭等人建立了非球面拋光多軸聯動、工件表面坐標系、機床坐標系的幾何關系,為分析不同曲率光學元件加工運動量提供了理論方法[20]。王嘉琪、楊航等人從磁流變拋光液流場特性出發對拋光工具的不確定性對于拋光工藝參數集的依賴關系進行了理論分析與實驗驗證[21-23]。

在工程實踐中,常把非平面類零件特性對拋光引入的不確定性稱為“曲率效應”。然而,曲率效應的影響機制尚未得到有效的研究。本文將深入研究光學元件的曲率對磁流變拋光質量的影響規律。

2 曲面光學元件磁流變拋光工藝

2.1 曲面光學元件

光學元件種類繁雜,按照其幾何外形可以分為平面類光學元件和非平面類光學元件。平面類光學元件可以認為是加工面曲率半徑無窮大的面形,相應地非平面類光學元件則為加工面曲率半徑為有限值。廣義地,我們將所有具有有限曲率半徑加工面的光學元件稱為曲面光學元件。如圖1所示。

圖1 曲面光學元件的分類Fig.1 Classification of curved optics

現有磁流變拋光工藝對于無窮大曲率光學元件具有較好的收斂效率和極限精度,然而當曲率半徑具有有限值,特別是曲率半徑較小時,磁流變拋光工藝的工藝受到不可預知的影響。本文將光學面形曲率對磁流變拋光工藝不確定性的影響稱為曲率效應。

2.2 磁流變拋光原理

磁流變拋光利用磁流變拋光液(由基載液、羰基鐵粉、氧化鈰/金剛石粉顆粒以及其他添加劑組成)在梯度磁場下形成緞帶實現對光學材料的微量去除,通常去除速率為～4λ/min。在拋光液流動方向,梯度磁場均勻分布；在緞帶橫斷面方向,磁場具有類高斯分布；在光學元件法向,磁場以高梯度進行衰減。使得拋光液能夠緊貼在拋光輪表面并隨之旋轉,在光學元件表面形成D形拋光斑。如圖2所示。

圖2 磁流變拋光示意圖Fig.2 Schematic diagram of magnetorheological finishing

對拋光斑進行干涉測量獲得去除函數,去除函數即為對磁流變拋光工具影響的定量評價。拋光斑的大小與緞帶和光學表面的幾何關系密切相關,其深度(即去除量)與緞帶在光學元件表面的駐留時間密切相關。單位時間內的去除量通常在同一工藝條件下保持穩定,這也是磁流變拋光實現確定性加工的基礎。

3 曲率效應分析

3.1 磁流變拋光確定性對曲率效應的依賴關系

磁流變拋光拋光頭在形成穩定緞帶以后,對光學元件表面的誤差去除量等于去除函數與駐留時間的卷積。因此,給定初始面形和去除函數,便可以確定獲得最終面形。對光學面形的確定去除過程如圖3所示。

圖3 磁流變拋光面形確定性控制過程Fig.3 Magnetorheological finishing surface shape deterministic control process

在對光學面形的確定性控制過程中,每一個環節引入的不確定性(或誤差)均會使實際修形結果偏離預期修形結果,降低了面形控制過程的確定性。由光學面形曲率在各工藝環節引入的不確定性即曲率效應對拋光過程的影響。在面形測量環節、軌跡規劃、去除函數獲取、駐留時間求解、機床定位加工等環節均會引入由曲率效應導致的不確定性,這些不確定量均會使實際加工結果偏離預期加工結果。

3.2 曲面誤差展開的曲率效應

由激光干涉儀測量獲得的光學面形誤差是磁流變拋光工藝規劃的基礎,其決定了元件表面每一點應當施加的去除量。然而激光干涉儀對光學元件表面的測量是離散的,其面形誤差數據在垂直于口徑方向是均勻分布的。這種測量的固有特性決定了當對平面元件進行干涉測量時,其面形誤差也是均勻分布的。然而,當子孔徑存在曲率時,垂直于孔徑的均勻測量對于面形誤差其實是不均勻的。這種情況下,當曲率較大時,實際的面形誤差分布稠密程度會在嚴重降低。如圖4所示。

圖4 面形誤差展開的曲率效應Fig.4 Curvature effect of surface error expansion

光學曲面可以表示為:

不論對于x方向還是y方向,由于曲率效應的存在,兩點之間的曲面距離均被拉長。設兩點(x1,y1)和(x2,y2),則曲面距離s為:

對于x、y軸,由曲率導致的曲面距離分別為:

設x1、y1均為零,x2、y2為干涉儀測量獲得的面形誤差控制點的空間位置,則根據式(4)可以得到曲面誤差點的實際空間分布。設干涉儀測量獲得的面形誤差分布為(x,y),則按照曲面展開后為:

(sx|x1=0,x2=x,y1=0,y2=y,sy|x1=0,x2=x,y1=0,y2=y)

3.3 軌跡規劃的曲率效應

光學表面磁流變拋光采用的軌跡種類繁多,有光柵線、螺旋線、自適應軌跡、偽隨機軌跡等等。對于大部分光學元件,特別是曲面光學元件的磁流變拋光,一般采用光柵線加工。設預設柵距為a、步進間距為b、光柵軌跡起點距離光軸距離為e。如圖5所示。

圖5 光柵線軌跡加工示意圖Fig.5 Schematic diagram of raster line trajectory processing

平面光柵軌跡的柵距和步進距離都是均勻分布的。當在子孔徑內規劃的光柵軌跡用于曲面加工時,曲面柵距和步進方向駐留點的曲面距離均會因為曲率效應而扭曲,與預設的駐留軌跡出現偏差。對于曲面S(c,k),由曲面效應導致的第m列柵距為:

sα(m)=sx|x1=ε+mα,x2=ε+(m+1)α,y1=y2=0,m=0,1,2,…

曲面效應影響下的第m列、第n個駐留點的步進間距為:

sβ(m,n)=sy|x1=x2=ε+mα,y1=nβ,y2=(n+1)β,m=0,1,2,…,n=0,1,2,…

由于光學曲面沿著光軸具有回轉對稱性,與坐標軸未對齊的軌跡規劃可以等同于圖5所示的與坐標對齊的軌跡規劃而不會影響軌跡的幾何性質。因此,式(5)和式(6)對任意曲面的光柵軌跡均適用。

3.4 去除函數獲取的曲率效應

去除函數是磁流變拋光工具對工具表面去除效果的定量評價,需要對每一個駐留點的去除函數進行確定性獲取。對于平面光學元件而言,所有駐留點處的幾何條件都是一致的,在保證工藝參數穩定的情況下,對一個駐留點進行去除函數獲取即可以獲得所有駐留點的去除函數。然而,對于曲面,只有與光軸等距的圓周上的駐留點才有相同的幾何條件。在子午平面內,任意兩個點的幾何條件都不會完全一樣。

工程上采用具有相同幾何性質和理化特性的樣件進行采斑,用干涉儀對拋光斑測量進而獲得去除函數。對于二次曲面、高次曲面,只能采用最接近球面(bfs)上的去除函數近似曲面各駐留點的去除函數。這種評價駐留點處去除函數的方式對于所有駐留點的去除函數評價都是不準確的,因為bfs與曲面的空間距離存在導致拋光液緞帶的浸入深度相對實際減小了,而浸入深度對去除函數的形成至關重要。如圖6所示。

圖6 曲面駐留點處去除函數形成的間隙變化情況Fig.6 Change in the gap by the removal function dwelling at the surface

不失一般性,對于二次曲面bfs與鏡面的母線兩個端點相交,設交點為P1(x1,z1)和P2(x2,z2),bfs的球心位于光軸上。則最接近球面sbfs(r)和曲面sa(r)的浸入深度的差值為:

δ(r)=sbfs(r)-sa(r)

其中,

根據式(7)可以對去除函數在各駐留點的浸入深度偏差進行評估,進而確定曲率效應對去除函數的影響。

3.5 駐留時間求解的曲率效應

作為一種子孔徑柔性加工方法,磁流變拋光的拋光工具為D形去除函數。為獲得確定的去除函數,需進行法向加工。對于平面光學元件,各駐留點處的法向量一致。對于曲面,各駐留點的法向量均指向光軸,因此,各駐留點法向量都不一樣。進而由于曲率的存在,去除函數的分布與平面時也不一樣,如圖7所示。

圖7 曲面與平面駐留點處去除函數分布形態差異Fig.7 Differences in the distribution of the removal function dwelling at the surface and the plane

可以看出,對于在軸曲面,去除函數的分布聚焦于幾何中心；離軸曲面去除函數分布聚焦于光學口徑外；對于平面,則可以認為聚焦于無窮遠處。

磁流變拋光去除量分布函數是去除函數與駐留時間函數的二維卷積,卷積過程可以離散為:

(k=1,2,…,m)

式中,m為面形控制點個數;n為軌跡上駐留點總個數。H(xk,yk)為光學元件(xk,yk)處的去除量；Rr(xk-xi,yk-hi)為去除函數駐留在(ξi,ηi)對點(xk,yk)處的材料去除量；t(ξi,ηi)為去除函數在軌跡點(ξi,ηi)處的駐留時間。表示成矩陣方程為:

Hm×1=Rrm×n×tn×1

其中,

根據式(10)可以采用數值方法求解駐留時間。曲面拋光的駐留時間求解過程與平面拋光不同之處在于計算去除函數影響矩陣Rr時需要加入去除函數聚焦引入旋轉量的影響。Rr的各行向量的數值為對于確定的控制點,各軌跡點處去除函數對該控制點的影響。Rr的各列的數值為特定軌跡點去除函數對各控制點的影響。設去除函數的去除效率分布為F(x,y),其坐標系為O′-x′y′z′,如圖8所示。

圖8 曲率效應對去除函數的分布引入旋轉量Fig.8 Curvature effect introduces the amount of rotation on the distribution of the removal function

設光軸中心的離軸量為e。沒有旋轉量時,位于(ξ,η)處的去除函數對(x,y)處的控制點的去除效率為F(x-ξ,y-η)。當去除函數有一個旋轉角θ時,控制點在旋轉后的軌跡點處的去除函數中的坐標為:

其中,

此時,控制點處的去除效率為F(x′,y′)。利用式可以定量評估曲率效應引入的去除函數分布變化,進而通過修正式中的Rr得到曲率影響條件下的駐留時間求解。

3.6 機床誤差容錯能力的曲率效應

磁流變拋光采用法向加工的加工模式,即拋光頭在任一駐留點均要求與工件表面垂直。這一加工特點決定了法向浸入深度(簡稱浸深)是決定磁流變拋光精度的重要參數,浸深對磁流變拋光緞帶與光學元件間的幾何關系有著重要影響,關系到去除函數的可預測性與穩定性。而機床的法向定位精度對浸深的穩定性有著決定性的影響。設拋光頭加工參考點坐標為xih=[x,y,z]h,在工件坐標系中對應的坐標為xiw=[x,y,z]w,則為滿足法向加工的要求,存在一組機床工作軸運動量φ=(δx,δy,δz,δA,δB,δC)使得如下變換成立:

xiw=T(φ)·xih

可以看出,機床定位精度取決于f實現值的準確程度。當機床運動軸存在定位的靜態誤差或動態誤差時,對浸深的影響可以表示為:

Δxiw=ΔT(φ)·xih

其中:

得到機床定位精度對浸深的影響規律后,可以進一步建立浸深誤差對不同曲率光學元件的影響機制。設光學元件曲率半徑為R,拋光緞帶半徑為Rr,拋光輪中心到工件曲率中心的距離為Rp。如圖9所示。D為浸入深度,是工藝控制的法向幾何參數；a0和b0分別為浸入長度和浸入厚度,表征光學元件切入緞帶對去除函數形成的影響。

圖9 凸面和凹面在磁流變拋光時的幾何關系Fig.9 Geometric relationships of convex and concave surfaces during magnetorheological finishing

由幾何關系可知,對于凸面:

Rp=R+Rr-D

對于凹面:

Rp=R-Rr+D

由海倫公式可以求得α0:

進一步可以得到b0:

根據式(15)、式(19)、式(20)可以定量評估曲率效應引起的機床誤差容錯能力的差異。不同曲率的工件在加工時對機床誤差的誤差容忍能力具有較大的差異。

4 結 論

磁流變拋光曲率光學元件時收斂效率和收斂精度很難達到同類平面光學元件拋光的水平。本文從磁流變拋光工藝過程出發,依據光學元件曲率對磁流變拋光各環節的影響規律建立了磁流變拋光曲率效應定量評價與分析理論。基于所建立的理論可以分析曲面誤差展開、軌跡規劃、去除函數獲取、駐留時間求解以及機床誤差容錯能力等關鍵工藝環節的曲率影響機制。基于本文中的幾何分析方法,可以進一步對曲率光學元件磁流變拋光工藝中的其他由曲率效應引起的工藝問題進行定量分析與評價。

附錄:二次曲面的一階導數

二次曲面為:

因此,