基于GLD電池模型和FFRLS-EKF算法的SOC估測

栗歡歡，孫化陽，陳 彪，王亞平

(1.江蘇大學(xué)汽車工程研究院，江蘇鎮(zhèn)江 212013；2.江蘇大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013)

鋰離子電池因具有能量密度高、循環(huán)壽命長、自放電率低等優(yōu)點而成為當(dāng)前一種主流的二次電池產(chǎn)品，并廣泛應(yīng)用于新能源汽車、儲能電站等領(lǐng)域。據(jù)MarketsandMarkets 發(fā)布的報告顯示，到2025 年全球鋰離子電池市場復(fù)合年增長率將達到15%[1]。

鋰離子電池的SOC表征當(dāng)前電池內(nèi)部的剩余電量，電池管理系統(tǒng)通常以此為依據(jù)對動力電池進行優(yōu)化控制[2]。不準(zhǔn)確的SOC估算會極大限制電池其他方面的管理，因此對SOC進行精確估算是學(xué)界一個重要研究方向。

目前基于模型的SOC估算方法[3-4]主要分為兩大類，一類是基于等效電路模型，該模型從電池的外部特性入手，采用電阻電容來模擬電池復(fù)雜的內(nèi)阻情況。等效電路模型通過多年的發(fā)展，其模型精度獲得了極大的提升，但是其模型精度是靠計算復(fù)雜度換取的。目前等效電路模型中，二階RC電路是公認(rèn)較為折中的一種模型。與等效電路模型不同的是，一些學(xué)者選擇從電池內(nèi)部著手[5-6]，通過對電池內(nèi)部復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)進行建模以獲得更加真實的鋰離子電池電化學(xué)模型。電化學(xué)模型通過詳細且復(fù)雜的電化學(xué)偏微分方程描述了電池內(nèi)部反應(yīng)機理，因此其精度相對較高，但其計算是一個極大的挑戰(zhàn)，因此在電化學(xué)模型的發(fā)展道路上，對模型的簡化是學(xué)者們最為關(guān)心的焦點。

近日，針對鋰離子電池SOC估算，有學(xué)者提出一種基于氣液動力學(xué)原理的氣液動力學(xué)鋰離子電池模型(gas-liquid dynamic battery model,GLD)[7-9]。文獻[7]和[9]從機理上報道該模型能夠仿真電池中鋰離子擴散與平衡等過程。文獻[8]基于氣液動力學(xué)模型提出了一種強魯棒性的SOC估算方法，但該文獻在一定程度上降低了氣液動力學(xué)模型對電池溫度效應(yīng)的仿真能力。氣液動力學(xué)模型的狀態(tài)方程與等效電路模型相比能夠直接反應(yīng)溫度對系統(tǒng)的影響，且其自迭代的特性使得其對異常輸入具有較強的魯棒性。然而，原始的氣液動力學(xué)電池模型在工況突變時模型精度會有較大下降，且模型參數(shù)固定，存在隨電池使用產(chǎn)生誤差擴大的現(xiàn)象。

為解決上述問題，本文在氣液動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上應(yīng)用含遺忘因子的遞推最小二乘算法(forgetting factor recursive least square method,FFRLS)以改進原始模型因參數(shù)無法自適應(yīng)而產(chǎn)生的估算誤差擴大問題，此外為保證FFRLS 算法的效果，選擇擴展卡爾曼濾波算法(extended Kalman filter，EKF)，實現(xiàn)FFRLS 和EKF 的聯(lián)合仿真，提高了模型的準(zhǔn)確度和算法的估算進度。

1 氣液動力學(xué)電池模型建立

電池內(nèi)部是一個非常復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，存在歐姆極化、濃差極化和電化學(xué)極化。歐姆極化是由歐姆內(nèi)阻引起的，電化學(xué)極化主要是由電化學(xué)反應(yīng)存在遲滯性造成的，而濃差極化則是由于電解液中鋰離子濃度擴散的滯后性導(dǎo)致的電極表面與電解液內(nèi)存在濃度差而產(chǎn)生的。通過Bazant和Liang 等[10-11]的研究可以發(fā)現(xiàn)，鋰離子的擴散行為是研究端電壓滯后開路電壓的關(guān)鍵，掌握鋰離子的擴散規(guī)律對電池SOC估算具有重要意義。

已有的研究[7,9,12]表明，電池系統(tǒng)內(nèi)部鋰離子擴散失衡與再平衡過程與氣液系統(tǒng)存在以下相似性：

(1)氣液系統(tǒng)內(nèi)外存在的壓力差和鋰離子電池正負(fù)極之間的電位差都定量地描述了系統(tǒng)內(nèi)部的勢場；

(2)鋰離子電池內(nèi)部的歐姆極化特性與氣液系統(tǒng)管道阻力的物理含義相同，且均為線性影響；

(3)鋰離子電池停止工作，不再發(fā)生氧化還原反應(yīng)后，其鋰離子擴散消除濃度差異過程與氣液系統(tǒng)關(guān)閉閥門后內(nèi)部氣液平衡擴散過程相似。

因此從流體力學(xué)角度，鋰離子的擴散失衡以及再平衡過程為經(jīng)典的擴散問題，可以嘗試將電池模擬為氣液系統(tǒng)，對其進行流體與擴散分析。

氣液動力學(xué)模型如圖1 所示。系統(tǒng)內(nèi)部填充理想氣體，部分理想氣體溶解于液體內(nèi)部。當(dāng)閥門關(guān)閉時，系統(tǒng)與外界不存在任何物質(zhì)能量交換，當(dāng)閥門打開后，系統(tǒng)才與外界存在物質(zhì)能量交換。

圖1 氣液系統(tǒng)示意圖

由以上分析可知，在系統(tǒng)穩(wěn)定的t1時刻，可寫出此時的理想氣體狀態(tài)方程：

式中：Vl為系統(tǒng)內(nèi)液體體積；nlg1為溶解于液體中的氣體的物質(zhì)的量；φm為氣體分子的有效間隙；bm為氣體分子的范德華體積。

此后閥門打開，對外釋放氣體，經(jīng)過極短的時間Δt后，到達t2時刻，此時系統(tǒng)的熱力學(xué)溫度為T2，可以寫出此時的理想氣體狀態(tài)方程，此外，根據(jù)伯努利方程，有：

式中：Pn,1為t2時刻閥門處壓強；v為氣體流速；μ 為管道阻力系數(shù)；ρ 為氣體密度。

此時閥門關(guān)閉，氣液系統(tǒng)與外界隔絕能量物質(zhì)交換并開始再次平衡內(nèi)部狀態(tài)，假設(shè)在t3時刻，系統(tǒng)恢復(fù)平衡，由于系統(tǒng)與外界絕熱，系統(tǒng)的熱力學(xué)溫度依然為T2，此時可以寫出當(dāng)前對應(yīng)的理想氣體狀態(tài)方程和氣體間隙填充度方程。

根據(jù)上述過程可知，從t2到t3時刻，從液體中析出的氣體的物質(zhì)的量為nlg2－nlg3，其中，nlg2為t2時刻溶解于液體中的理想氣體的物質(zhì)的量。而t1到t2時刻，由于Δt極小，可近似認(rèn)為nlg2=nlg3，由于從t2到t3系統(tǒng)內(nèi)部各物質(zhì)總量未發(fā)生改變，故可建立nlg2、nlg3、n2－n3之間的關(guān)系，進一步代入理想氣體狀態(tài)方程和氣體間隙填充度方程，可最終獲得式(4)：

在實際的物理系統(tǒng)中，根據(jù)韋達定理，式(4)存在唯一正解。對充放氣過程進行統(tǒng)一，定義充氣為正，放氣為負(fù)，則有：

在上式中，令k3=ρ/2，k4=μρ/2，可獲得最終的氣液動力學(xué)模型：

將其改寫為電壓電流形式，即：

式中：U1為t1時刻電池開路電壓；U2為t2時刻電池中間電壓；U2,n為t2時刻電池端電壓；U3為t2時刻電池開路電壓。

由式(7)可看出，氣液動力學(xué)模型結(jié)構(gòu)簡單，狀態(tài)方程內(nèi)無復(fù)雜計算，計算花費極小。與傳統(tǒng)模型相比，氣液動力學(xué)模型直接研究鋰離子擴散的問題，更具有針對性。此外，氣液模型在建模過程中，直接反應(yīng)了溫度對鋰離子遷移擴散的影響，無需像等效電路模型一樣引入溫度系數(shù)。最后，氣液動力學(xué)模型本身為具有馬爾科夫性質(zhì)的離散狀態(tài)方程，當(dāng)前時刻開路電壓受上一時刻開路電壓和當(dāng)前輸入電壓共同影響，這使得氣液動力學(xué)模型自身具有極強的抗干擾能力，且更易與傳統(tǒng)優(yōu)化算法結(jié)合，進一步提高模型精度。

2 基于FFRLS 的在線參數(shù)辨識

由于電池系統(tǒng)具有時變性，其內(nèi)部參數(shù)會隨著電池容量、循環(huán)次數(shù)、工作溫度等發(fā)生變化，若不進行修正將造成模型估算誤差的擴大。遞推最小二乘算法可以實現(xiàn)模型參數(shù)的自我校正和更新，可以很好地克服電池系統(tǒng)因工作而造成的參數(shù)變化問題。

遞推最小二乘算法以偏差平方和為基準(zhǔn)進行尋優(yōu)，通過不斷輸入最新的觀測值以逼近當(dāng)前模型參數(shù)的真值。傳統(tǒng)最小二乘算法會將所有歷史數(shù)據(jù)均納入計算范圍，然而對于持續(xù)變化的系統(tǒng)，傳統(tǒng)最小二乘算法難以獲得穩(wěn)定且可靠的結(jié)果。因此，本文優(yōu)選含遺忘因子的遞推最小二乘算法(FFRLS)進行參數(shù)在線辨識。FFRLS 能有效克服傳統(tǒng)遞推最小二乘法存在的“數(shù)據(jù)飽和”問題，防止估計發(fā)散。

FFRLS 的基本計算方程如下：

含遺忘因子的遞推最小二乘法的具體實現(xiàn)步驟如下：

3 基于FFRLS-EKF 的SOC 估計算法

電池系統(tǒng)在工作過程中是一個時變系統(tǒng)，對電池SOC的估算是一個不確定的信息。擴展卡爾曼濾波算法(EKF)是一種應(yīng)用廣泛的非線性濾波器，它可以減少由模型誤差、傳感器誤差和系統(tǒng)累積誤差等造成的估算誤差。

3.1 擴展卡爾曼濾波算法

EKF 通過在每個時間步內(nèi)對系統(tǒng)進行一階泰勒展開來線性化非線性系統(tǒng)。首先，執(zhí)行狀態(tài)預(yù)測，獲得當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)的先驗估計值，然后，執(zhí)行狀態(tài)更新，通過觀測量修正先驗估計值并進一步補償由系統(tǒng)中各種噪聲導(dǎo)致的各種誤差。

當(dāng)應(yīng)用氣液動力學(xué)模型時，電池的端電壓可表示為：

EKF 應(yīng)用于氣液動力學(xué)模型時的詳細步驟如下：

(1)初始化

對x0、P0、R0、Q0等進行初始化賦值。

(2)預(yù)測

(3)更新

式中：x為狀態(tài)量初始值；P為估算誤差協(xié)方差；Q為系統(tǒng)噪聲；R為測量噪聲；SOC及OCV為狀態(tài)量；Ak為方程f()關(guān)于xk的雅可比矩陣；I為單位矩陣；zk+1為k+1 時刻電池端電壓為k+1 時刻電池端電壓的預(yù)測值。

按上述流程即可循環(huán)獲得每個時刻的狀態(tài)變量，并獲得估算的SOC值。

3.2 FFRLS 和EKF 聯(lián)合的SOC 估計算法

上述部分詳述了FFRLS 和EKF 的實現(xiàn)步驟，為進一步提高模型精度，降低SOC估算誤差，進行FFRLS 和EKF 的聯(lián)合估計，實現(xiàn)下述效果：

(1)SOC的估算精度會影響FFRLS 的辨識結(jié)果，將EKF引入到辨識算法中，可為在線辨識提供更加準(zhǔn)確的SOC值，降低模型誤差，提高模型精確度。

(2) 模型參數(shù)直接影響SOC的估算精度，F(xiàn)FRLS 在每次估算循環(huán)中為EKF 算法提供更加準(zhǔn)確的模型參數(shù)，提高算法的估算精度和魯棒性。

根據(jù)上述分析，本文首先根據(jù)FFRLS 算法在線辨識模型參數(shù)k1、k2、k3、k4，接下來根據(jù)辨識的參數(shù)通過EKF 算法實現(xiàn)SOC估算，最后將估算的SOC值用于FFRLS 的參數(shù)辨識，實現(xiàn)整個系統(tǒng)的閉環(huán)修正，其流程如圖2 所示。

圖2 FFRLS及EKF 聯(lián)合估算流程圖

4 實驗與分析

為了驗證本文提出的FFRLS-EKF 聯(lián)合估算算法的性能，選擇了標(biāo)稱容量2 600 mAh，標(biāo)稱電壓3.7 V 的商業(yè)電池，在恒定25 ℃下進行了恒流、混合動力脈沖能力特性(hybrid pulse power characteristic,HPPC) 測試和動態(tài)應(yīng)力測試(dynamic stress test,DST)。測試設(shè)備為寧波拜特公司所提供的電池測試系統(tǒng)。待測電池和測試系統(tǒng)如圖3 所示。

圖3 (a)待測電池與(b)電池測試系統(tǒng)

4.1 SOC-OCV 曲線獲取

由于不精確的狀態(tài)觀測會造成顯著的觀測誤差，因此，首先應(yīng)獲得較精確的SOC-OCV曲線。本文對實驗電池進行了標(biāo)準(zhǔn)HPPC 測試，以反映電池電壓與容量的關(guān)系。選取其中的特征數(shù)據(jù)點進行擬合，得到擬合函數(shù)如式(19)(其中UOCV為OCV的值)：

本文選擇5 階多項式進行擬合，在保證擬合精度的基礎(chǔ)上，避免了過擬合并降低了計算量。擬合曲線在全局均較好地與實驗數(shù)據(jù)吻合，并彌補了因充放電對應(yīng)的開路電壓不一致造成的松弛效應(yīng)。

4.2 誤差分析

圖4 為恒流0.2C、0.5C、1C以及DST 工況下原始模型、僅使用FFRLS 和使用FFRLS-EKF 聯(lián)合估算的實驗結(jié)果，各算法的最大估算誤差見表1。

表1 最大SOC估算誤差表 %

圖4 恒流及DST工況實驗值、原始模型、FFRLS及FFRLS+EKF測試結(jié)果

如圖所示，原始模型的誤差抖動較為劇烈，其估算誤差最大達到4.88%。在引入FFRLS 后，原始模型的抖動現(xiàn)象得到顯著改善，這表明FFRLS 有效地克服了原始算法的抖動問題，但依然存在部分誤差擴大的現(xiàn)象，最大估算誤差為3.22%。較為明顯地，在恒流0.5C的測試中，單純引入FFRLS 在估算的中后段造成了較大的誤差擴散，這是由于系統(tǒng)估算的SOC誤差較大而未能準(zhǔn)確辨識模型參數(shù)造成的。當(dāng)采用FFRLS+EKF 聯(lián)合估計算法后，誤差擴大現(xiàn)象得到了明顯抑制，SOC的全局估算誤差都較為平穩(wěn)且較小，在恒流1C工況下最大估算誤差僅為1.46%。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于氣液動力學(xué)鋰離子電池模型的在線參數(shù)辨識及SOC估算算法。其核心內(nèi)容為：采用帶遺忘因子的遞推最小二乘算法對模型參數(shù)進行實時調(diào)整，并采用擴展卡爾曼濾波算法進行SOC估算，以提高原始模型的估算精度。此外，對比并評估分析了單獨采用FFRLS 和采用FFRLS-EKF 聯(lián)合估計算法的估算性能。在DST 工況下，采用原始模型、FFRLS 優(yōu)化、FFRLS-EKF 聯(lián)合估計優(yōu)化三種方式時誤差分別是4.88%、2.84%、1.75%。結(jié)果表明，F(xiàn)FRLS 可以有效改善原始模型的波動問題并提高估算精度，采用FFRLSEKF 聯(lián)合估計算法進行SOC估算后，估算效果獲得了較大提高。此外，同一算法在動態(tài)工況與穩(wěn)態(tài)工況下的估算表現(xiàn)差值分別為1.67%、0.84%、1.07%，表明氣液動力學(xué)電池模型對電池工況敏感度低，在應(yīng)用優(yōu)化算法后，其全工況估算精度無顯著差異，具有良好的應(yīng)用價值。

綜上所述，本文提出的算法能夠高精度、高穩(wěn)定地估算鋰離子電池SOC。后續(xù)的工作包括在性能足夠的嵌入式微控制器中應(yīng)用上述算法。