采用周期邊界條件計算高壓交流輸電桿塔周圍電場的簡化方法

侯樹政，田蔚光，鄒軍，劉培杰

(1.電力系統及發電設備控制和仿真國家重點實驗室(清華大學電機系)，北京100084；2.國網經濟技術研究院有限公司，北京102209)

0 引言

對輸電線路周圍的電場已有較多研究，可采用二維模型計算無限長直輸電線路在空間產生的電場分布[1-5]，但是當需要考慮導線弧垂、交叉跨越或轉角時，就需要對輸電線進行三維建模，求解該場景下的電場分布應用較多的是模擬電荷法(CSM)[6-10]，然而這些文獻中對有限長輸電線進行分段后直接計算電荷，此時輸電線兩端懸空，則電荷將會在輸電線兩端聚集，這與實際情況不相符，并且對于多檔輸電線路，導線分段數量多，計算量大，不利于實際應用。因此若只求解多檔輸電線路中間某一區域電場，考慮輸電線路的周期性結構，可采用周期邊界條件將整個輸電線路的影響歸并到一檔線路之內，則可消除輸電線路端部效應，并且減少了待解未知數的數量，提高了計算效率。文獻[11]將輸電線兩端等效為半無限長線電荷，但模擬電荷法的精度取決于模擬電荷的數量和布置方式，用一根線電荷代替遠端延伸的導線，模擬電荷數量過少可能會導致結果誤差增大[12]。

此外，若考慮輸電桿塔對導線電荷和周圍電場的影響，則需對輸電桿塔進行建模[13-18]，將輸電桿塔簡化后分為若干段有限長線電荷。此時輸電線路的電荷不再均勻分布，輸電線應做更細化分段，以保證計算結果準確性。輸電線路以一檔為一個周期單元，每檔長度為400 m左右，檔距較長，分段后的電荷數量太多，計算量遠大于不考慮桿塔時求解輸電線路電場問題，因此針對該場景的電場求解，需要一種更高效的計算方法。

針對考慮桿塔影響場景下，計算多檔輸電線路中桿塔周圍區域電場問題，本文提出一種使用周期邊界條件計算輸電線路電場的簡化方法。先利用周期邊界條件構造方程矩陣，然后將輸電線路兩側距離桿塔較遠的電荷用二維無限長輸電線電荷替代，減少未知數和方程的個數，提高計算效率。求解方程矩陣得到受桿塔影響下的輸電線路電荷分布和輸電桿塔電荷后，對桿塔周圍區域電場進行計算。

1 計算方法

首先說明利用周期邊界條件求解輸電線路和桿塔電荷的計算要點和過程，然后對其進行簡化，減少計算量，提高計算效率。

1.1 周期邊界條件計算方法

考慮桿塔的影響時，需要搭建三維輸電線路和桿塔模型。設輸電線長度為L，將其劃分成M段有限長圓柱導體，匹配點選在輸電線導體段表面，線電荷單元位于導體的中心軸線上。以導體棒左端為坐標原點，沿著導體棒的中心線建立坐標系，則第m段的中點的坐標為ym，如圖1所示。

圖1 輸電線分段及坐標系示意圖

線電荷在導體表面匹配點建立電位積分方程如下。

(1)

式中：rn和rm分別為場點和源點坐標；t(rm)為導體段線電荷密度；V0為輸電線表面電位，因為輸電線為工頻交流電，所以電位用頻域形式表示；G(rn,rm)為點電荷在無限大空間建立電位的格林函數；G為源點位置。

根據式(1)計算出每段導體表面的電位平均值，并做歸一化處理，可將第n段上平均電位方程寫成矩陣形式：

[P][σ]=[V]

(2)

式中：P為電位系數矩陣；σ為電荷向量；V為電位向量。則場點和源點之間歸一化后的電位系數pmn如式(3)所示。

(3)

(4)

為場點和源點之間歸一化后的電位系數；lm、ln分別為源點和場點導線分段的長度；σm為源點導線分段的總電荷，具體求解公式可參考[19-20]。

對輸電桿塔可以用類似的建模方法，但由于桿塔的實際結構相當復雜，因此建模過程中不可能包含鐵塔的所有部件，建模時對桿塔做如下簡化[15-16]：

1)保留鐵塔的主要金屬構架，忽略絕緣子、均壓環、金具等次要構架；

2)用圓柱導體代替鐵架的金屬角鋼；

3)鐵塔較長構架等效為多段直線段連接，每段直線段分別設置模擬線電荷；

4)有限長模擬線電荷設置在圓柱中心軸線上，匹配點選在圓柱表面。

將輸電桿塔共分成N段，垂直導線方向為x軸，平行導線方向為y軸，垂直地面向上為z軸正方向，同塔雙回鼓型塔的模擬電荷模型如圖2所示。

圖2 輸電桿塔模擬電荷模型示意圖

輸電線和桿塔之間存在相互影響，根據疊加原理，結合所有電位方程，列出電位求解方程矩陣形式如下：

(5)

式中：Ptt為桿塔對桿塔表面電位的作用；Ptc為輸電線對桿塔表面電位的作用；Pct為桿塔對輸電線表面電位的作用；Pcc為輸電線對輸電線表面電位的作用；σt為桿塔電荷；σc為輸電線電荷；Vt為桿塔表面電位；Vc為輸電線表面電位。

輸電線路具有周期性結構，可將每檔視作一個周期單元，因此可采用周期邊界條件將整個輸電線路的周期影響歸并到一檔線路之內，減少方程數目，消除端部效應。周期數越大，則計算的場景越接近無限長導體的電荷分布。

如圖3所示的輸電線路，將其分為3個單元，編號分別為#(-1)、#(0)、#(+1)。

圖3 多檔高壓輸電線路周期結構示意圖

計算#(0)單元內的電場，各單元內線電荷密度為

(6)

對整個輸電線路按照式(2)列寫電位方程，有

(7)

式中P(i)(j)為第(j)單元和第(i)單元之間的互電位系數矩陣，矩陣中元素按照式(3)計算。因為輸電線電荷分布具有周期性，即

σ(-1)=σ(0)=σ(+1)

(8)

將電荷的周期關系代入方程矩陣中

[P(0)(-1)+P(0)(0)+P(0)(+1)][σ(0)]=[V(0)]

(9)

可見，使用周期邊界條件可以降低方程數目，有效壓縮計算量，但是輸電線路以一個檔距為周期，輸電線路的檔距平均為400 m，跨度較大，輸電線分段較多，對于多回線路，未知量的求解個數增加迅速，計算量較大，不利于在實踐中應用，因此需要對該方法進行簡化，提高計算效率。

1.2 考慮桿塔時的簡化計算方法

1.2.1 忽略桿塔對其他單元的影響

因為輸電線路檔距較大，所以不同單元內的輸電桿塔相距很遠，因此輸電桿塔對其他單元內的桿塔和輸電線影響可忽略不計，則輸電桿塔上的線電荷可不參與周期變化，只有輸電線的電荷需要使用周期條件來消除端部效應。因此#(0)單元內桿塔電荷單獨計算，則式(7)可改寫為

(10)

將各單元的電荷周期關系帶入式(10)，有

(11)

可將式(11)簡寫為

(12)

式中

Ptc=Pt(0)c(-1)+Pt(0)c(0)+Pt(0)c(+1)

(13)

Pcc=Pc(0)c(-1)+Pc(0)c(0)+Pc(0)c(+1)

(14)

表示輸電線周期結構對#(0)單元內的作用。

1.2.2 確定桿塔對輸電線電荷分布影響范圍

此外，考慮桿塔對輸電線上電荷分布的影響，認為桿塔只對其周圍區域輸電線電荷分布產生影響，則輸電線距離桿塔較遠部分的電荷受桿塔影響可忽略不計，因此確定桿塔對輸電線電荷分布的影響范圍后，可將輸電線分為桿塔影響區域和非桿塔影響區域，位于非桿塔影響區域的輸電線電荷則認為不受桿塔影響，應均勻分布，用無限長直輸電線電荷替代，表示不受桿塔影響時，輸電線的電荷分布，從而減少待求電荷的數量，降低計算量。

確定桿塔影響范圍時，先利用二維模型計算出不考慮桿塔影響時，無限長直輸電線上的線電荷大小，該電荷即為遠離桿塔時輸電線上均勻分布的電荷大小。再用考慮桿塔存在時的三維模型建立有限長輸電線和桿塔的模型，將輸電線每10 m一段劃分成若干有限長圓柱，模擬電荷位于圓柱的軸線上，計算出此時輸電線上的電荷分布，并和二維計算得到的電荷結果進行比較，不同電荷誤差要求下，距離桿塔20 m采樣線上的電位計算結果誤差和計算時間如表1所示，綜合考慮電位誤差和計算時間，將電荷偏差超過1.5%的區域視作桿塔對輸電線電荷分布的影響區域，周期單元內其余部分則視為非桿塔影響區域。因此，計算#(0)單元內電場時，將#(0)單元內輸電線路分為3部分，σc也分為3部分，如圖4所示，σc1，σc3表示非桿塔影響區域的輸電線線電荷分布，σc2表示桿塔影響區域輸電線線電荷分布，σt表示桿塔線電荷，單元內輸電線長度為L。

表1 不同桿塔對電荷影響要求下計算結果對比

圖4 #(0)單元內桿塔影響區域劃分示意圖

1.2.3 計算長輸電線和桿塔電荷分布

確定了桿塔的影響范圍后，對輸電線進行較細化分段，σc拆分后可將式(12)改寫為

(15)

然后將非桿塔影響區域的輸電線上電荷用無限長直輸電線電荷替代，可得

σc1=σc3=σ2D

(16)

式中σ2D為二維模型計算得到輸電線電荷。將式(15)矩陣方程簡化為

(17)

將待求解的方程矩陣維度降低，可減少計算量。求解矩陣方程即可得到桿塔周圍輸電線電荷分布和桿塔模型電荷，最后根據所得電荷計算出桿塔周圍電場。

2 方法驗證

2.1 解析算例：三相交流輸電線電荷分布計算

以單回和雙回輸電線為例驗證本文方法計算結果的準確性，圖5為一組大地上方平行于地面放置的單回三相交流輸電線，為方便解析計算忽略輸電線弧垂，其距離地面的高度h=30 m；輸電線半徑r=0.01 m，各相之間距離d=6 m，輸電線電壓模值V=1 kV，相位互差120 °。圖6為雙回輸電線路，兩側豎直排列，從上到下左側為ABC相序，右側為CBA相序，最下方輸電線距地面高度h=30 m，兩回輸電線間距w=12 m，各相間距d=9 m。解析方法采用鏡像法和電軸法計算輸電線電荷[21]。

圖5 單回輸電線路架設幾何結構示意圖

圖6 雙回輸電線路架設幾何結構示意圖

設輸電線總長度為1 200 m，整個輸電線分為3個單元，每個單元400 m，各單元內輸電線等長地分為40段，每段長10 m，分別利用式(9)、(17)計算中間單元輸電線上電荷分布，比較原周期條件方法和本文簡化方法計算結果與解析計算結果的誤差，在本文簡化方法中將中間單元輸電線兩端各100 m的部分用解析結果替代。兩種方法計算得到的中間單元電荷模值分布誤差如圖7所示。

圖7 不同計算方法輸電線電荷誤差比較

結果顯示，計算單回輸電線時，兩種方法誤差均為0.023 9%；計算雙回輸電線時，兩種方法均為0.036 5%，說明本文方法計算結果足夠準確，且本文簡化方法中輸電線兩端電荷用解析結果替代，因此誤差為0。

2.2 數值算例：同塔雙回輸電線電場計算

以330 kV同塔雙回輸電線路為例，共有6條導線和2條地線，桿塔影響范圍為40 m，將導線和地線每5 m分一段，則每根導線和地線在桿塔影響區域分為8段，非桿塔影響區域分為72段，將輸電桿塔分為56段導體，單元內導體總數為680段，圖8為采樣線示意圖。

圖8 330 kV交流輸電線采樣路徑俯視圖

為進行計算結果對比，以桿塔底部中心位置為坐標原點，平行于輸電線的水平方向為y軸，垂直于輸電線的水平方向為x軸，z軸垂直于地面，向上為正方向建立三維坐標系。過a(-20,0,20)、b(-15,0,20)、c(-10,0,20)3點分別做平行于y軸，長40 m的采樣線，此時兩種方法電位計算結果誤差如圖9(a)所示；再分別過d(0,20,20)、e(0,15,20)、f(0,10,20)3點做平行于x軸，長40 m的采樣線，此時兩種方法電位計算誤差如圖9(b)所示。

圖9 兩種計算方法采樣線電位模值誤差

計算結果顯示，兩種方法在計算桿塔周圍10～20 m范圍內電位時，電位模值誤差不超過0.6%，且距離桿塔越近的采樣線誤差越小。兩種方法計算不同輸電線分段密度所需時間如表2所示，輸電線分段越細計算效率提升越多，當輸電線和桿塔總分段數為3 256時，效率提升可達40.95倍。

表2 計算時間對比

3 結論

針對輸電線路在桿塔周圍產生的電場計算問題，本文提出一種采用周期邊界條件的簡化計算方法。在模擬電荷法的基礎上，利用周期條件解決輸電線路三維模型中電荷在輸電線兩端聚集的問題，然后將距離輸電桿塔較遠，受桿塔影響可忽略的部分輸電線電荷用無限長直輸電線電荷代替，以減少待求未知數的個數，提高計算效率。

本文計算方法適用于計算考慮輸電桿塔影響情況下，多檔高壓交流輸電線路在非轉角塔周圍電場，且可考慮輸電線路弧垂的影響。輸電桿塔周圍10～20 m范圍內電位計算結果的誤差可控制在0.6%以內，計算效率可提升數十倍，輸電線模擬電荷建模分段越細，計算效率提升越明顯。