一種面向移動三支決策模型的有效性度量方法研究

郭豆豆，姜春茂，楊 翎

(哈爾濱師范大學 計算機科學與信息工程學院，哈爾濱 150025) E-mail：hsdrose@126.com

1 引 言

決策是人類生產(chǎn)和生活中的普遍行為.當人們在進行接受、拒絕、暫不做決定三者間利弊權(quán)衡時，會自發(fā)地運用一種三支策略.基于粗糙集理論中一個概念的正域、負域和邊界域的語義解釋，特別在決策粗糙集中，姚一豫教授提出三支決策理論[1].三支決策的基本思想是將一個整體劃分成3個兩兩互不相交的部分，然后根據(jù)每個部分的特點來做出相應的策略，從而實現(xiàn)特定的目標.三分而治是一種符合人類認知的問題處理策略，是一種有效的決策和信息處理模式，其廣泛應用吸引了大批專家學者對此進行研究，產(chǎn)生了眾多的研究成果，并成功應用于多個學科領(lǐng)域[2-6].進一步地，姚一豫教授分析了三支決策的基本成分以及和其它理論的關(guān)系，提出三支決策理論基本框架[7，8].對于三支決策，決策可以進一步解釋為處理、分析、求解、計算等，近些年來，基于三支決策理論出現(xiàn)了大量的”三支+”成果.胡寶清教授[9]提出三支決策空間問題，李小南教授[10]提出了三支擬陣，祁建軍、李金海和魏玲等人[11，12]提出三支概念分析，姚景濤教授[13，14]提出了三支博弈論，折延宏等人[15]提出了多值邏輯的三支近似，劉盾、梁德翠等人[16，17]提出了三支決策的時空性以及三支決策的直覺模糊集理論，于洪教授[18-20]提出了三支聚類，方宇和閔帆等人[21]提出一種基于代價敏感的三支屬性約簡，孫秉珍等人[22]提出了基于多粒度模糊決策理論的三支決策粗糙集，李華雄等人[23，24]提出了序貫三支決策.這些研究成果極大的拓展了三支決策的研究視野，促進了該領(lǐng)域的發(fā)展.

三分而治是三支決策的基本思想，分、治、效是三支決策的3個基本要素.三支決策模型的有效性依賴于合理的三分以及對三分區(qū)施加的策略，一個基本的研究熱點在如何去度量分和治的有效性.當前在對于三支決策的研究主要集中于分和治，關(guān)于效的研究少之又少.在關(guān)于”效”的研究方面，2017年高聰和姚一豫[25]提出一種基于對象移動策略的三支決策，2018年，姜春茂和姚一豫[26]首次提出”效”的度量，開辟了三支決策TAO模型中的”效”的研究，通過權(quán)衡治略對象在移動前后產(chǎn)生的收益和代價來進行治略效果的評價，然而在文末僅僅給出一個效用度量的框架，并未涉及如何進行效用度量的研究.本文關(guān)注于治和效這兩步，在文獻[26]效用度量框架基礎上，提出一個基于移動的三支決策模型的比例效用度量方法.

本文組織如下：第2節(jié)對三支決策及其相關(guān)工作進行了回顧，介紹了兩類最新三支決策模型；第3節(jié)給出了基于比例效用函數(shù)的三支決策模型治略的有效性度量方法；第4節(jié)建立了移動三支決策模型的效用度量方法，詳細討論了在基于對象獨立治略、等價類獨立治略以及區(qū)域獨立治略的效用度量方法，并在第5節(jié)分別給出相應的實例分析；最后給出了全文總結(jié)以及下一步要開展的研究工作.

2 三支決策及其相關(guān)工作

三支決策作為一種樸素的同時包含 “分”、“治”和“效”的三層次決策理論[28]，其相關(guān)研究可以分別關(guān)注于分、治、效3個不同階段，每個階段都有其各自的研究熱點，而三者又是缺一不可，密不可分，完整統(tǒng)一的.

首先回顧兩類最新的三支決策模型，即三支決策TAO模型以及基于移動的三支決策模型.

2.1 三支決策TAO模型

三支決策的TAO模型在原有的分治模型基礎上，增加了第3個要素—效，形成分治效結(jié)合的三支決策TAO模型，三支決策也由原來的兩步：第1步合理劃分三分區(qū)域，第2步根據(jù)劃分后的三分區(qū)域制定最優(yōu)的策略，進行三分區(qū)的治略，增加了第3步，對治略后的三支決策模型進行有效性度量.

圖1表示由分、治、效三步結(jié)合的三支決策TAO模型，展現(xiàn)了分、治、效這三者之間的關(guān)系.它包含自上而下和自下而上的兩種模式，其中自上而下模式，也就是一種通過三分來設計策略的三支決策模型，目前絕大多數(shù)的三支決策理論的研究都是基于這種自上而下的模式，通過一個合理的三分區(qū)域的劃分來設計具有針對性的策略；另一種是自下而上的模式，是通過對三分區(qū)的對象施加策略來調(diào)整三分區(qū)域.目前在自上而下的三分設計治略的模型的研究中，可以看到一種三支決策分治模型.對于自下而上的治略調(diào)整三分的研究中，可以看到一種基于移動的三支決策模型.在基于移動的三支決策模型中，通過對三分區(qū)域的對象施加治略，對象的位置發(fā)生變化，使得對象在三分區(qū)域間發(fā)生移動，從而形成一個新的三分區(qū)域.本文在這種基于對象移動的三支決策基礎上，進行治略的有效性度量研究.

圖1 三支決策TAO模型Fig.1 Trisecting-acting-outcome model of three-way decisions

2.2 基于移動的三支決策模型

從廣義三支決策的視角出發(fā)，定義一個將整體分成3個獨立部分，并對每一個部分進行分別治略的三支決策模型.

定義1.假設OB是一個有限非空集合，C是一個有限的標準集.基于標準集C，OB被劃分成3個兩兩不相交的部分P1，P2，P3，記為π={P1，P2，P3}，即f：OB→π其中，P1∪P2∪P3=OB，且P1∩P2=?，P1∩P3=?，P2∩P3=?.

文獻[25]提出一個基于移動的三支決策模型的基本框架，文獻[26,27]進一步研究了基于對象移動的三支決策模型，三分區(qū)域在治略的作用下，區(qū)域中的對象會發(fā)生移動，對于治略促使下的對象移動有如下定義：

定義2[26].給定三分區(qū)域π={P1，P2，P3}，分別用P1，P2，P3表示對象在區(qū)域P1，P2，和P3中的位置.對于?x∈OB，讓pπ(x)表示一個對象x在三分區(qū)域π中的位置，即：pπ(x)=pi，i=1，2，3.

在基于移動的三支決策模型中，區(qū)域中的每個對象可能會有3種移動結(jié)果，對于三分區(qū)而言，會發(fā)生9種不同的移動：

P1～→P1，P1～→P2，P1～→P3，
P2～→P1，P2～→P2，P2～→P3，
P3～→P1，P3～→P2，P3～→P3.

其中對于pi～→pj，pi表示對象移動之前在三分區(qū)的位置，pj表示對象移動之后在三分區(qū)的位置.

3 基于比例效用函數(shù)的三支決策模型有效性度量

在本節(jié)介紹了基于比例效用理論的有效性度量方法，通過比例效用函數(shù)進行治略的有效性度量，并提出一種基于比例效用函數(shù)的三支決策模型的有效性度量方法.

3.1 比例效用理論

在現(xiàn)實的決策過程中，由于客觀事物發(fā)展的不確定性和人類認知能力的有限性，一個決策的做出，通常需要根據(jù)決策者的心理行為，需要在客觀因素基礎上，充分考慮到?jīng)Q策者的經(jīng)驗、才智、膽識以及決策力等多種主觀因素.如果僅僅根據(jù)期望值大小作為決策的依據(jù)，往往不能很好的達到?jīng)Q策者的心理預期.效用是帶有決策者主觀意識的體現(xiàn)，而效用值可以直接體現(xiàn)出決策者對決策的滿足程度，可以用來度量決策者對決策方案的滿意度.

在傳統(tǒng)的期望效用理論中，效用函數(shù)通常是根據(jù)實際的收益值或損失值來確定，通過概率形式表現(xiàn).然而在現(xiàn)實決策中這往往不能很好的達到?jīng)Q策者的心理預期.例如一個經(jīng)典的實 驗案例，對于包含兩種狀態(tài)變量的兩種決策方案I1={4000，0.8}和I2={3000，1}，分別表示方案I1以80%的概率獲得4000收益，方案I2以100%的概率獲得3000收益.在傳統(tǒng)的期望效用理論中，可以得到0.8×U(4000+X)>U(3000+X)，其中U(X)為期望效用函數(shù)，但其具體形式目前尚未明確.顯然通過期望效用理論可以得出結(jié)論，方案1的期望效用值高于方案2的期望效用值，然而在實際中，人們卻更多的傾向于方案2，盡管也存在一部分人選擇了方案1.再例如對于獲取1000元的收益，對于擁有巨額財富的富人而言很難動心，但是對于一無所有的窮人而言是很難抗拒的.而比例效用理論[29-31]的提出可以很好的解釋諸如上類問題.

比例效用理論提出根據(jù)決策前后的決策對象質(zhì)量變化量ΔQ和最終狀態(tài)量Q0+ΔQ的比例值作為效用值，即：

(1)

其中，Q0表示決策對象質(zhì)量初始量.

相比于傳統(tǒng)的效用理論，它最大的優(yōu)點是同時考慮絕對量和變化量作為效用的度量，并且效用函數(shù)形式明確，基于此，本文將以比例效用函數(shù)作為治略的效用度量依據(jù)，進行治略效果的有效性度量.

3.2 比例效用的度量框架

在眾多的三支決策模型中，對模型優(yōu)劣的評價，往往依賴于對三分和治略效果進行定量和定性的衡量，需要分別對三分和治略進行有效性的度量.目前，在三支決策模型的有效性度量上，有一個統(tǒng)一的框架[32]：

Q(π′|π)=Q(π′)-Q(π)

(2)

在這Q(π′|π)表示通過對三分區(qū)π施加策略后促使新的三分區(qū)形成后的質(zhì)量變化，即治略的效果，Q(π)和Q(π′)分別表示三分區(qū)和新的三分區(qū)的質(zhì)量.在這質(zhì)量可以解釋為收益、損失、風險、效用等.目前的研究中，文獻[26]是通過衡量收益和損失，給出一種移動治略的有效性度量方法，并提出了一個基于效用函數(shù)的三分區(qū)度量框架：

(3)

基于上述效用度量，本文介紹一種三支決策模型的效用度量方法—比例效用度量，給出如下假設：

假設1.比例效用函數(shù)中，對象質(zhì)量在治略后，增加量無上限，損失量最多為其本身的質(zhì)量.

假設2.敏感度的設立，決策者對治略效果的效用值的敏感度不是無限的，存在上限和下限.當效用值高于某個數(shù)值或者低于某個數(shù)值時，決策者不再敏感.

鑒于比例值的范圍是0-1.做如下幾點考慮：

iii)敏感度的上限通常小于1，一個很好的解釋，投票選舉中，當票數(shù)超過一半的時，效用值的增加，不會使得決策者敏感.

基于上述i)-iv)的描述，在這給出一個基于對象移動的三支決策模型的效用度量定義如下：

定義4.對于?x∈OB，對于三分區(qū)域的比例效用度量u：OB×∏→R，定義如下：

(4)

根據(jù)公式(4)，討論兩個邊界條件.當治略后，對象U治略后質(zhì)量的增加量趨近于無窮大時和質(zhì)量減少量趨于于對象本身的初始量時，效用值分別如下：

(5)

根據(jù)邊界條件，不難發(fā)現(xiàn)，當治略對象的質(zhì)量初始值固定時，治略產(chǎn)生質(zhì)量增加量接近于正無窮時，此時效用值為1；當治略產(chǎn)生質(zhì)量減少量接近于治略對象的初始值，此時效用值為負無窮.基于此，可以得出如下結(jié)論：

結(jié)論1.在三支決策模型的比例效用度量中，給定三分區(qū)的治略，治略產(chǎn)生的比例效用值存在上限，但不存在下限.

上述結(jié)論1滿足決策者在度量收益和損失時具有損失厭惡的性質(zhì)，即損失給決策者帶來的效用大于同等收益帶來的效用，并且當損失到對象本身質(zhì)量時，決策者的效用達到極低值.

3.3 基于收益和代價的治略度量框架

在三分區(qū)域上施加一個動作a，會導致對象發(fā)生正移動或者負移動，在移動前后對象的質(zhì)量對比上，正移動的治略變化量記為Q+，Q+，根據(jù)不同實際中質(zhì)量的解釋，可以是如下兩個不同的定義：

Q+=Q(π′)-Q(π)

(6)

或者：

Q+=Q(π)-Q(π′)

(7)

通常，在基于風險，信息熵，基尼系數(shù)等情況下的評價函數(shù)，使用公式(7)，在基于收益，方差等情況下的評價函數(shù)使用公式(6).不失一般性，討論基于公式(6)的度量框架，令Q(π′)>Q(π)表示正移動，即正移動使得質(zhì)量增加，記正移動為～→+；令Q(π′)

通過對發(fā)生移動的對象進行正、負移動的討論，給出了如下的一個矩陣定義：

定義5.對于?x∈OB，對象x發(fā)生正負方向移動被如下3×3二元組的移動矩陣給出：

(8)

在本文討論的移動三支決策模型中，即便同一區(qū)域中對象發(fā)生相同的移動也會有不同的移動效果.移動矩陣通過二元組的形式考慮了一個對象所有可能發(fā)生的移動，但是實際上一個對象在移動前后的三分區(qū)位置是固定的，也就是說在移動矩陣中僅僅存在一個元素會被用到.

為了研究移動產(chǎn)生的收益和成本，文中假設在正移動中，相同的移動有著相同的收益，在負移動中，相同的移動有相同的代價.使用b表示收益，c表示損失，其中q0(pi(x))表示位于區(qū)域pi的對象x的質(zhì)量初始值.下面給出一個收益矩陣和代價矩陣的定義：

定義6.在基于移動的三支決策模型中，對象移動產(chǎn)生的收益通過一個3×3的移動收益矩陣表示：

(9)

其中，b(pi，pj)>0.

對象移動產(chǎn)生的代價通過一個3×3的移動代價矩陣表示：

(10)

其中，c(pi，pj)≤0.

4 基于移動的三支決策模型的有效性度量方法

基于移動的角度研究三支決策的治略變化，首先需要考慮到移動度量的主體，既可以從單個對象的角度，也可以從多個對象的角度，包括但不局限于劃分類、三分區(qū)等等.從度量的視角，這也自然可以看作是一個從粒度由細變粗的思考過程.

本節(jié)在移動三支決策模型的基礎上研究治略的有效性度量方法，不失一般性，分別討論基于對象獨立治略、基于等價類獨立治略和基于區(qū)域獨立治略的三支決策模型的效用度量方法.其中，在基于對象獨立治略的三支決策中，每個對象作為獨立個體進行治略，討論其受到策略施加的影響，并且個體間變化情況是相互獨立、互不影響的；同樣的，在基于等價類獨立治略的三支決策中，每個等價類作為獨立個體進行治略，討論其受到策略施加的影響，但是等價類中的單個對象受到治略影響不盡相同，因此存在同一等價類采取相同策略，然而類內(nèi)對象變化情況不同的情況；此外，在基于區(qū)域獨立治略的三支決策中，僅僅考慮區(qū)域整體受到策略施加的影響，考慮了一種特殊情況：同一區(qū)域中的對象發(fā)生相同移動會帶來相同的收益和代價，區(qū)域中所有對象都服從同一移動矩陣.因此，可以說三者相互區(qū)別又相互聯(lián)系.

4.1 基于對象獨立治略的移動效果度量

在基于對象獨立治略的三支決策模型中，考慮區(qū)域中單個對象的收益損失值，例如在軍事傷員救治中，每一個傷員都是一個獨立的個體，需要對每一個對象分別進行救治.

定義7.根據(jù)移動前后對象的移動效果，定義發(fā)生正向移動的對象，產(chǎn)生正效用：

(11)

發(fā)生負向移動的對象，產(chǎn)生負效用：

(12)

定義8.在基于移動的三支決策模型中，正移動產(chǎn)生的正效用通過一個3×3的移動正效用矩陣表示：

(13)

其中，u+(pi，pj)>0.

負移動產(chǎn)生的負效用通過一個3×3的移動負效用矩陣表示：

(14)

其中，u-(pi，pj)≤0.

如果對象x從區(qū)域pi移動到區(qū)域pj是發(fā)生了正移動，則t(pi，pj)(x)=1；如果對象x從區(qū)域pi移動到區(qū)域pj是發(fā)生了負移動，則t(pi，pj)(x)=0.根據(jù)正負移動的劃分，正移動產(chǎn)生正效用值，負移動產(chǎn)生負效用值，對象x產(chǎn)生的移動效用值為：

u(p(x)～→p′(x))=
[t(pi，pj)(x)]u+(pi，pj)+
[1-t(pi，pj)(x)]u-(pi，pj)]

(15)

在基于對象獨立治略的三支決策模型中，根據(jù)單個對象移動的收益和損失來計算，記效用值為：

(16)

在基于對象獨立治略的三支決策模型中，一個動作a產(chǎn)生效用度量記為：

[1-t(pi，pj)(x)]u-(pi，pj)]

(17)

4.2 基于等價類獨立治略的移動效果度量

在基于等價類獨立治略的三支決策模型中，通過等價類的劃分進行獨立治略.例如醫(yī)療診斷中，需要通過將相同癥狀的患者來進行統(tǒng)一治療，即等價類劃分的方式來進行治略.

(18)

發(fā)生負移動的對象集合產(chǎn)生的代價計算如下：

(19)

記等價類[ot]治略前后的變化量為：

(20)

定義9.在基于等價類獨立治略的三支決策模型中，一個等價類治略后產(chǎn)生效用度量定義如下：

(21)

因此，在基于等價類獨立治略的三支決策模型中，三分區(qū)在一個動作a作用下產(chǎn)生效用度量定義如下：

(22)

4.3 基于區(qū)域獨立治略的移動效果度量

在基于區(qū)域獨立治略度量中，同一區(qū)域中的對象發(fā)生相同移動會帶來相同的收益和代價，區(qū)域中所有對象都服從同一移動矩陣，此時，考慮一個區(qū)域的整體收益損失來進行治略的有效性度量.

Pπ′(x)?Pπ(x)?Pπ′(x)偏好于Pπ(x)

通過區(qū)域之間的偏好關(guān)系，對象移動被如下定義：

(23)

也就是說，當一個對象移動到一個比移動前更偏好的區(qū)域時，以及當對象從最高偏好的區(qū)域移動到本身時，記對象發(fā)生的移動是正移動；否則記對象發(fā)生的移動是負移動.

文獻[33] 充分考慮3個區(qū)域之間的結(jié)構(gòu)，給出3種三分區(qū)域之間可能存在的結(jié)構(gòu).根據(jù)區(qū)域之間的偏好關(guān)系可以給出一個正負方向的移動矩陣，例如在三分區(qū)域滿足全序關(guān)系P1?P2?P3時，對象的正負方向移動矩陣如下：

(24)

則區(qū)域Pi中對象發(fā)生負移動產(chǎn)生的代價記為：

(25)

則區(qū)域Pi治略后的質(zhì)量變化量記為：

(26)

定義10.在基于區(qū)域獨立治略三支決策模型中，一個區(qū)域治略后產(chǎn)生效用度量定義如下：

(27)

因此，在基于區(qū)域獨立治略的三支決策模型中，三分區(qū)域在動作a作用下產(chǎn)生的效用度量定義如下：

(28)

在帶有偏好關(guān)系的3個區(qū)域中，在這討論全序關(guān)系下的治略效用度量，假定三分區(qū)域滿足全序關(guān)系P1?P2?P3.

已知動作作用下可能會產(chǎn)生9種移動結(jié)果.基于移動策略，對象x發(fā)生區(qū)域位置變化，使得3個區(qū)域的對象基數(shù)發(fā)生變化.表1是區(qū)域治略后，對象發(fā)生移動的各區(qū)域基數(shù).

表1 區(qū)域基數(shù)Table 1 Cardinality of the region

根據(jù)對象正負方向的移動矩陣，3個區(qū)域由于對象發(fā)生移動產(chǎn)生的質(zhì)量變化量分別計算如下：

(29)

因此，3個區(qū)域治略后產(chǎn)生效用值如下：

(30)

在基于區(qū)域獨立治略的三支決策模型中，三分區(qū)在一個動作a作用下產(chǎn)生效用度量定義如下：

U(π～→aπ′)=u(P1)+u(P2)+u(P3)

(31)

5 實例分析

實例1.在醫(yī)院的患者分類中，通常需要根據(jù)患者病情等級劃分到3個區(qū)域：嚴重，中度，輕度.分別用P1，P2，P3表示這3個區(qū)域，不同的區(qū)域采用不同的治療方案，同一對象如果被分到不同的區(qū)域，可能會有不同的治療成本以及治療效果.假設OB={o1，o2，o3，o4}，π={P1，P2，P3}，其中，P1={o1，o2}，P2={o3}，P3={o4}，記這4個對象的初始值分別為：3，5，5，90.假設決策者對于4個對象治略后效用值的敏感度下限分別是0.1，0.1，0.2，0.3.假設4個對象的移動矩陣分別為：

對象移動產(chǎn)生的收益矩陣和損失矩陣如下：

根據(jù)公式(11)、公式(12)，可以計算如果對象o1發(fā)生移動是正移動，則產(chǎn)生的正效用值為：

如果對象o1發(fā)生移動是負移動，則產(chǎn)生的負效用值為：

則根據(jù)公式(15)，可以計算對象o1發(fā)生移動效用值為：

1×0.4+(1-1)×(-0.5)=0.4>0.1

類似地，可以計算對象o2，o3和o4移動產(chǎn)生的效用值為：

根據(jù)給出的敏感度下限，不難發(fā)現(xiàn)，僅有對象o1治略后的效用值達到?jīng)Q策者的預期，對象o2，o3和o4不能滿足決策者的預期，盡管對象o4的治略結(jié)果是收益的.

實例2.在醫(yī)療診斷中，通過對病人的病情診斷，需要將癥狀屬性相同的病人劃分到一類，然后對每一類病人分別進行治療，即通過劃分等價類的方式來分類治療.如實例1，假設等價類[o]={o1，o2，o3，o4}，對象發(fā)生正負移動的移動矩陣，收益矩陣和代價矩陣均和實例1相同，即已知：

假定決策者對于效用值的敏感度下限是0.2，根據(jù)公式(20)，等價類[o]的變化量可以計算得到：

bc([o])=2+(-1)+(-2)+30=29

動作施加后等價類[o]的初始量可以計算得到：

q([o])=3+5+5+90=103

根據(jù)公式(21)，等價類[o]的效用可以計算得到：

通過對等價類的治略，產(chǎn)生效用值為0.220>0.2，即治略的效果達到?jīng)Q策者的預期，滿足決策者的治略效果要求.

實例3.在投票選舉中，候選者通常需要通過采取一些措施來影響選民的選舉.對于選民來說，在某一時期，可以將選民集合劃分到3個區(qū)域中：支持，不確定，反對.分別用P1，P2，P3表示這3個區(qū)域.候選者通過對不同區(qū)域分別采用不同的措施來增加自己的選票.此時，3個區(qū)域滿足嚴格的偏好關(guān)系，P1?P2?P3，根據(jù)對象的移動矩陣、收益矩陣和代價矩陣，直接給出治略后，對象在區(qū)域間移動產(chǎn)生的代價或收益，記對象移動產(chǎn)生的變化量為v(Pi～→Pj).當對象移動是正移動時，v(Pi～→Pj)=b(Pi～→Pj)，當對象移動是負移動時，v(Pi～→Pj)=c(Pi～→Pj)，表2表示在不同區(qū)域中的對象移動變化的質(zhì)量變化.

表2 質(zhì)量變化Table 2 Change of quality

假設共有選民1000名，在某一時期，有600名支持，250名不確定，150名反對，記3個區(qū)域的質(zhì)量初始值分別是600，250，150.經(jīng)過對3個區(qū)域分別施加策略，形成新的三分區(qū)，表3表示由于移動引起的區(qū)域變化后的各區(qū)域基數(shù)矩陣.

表3 區(qū)域基數(shù)Table 3 Cardinality of the region

此時，選民中支持的人數(shù)增加到700，不確定的人數(shù)下降到220，反對的人數(shù)下降到80.根據(jù)公式(29)和公式(30)，對于3個區(qū)域的治略方案的度量結(jié)果可以計算如下：

區(qū)域P1在相應策略下產(chǎn)生的質(zhì)量變化量以及比例效用值為：

=580·1+10·(-0.5)+20·(-1)

=555>0

區(qū)域P2在相應策略下產(chǎn)生的質(zhì)量變化量以及比例效用值計算如下：

bc(P2)=|P2∩P1|·1+|P2∩P2|·(-0.5)+|P2∩P3|·(-1)

=40·1+200·(-0.5)+10·(-1)

=-70<0

區(qū)域P3在相應策略下產(chǎn)生的質(zhì)量變化量以及比例效用值計算如下：

=80·1+10·(-0.5)+50·(-1)

=25>0

當決策者對3個區(qū)域的效用值敏感度下限分別為0.5，0.1和0.1時，不難發(fā)現(xiàn)對于區(qū)域和區(qū)域的策略的效用值在敏感度下限之下，也就是說，單純從這兩個區(qū)域的策略效果來看，不能滿足決策者需求.

6 總結(jié)與展望

本文給出一種三支決策模型的有效性度量方法，基于比例效用函數(shù)的移動三支決策模型效用度量，進一步擴充了三支決策TAO模型中效的理論研究.通過文中討論可以發(fā)現(xiàn)，當治略主體(包括單個對象、劃分類、三分區(qū)域等)不同，度量方式不同，決策者對于效用值的敏感度也不同.然而文中在對于決策者的效用值的敏感度上僅僅介紹了敏感度存在下限，并未涉及對敏感度的上限討論，以及敏感度的存在用處.在今后的研究工作中對于決策者對治略效果的敏感度問題仍需要進一步詳細討論.

三支決策理論是一類符合人類認知的粒計算模型，“3”是一個基本的思考出發(fā)點.在三支決策TAO模型中，T、A、O關(guān)注從3個不同的角度、3個不同的層次、3個不同的視角描述了現(xiàn)實問題解決過程的3個基本階段.當前在三支決策理論研究中，眾多專家學者聚焦于T&A的研究，關(guān)于O的研究少之又少.然而，2018年TAO模型的提出，引發(fā)了越來越多的專家學者對“效”的研究，O逐漸出現(xiàn)在人們的視野中.本文考察一種特定三支決策模型有效性度量，從移動三支決策的視角出發(fā)，介紹一種面向移動三支決策模型的有效性度量方法--比例效用度量.

在未來的研究工作中，我們將進一步研究其它情況下的三支決策有效性的度量方法，例如通過更多的度量方法來評估三支決策.當前三支決策正處于快速發(fā)展時期，方興未艾，有許多理論和應用都需要并且值得我們進行深入研究和探索.