基于自適應滑模電流控制算法的仿真研究

郭 亮，梁 狀，楊 陽，(浙江理工大學機械與自動控制學院，浙江 杭州 310018)

1 前言

永磁同步直線電機(Permanent Magnet Linear Synchronous Motor，PMLSM)具有推力強、加減速度大、靈敏度高、速度快、隨動性好等優點，在高精度數控機床加工領域獲得了廣泛應用[1-2]。直線電機采用的是直線驅動技術，即所謂的零傳動[3]，導致系統參數攝動、負載擾動等不確定因素的影響將直接反映到直線電動機的運動控制中，而沒有任何中間緩沖過程，因此給高精度控制要求增添了的困難。對于控制策略，系統通常采用的是PI反饋控制、矢量d-q軸解耦控制。而在矢量d-q軸解耦控制中，電流環控制則直接影響系統的控制性能和控制精度。

傳統的PI控制憑借其魯棒性強，算法簡單，被廣泛應用于PMLSM轉速控制系統中。但在實際運用中，控制系統不可避免的面臨由參數變化[4]，非結構動態反應導致的模型不確定性，導致PI無法滿足一些要求快速響應，和高精度要求的領域。因此國內外專家學者又提出了許多先進的控制方法：滑模控制[5-9]、魯棒控制[10-11]、自適應控制[12-15]、預測控制[16-19]、神經網絡控制[20-23]等。其中以滑模控制(Sliding Mode Control，SMC)中的變結構控制為代表的非線性控制因其強大的魯棒性及其對外部擾動的不敏感性而成為研究的熱點。

但在滑模變結構控制電流控制器的設計中，為了保證電機實際電流能夠準確跟蹤電流指令，輸出平滑的電壓控制量，應該選擇一個合適的切換增益。但當電流環參數變化較大時，滑模控制器中的切換增益應該選擇相對較大的來確保系統的穩定性和抗干擾性。但較大的切換增益會導致較大的非連續信號和嚴重的高頻抖振。因此參數變化和模型不確定性等不可直接測量的因素嚴重影響系統的控制性能。為了解決上述的問題，自適應律控制策略被提出。文獻[24]中提出的自適應律則是為了提供一個不確定函數高帶寬的估計噪聲免疫，來解決系統的不確定性。文獻[25]基于自適應律的控制方法，則用于是在線估計電阻和速度，來提供控制性能。文獻[26]自適應律(Adaptive Law)則是用來估計由參數變化導致的未知模型的不確定性和根據估測值減小抖振的。

但自適應律針對的是對于內部參數變化，模型不確定性帶來的系統控制性能問題。外部負載帶來的抖振還是會嚴重影響其控制性能。為了去解決此問題，文獻[27-28]提出了擾動觀測器來提高其控制性能，但由于觀測器中的符號函數導致抖振，影響控制性能，[29]將擴張觀測器引入電流環預測控制，極大削弱非線性因素給滑模控制帶來的影響，有效減小抖振。但其fal函數的不光滑性，也導致局部抖振。

基于上述問題，本文提出基于擴張觀測器(Extended State Observer ，ESO)的自適應電流環控制方法。考慮系統內部參數攝動，和外部負載，設計自適應律來估計內部參數攝動導致模型不確定性擾動由于常規的sign函數導致控制中的抖振和不穩定性，本文將正弦飽和函數代替sign函數，來提高系統穩定性。并利用提出新sigfal函數的擴張觀測器對外部負載擾動進行觀測，并前饋補償到電流環控制器中，提高電流環響應速度的同時，減小滑模控制切換增益，減小抖振，提高系統魯棒性。

2 自適應電流控制器設計

2.1 PMLSM數學模型

PMLSM滑模控制系統由速度外環和電流內環構成，速度外環采用傳統PI控制，電流內環采用自適應律控制，則dq軸坐標系下的永磁同步直線電機數學模型如下：

(1)

機械運動方程為：

(2)

式中：其中Rs—電樞繞組電阻(Ω)，id、iq——d、q軸電樞電流(A)；Ld、Lq——軸繞組自感(H)，Lq=Ld；ud、uq——d、q軸電樞電壓(V)；ωe——電機電角速度(rad/s)，ωe=πv/τ；ψf——轉子磁鏈(Wb)；M——動子和負載質量；B粘滯摩擦系數；Fe——電磁推力；FL——負載阻力。

電磁推力表達式為：

(3)

其中，kf為電磁推力系數，是個常量。

2.2 電流環內參數擾動分析

考慮系統參數在復雜環境下的變化，電樞繞組電阻隨著溫度增加而增加等，故原等式做如下定義：

(4)

其中:fq，fd分別代表的是由參數變化導致的不確定性擾動。fq，fd為：

(5)

其中Rs=Rso+ΔRs，Ls=Lso+ΔLs，ψf=ψfo+Δψf，Rso，Lso，ψfo為參數額定值，ΔR，ΔL，Δψf表示的是Rs，Ls，ψf的參數攝動，且假設Rs，Ls，ψf的參數攝動是有界的，即|ΔRs|≤b1，|ΔLs|≤b2，|Δψf|≤b3。

2.3 電流控制器設計

自適應電流控制器的主要作用是在擾動存在的情況下保證精確追蹤到參考電流值，實現電流快速精確的動態響應，定義dq軸電流跟蹤誤差如下：

(6)

其中的iqref，idref代表的是dq軸電流的參考值，eq，ed代表的是dq軸電流的追蹤誤差。

將追蹤誤差eq和ed作為狀態變量，dq軸電壓ud和uq作為控制輸入，則dq軸電流狀態空間方程為：

(7)

式中：x=[eqed]T，u=[uqud]T，C=[C1C2]T

在滑模電流控制器的設計中，為了保證確保追蹤的精度消除穩態誤差，選用積分滑模面。

(8)

其中，c1>0，c2>0為積分系數，保證誤差收斂的速率。

對滑模面進行求導可得：

(9)

在滑模運動中，系統分為兩階段的運動，第一階段是趨近滑模面運動，第二階段就是在控制律控制下，保持滑模穩定運動，為了改善滑模趨近運動階段的動態品質與滑模抖振抑制效果，采用趨近律算法，設計趨近律如下：

(10)

式中：xq=eq，xd=ed，cq1>0，cd1>0，代表的是切換增益，cq2>0，cd2>0代表的是趨近系數。

其中sign(s)代表的是符號函數，定義如下：

(11)

又因為sign函數為非連續函數，這是導致抖振的主要原因，增益越大抖振越大，張曉光[30]提出了邊界層來消除抖振，即采用飽和函數sat(s)來代替sign(s)函數，飽和函數如下：

(12)

ρ代表邊界層厚度，邊界層厚度越大，抖振抑制越明顯但邊界層厚度過大時，高增益的開關函數作用區域減小，將影響響應速度，降低系統對參數變化和外部擾動的魯棒性。函數對比圖像如下圖所示：

由上圖可知靠滑模面較近的，收斂速度也快，故本文采用正弦飽和函數，如下

(13)

式中:k1=π/2ρ。

因此趨近律可以從新定義為：

(14)

結合(7)、(9)、(14)可得滑模電流控制器的控制律為：

(15)

從公式(15)中，滑模電流控制器控制律中含有模型不確定性擾動。且參數變化在系統內部是很難準確測量的，這就導致滑模控制來選擇較大的控制增益來保證系統魯棒性來減小參數變化的影響，但選擇較大的增益的同時會導致較大的抖振和影響響應速度。故設計自適應律在線估計由參數變化導致的不確定性擾動。自適應律如下：

(16)

式中β1>0，β2>0是自適應估計增益，q，d代表的是fq，fd的自適應估測值，因此等式(15)可以從新定義為：

(17)

2.4 穩定性分析

定義估測誤差為：efq=q-fq，efd=d-fd，定義李雅普諾夫函數為：

(18)

(19)

將公式(18)代入(20)可得：

(20)

又因邊界層穩定性相似，故可以分析開關函數，來確定(20)穩定性條件。故等式該滿足：

(21)

3 二階擴張觀測器(ESO)設計

系統在穩定狀態時，加入外部負載后，為了保持系統穩定，相應的切換增益也應隨之增大，大的增益導致不連續信號以及嚴重抖振。為了解決此問題提高自適應滑模控制系統(adpative slding mode control ，ASMC)的魯棒性，提高其抗干擾性，加入了二階擴張觀測器，對外部負載擾動進行估測，然后前饋補償到電流環來減小抖振。

3.1 新型sigfal函數的設計

傳統狀態觀測器的非線性函數為fal函數，其表達式為：

(22)

其中：ε為偏差，α為非線性因子，δ為濾波因子。

對傳統fal函數分別在δ=0.01、α取不同值時和α=0.125、δ取不同值時的特性曲線如圖2(a)和圖2(b)所示。由圖2可知，fal函數在α<1時，其特性曲線存在拐點且平滑較差。導致fal函數產生斗振，影響狀態觀測器穩定性。

圖1 邊界層厚度為[-0.03，0.03]的不同飽和函數曲線對比圖

圖2 函數fal曲線圖

為了解決傳統函數的曲線不平滑問題，提出了一種新型非線性函數Sigfal函數，其方程為：

(23)

(24)

其中：ε為偏差，α為非線性因子，δ為濾波因子，k1控制Sig函數的形狀，k2>0。

且當δ=|ε|時，Sigfal(數滿足連續的條件，即：

(25)

結合式(23)、式(24)和式(25)，可得k2=δα。經分析后得到，當k1=1/δ時，Sigfal函數表現出較好的平滑性，則此時的狀態方程可以表述為：

(26)

故新型sigfal函數，其表達式為：

(27)

3.2 二階擴張觀測器設計

由公式(3)得一階狀態狀態方程為

令

x1=ωm，y1=x1

(28)

(29)

式中y1和Fe分別作為系統的輸出和輸入。

由公式(29)可知，PMLSM在運行中受到負載轉矩的干擾。因此將負載干擾用f(t)表示：

(30)

并將f(t)擴張為一個新的狀態變量x2，即x2=f(t)．

(31)

則式(31)的擴張為下面的二階狀態空間方程：

(32)

可知式(32)是能觀的，因此其二階ESO構造如下：

(33)

式中：β1>0，β2>0，0≤ai≤1，δi>0，i=1，2。

合適的β1，β2，ai，δi能使式(33)快速逼近系統(32)中的狀態x1和外部負載f(t)。

二階擴張觀測器設計框圖如圖3所示，通過在線估計負載擾動的值，然后將值反饋給dq軸的電流控制器中對其進行擾動補償，來提高系統的抗干擾性。考慮到擾動補償方面，公式(17)可以從新定義為：

圖3 二階擴張觀測器(ESO)

式中kq1，kd1分別為dq軸電流控制器中的補償系數。

4 仿真驗證分析

為了驗證所提出的ASMC+ESO算法的有效性，通過 MATLAB-Simulink 搭建了基于 id=0 的永磁同步直線電機空間矢量控制仿真模型，通過ASMC，ASMC+ESO和傳統的PI控制策略進行仿真對比，來驗證其有效性，為對比結果直接性，三種控制算法，速度控制器中均采用PI控制器。基于ASMC+ESO控制策略的永磁同步直線電機轉速控制系統如圖4所示，其中速度控制器是傳統PI控制，電流環采用提出的ASMC+ESO控制器。永磁同步直線電機參數如表1所示。

圖4 基于ASMC+ESO的滑模控制系統框圖

表1 永磁同步直線電機參數

本文分別從直線電機角速度和電流控制結果入手，通過將ASMC，ASMC+ESO的控制效果與傳統的PI控制進行對比，來驗證新型控制策略的響應性和穩定性的有效性。在對比過程中要保證速度環用的是PI調節器，且參數一致，自適應電流控制器(ASMC)控制器的參數中，c1=c2=5，cq1=cd1=20，cd2=cd2=5000，β1=β2=0.002，a1=a2=1.2在PI控制仿真參數為：速度控制器kp=0.25，ki=0.8，電流控制器dq軸相同，kp=150，ki=50。

對PMLSM進行空載啟動，啟動至額定速度300rad/s，速度響應曲線，三相電流響應曲線的仿真結果如圖5、圖6、圖7所示。由圖5(a)，圖6(a)，圖7(a)可看出，速度在空載的情況下，ASMC+ESO，ASMC，和PI相比，ASMC+ESO控制策略的響應速度明顯提高，且抖振明顯減小，系統無超調，在0.01s達到系統穩定，穩定性好。圖5(b)，圖6(b)，圖7(b)顯示出ASMC+ESO，電流響應最快，具由優越的控制響應性能。

圖5 PI控制起初空載速度響應曲線

圖6 ASMC控制起初空載速度響應曲線

圖7 ASMC+ESO控制起初空載速度響應曲線

電機在空載到額定300(rad·s)后，在0.06s突加負載150N負載，速度和三相電流響應仿真結果如圖8，圖9，圖10所示。由圖8(a)，圖9(a)，圖10(a)可以看出，控制算法系統在加入負載擾動后，ASMC+ESO具有最快的恢復能力和抗干擾性，僅需要0.005s就回到穩定狀態，而ASMC，PI需要的回復時間均超過0.1s，且回復速度與原速度存在偏差，由圖8(b)，圖9(b)，圖10(b)顯示當系統加入負載擾動后，ASMC+ESO控制方法響應電流最快，電流曲線更平滑，諧波含量低于ASMC，PI。

圖8 傳統PI控制突加負載速度響應曲線

圖9 ASMC控制突加負載速度響應曲線

圖10 ASMC+ESO控制突加負載速度響應曲線

5 結論

針對PMLSM高精度轉速控制要求，本文對現有滑模控制算法中的由于內部參數變化以導致模型不確定性問題和抖振問題進行了研究，提出了一種自適應加擴張狀態觀測器(ASMC+ESO)算法，構建了自適應電流控制器(ASMC)及擴張狀態觀測器(ESO)結構，并進行了仿真實驗驗證。空載啟動和突加負載仿真實驗結果證實，與傳統PI控制相比。

該算法(ASMC+ESO)可明顯提高系統響應速度，削弱系統抖振，提高系統的抗干擾性能，在高精度控制領域有較大前景應用。