鋰電池一階RC等效電路模型的動力學特性分析

徐東輝

(1.南昌師范學院數學與計算機科學系，江西南昌 330032；2.長沙理工大學汽車與機械工程學院，湖南長沙 410076)

電動汽車由于具有節能環保效應，世界各國正出臺各項政策促進電動汽推廣使用。鋰離子電池由于具有無記憶效應、能量密度高、循環壽命長和對環境無污染等優點，目前廣泛地使用在航空、航海、電動汽車等領域[1-3]。世界各國學者對鋰離子電池開展了各項深入研究，如：張云江等[4]從機理方面分析了鋰離子電池電芯在不同工況下的產熱效應及其與電化學性能的關聯性，并設計了與之相應的機械電子結構和電池熱管理材料及方案。歐陽明高、鄭岳久等[5-6]對電池組的一致性問題開展了一系列研究，并提出了電池組一致性辨識及相應的均衡算法和故障診斷方法。近期有許多學者針對鋰離子電池的荷電狀態及健康狀態等方面開展許多相關的研究，如：顏湘武等[7]應用適應無跡卡爾曼濾波算法對鋰離子動力電池的SOH進行在線實時估算，并依據實時估算結果確定鋰離子動力電池組的梯次利用方案。何志剛等[8]采用遞推最小二乘法對電池的二階RC 等效電路模型參數進行實時辨識，并將自適應迭代引入無跡卡爾曼濾波，構成自適應迭代無跡卡爾曼濾波，結果顯示提高了SOC的估算精度。文獻[9]采用基于狀態評估的邊緣計算深度學習對電池剩余使用壽命進行預測，并將預測結果傳輸到基于云的服務器上進行監控和維護。

以上都是針對鋰離子動力電池某一方面特性開展研究，未對電池整體的非線性混沌特性進行分析研究，并且相關報道也甚少。因此，本文將荷控憶阻器、電阻及電感作為一階RC 等效電路的負載構成一個四階混沌動力學數學模型，運用四階變步長Runge-Kutta 法詳細分析該動力學數學模型隨一階RC 等效電路中歐姆內阻變化過程中的Lyapunov 指數計算、時頻特征分布、相軌圖等一系列動力學特性，研究系統隨一階RC 等效電路歐姆內阻變化的混沌特性演變過程，以此實時獲取一階RC 等效電路歐姆內阻值。

1 荷控憶阻器模型

憶阻器是繼電阻、電容和電感之外的第四種基本雙端電路元件，由蔡少棠在1971 年根據電路變量的完備性提出。它代表的是電荷和磁鏈之間的關系，當時沒有現實可行的物理模型。2008 年，惠普公司的Williams 團隊成功制作出了基于金屬和金屬氧化物的憶阻器，證實了憶阻器的存在，也即HP憶阻器，它由摻雜部分TiO2和非摻雜部分TiO2組成。因此，憶阻器可以看成摻雜與非摻雜兩個部分互相耦合而構成的可變電阻，其憶阻值可以表示為：

式中：M(t)為憶阻值，與電阻具有同一量綱；D為憶阻器總長度；ROFF為憶阻器未摻雜時的最大電阻值導通阻抗；RON為全部摻雜時的最小電阻值；w(t)表示憶阻器摻雜部分隨時間變化的長度。

當HP 憶阻器內部狀態變量的變化率為電流i的函數，即HP 憶阻器成為荷控憶阻器：

常用的憶阻器特性曲線為三次光滑連續的單調上升的曲線，表示如下：

為了進一步簡化設計基于憶阻器的一階RC 等效電路，本文將采用上述三次光滑連續的單調上升的曲線描述荷控憶阻器的本構關系，則其增益憶阻M(q)可表示為：

式中：φ為磁通量；q為電荷量；a、d為常數，且a＜0，d＞0。

2 一階RC 等效電路模型的建立

一階RC 模型如圖1 所示。其中UOC(SOC)為電池開路電壓，R0為歐姆內阻，i為放電電流,圖中方向為正，UL為端電壓，C1為極化電容，R1為極化電阻，R1與C1構成表示電池極化現象的并聯R1C1網絡。

圖1 一階RC等效電路模型

當電池放電時，根據基爾霍夫電壓電流定律可得：

一階RC 模型考慮了電池的瞬態特性和穩態特性，該模型的精度和計算復雜度都比較適中，是模擬電池特性較好的一個選擇。因此，本文選擇一階RC 模型作為研究鋰離子電池動力學特性的等效電路模型。

3 基于憶阻器的一階RC 等效電路的混沌判別

由于鋰離子電池系統具有高度復雜的非線性特性，難于用準確的方程對其各種狀態進行在線精確計算。混沌是非線性系統中由于其非線性變量改變而產生的一系列貌似隨機性現象，并且系統參數的改變會引起系統動力學特性隨之變化，因此適合于對鋰離子電池動力學系統進行研究。為此本文將荷控憶阻器、電感及電阻作為負載引入一階RC 模等效電路模型(圖2)中，并建立四階混沌動力學數學模型。分析該四階混沌動力學數學模型隨一階RC 等效電路參數變化過程中相軌圖、時序圖和Lyapunov指數計算等一系列動力學特性。

圖2 基于憶阻器的RC 等效電路模型

圖中，uOC為開路電壓；R0為歐姆內阻；R1、C1分別為極化電阻和極化電容；L1、L2為電感；R為電阻；M(q)為荷控憶阻器。

由圖2 所示建立基于憶阻器的一階RC 等效電路，假設i1、i2、i3的方向為電流參考方向，根據基爾霍夫電流及電壓定律可以得到電路方程組為：

根據電阻、電容、電感及憶阻器等元器件的伏安特性，可得上述電路方程組的微分方程組如下：

上式即為由荷控憶阻器、電阻及電感及一階RC 等效電路構成一個四階混沌系統動力學數學模型，當該混沌系統動力學數學模型的參數取為：α=8.6，β=1.1，γ=14.29，R=1.14，R0=0.2，R1=142.48，a=－1.34，d=0.4，且系統的初始值設置為[0,0.01,0,0]，可得系統的相軌圖如圖3 所示，時域波形如圖4 所示。由圖3 和圖4 可知該四階混沌系統生成了雙渦卷混沌吸引子。

圖3 系統的相軌圖

圖4 系統的時序圖

計算該四階混沌動力學數學模型的Lyapunov 指數為LE1=0.208，LE2=0.014，LE3=－1.212，LE4=－3.238，Lyapunov 維數d=2.043。由此可知該四階混沌動力學數學模型在上述參數設置下處于混沌狀態。

4 混沌動力學特性分析

4.1 系統的耗散性和吸引子存在性分析

4.2 電路歐姆內阻對混沌系統的影響

由于R0為鋰離子電池歐姆內阻，由式(13)可知，通過R0的變化可以掌握鋰離子電池的健康狀態(SOH)變化情況。

式中：REOL為電池壽命結束時的內阻；R0為當前電池的內阻；RNEW為新電池的內阻。

本文考慮當α=8.5，β=1，γ=14.29，R=1.14，R1=142.48，a=－1.34，d=0.4，q=0.2 固定時，由式(12)可知，改變R0歐姆內阻大小，系統的混沌動力學特性也發生相應改變，如系統的相軌圖及時序圖都發生改變，因此可以通過改變一階RC 等效電路中R0參數分析數學模型中的動力學變化情況，反之可以通過分析系統的動力學變化情況進一步掌握R0參數變化情況。

當R0取值范圍為[0.125，0.25)，即SOH為100%～85%時系統的李氏指數形式為(+，+，－，－)，表明系統處于超混沌運動狀態，系統生成了雙渦卷混沌吸引子；當R0取值范圍為[0.25，0.30)，也即SOH為85%～80%時，系統的李氏指數形式為(+，0，－，－)，表明系統處于混沌運動，系統生成了單渦卷混沌吸引子；當R0取值范圍為[0.30，1]，也即SOH為80%～0%時，系統的李氏指數形式為(0，－，－，－)，表明系統以周期軌道運行。圖5 為由荷控憶阻器、電阻及電感及一階RC 等效電路構成一個四階混沌系統動力學數學模型在初始值取q=0.2 及R0=0.125，SOH=100%時的相軌圖和時序圖。圖6 為該四階混沌系統動力學數學模型在初始值取q=0.2 及R0=0.28，SOH=82.3%時的相軌圖和時序圖。圖7 為該四階混沌系統動力學數學模型在初始值取q=0.2 及R0=0.42，SOH=66.3%時的相軌圖和時序圖。圖8 為該四階混沌系統動力學數學模型在初始值取q=0.2 及R0=0.8，SOH=22.9%時的相軌圖和時序圖。通過圖5～圖8可知該四階混沌系統動力學數學模型隨鋰離子電池的一階RC 等效電路歐姆內阻參數的變化具有復雜的動力學行為。隨一階RC 等效電路模型的歐姆內阻增大，該四階混沌系統動力學數學模型通常由雙渦卷混沌經單渦卷混沌進入倍周期分岔序列，且歐姆內阻越小，則該四階混沌系統動力學數學模型的混沌現象越明顯。當用荷控憶阻器、電阻及電感及一階RC 等效電路建立一個四階混沌系統動力學數學模型后，通過對該四階混沌系統動力學數學模型的動力學特性分析，可掌握一階RC 等效電路模型的歐姆內阻變化情況，同時可進一步監測鋰離子電池的健康狀態。

圖5 初始值q=0.2及R0=0.125，SOH=100%時的相軌圖和時序圖

圖6 初始值q=0.2及R0=0.28，SOH=82.3%時的相軌圖和時序圖

圖7 初始值q=0.2及R0=0.42，SOH=66.3%時的相軌圖和時序圖

圖8 初始值q=0.2及R0=0.8，SOH=22.9%時的相軌圖和時序圖

5 結論

(1)將荷控憶阻器、電阻及電感作為一階RC 等效電路的負載構成了一個四階混沌系統，并根據基爾霍夫電流及電壓定律建立了該四階混沌系統的動力學數學模型。通過相軌圖、時序圖和Lyapunov 指數的計算，表明該四階混沌系統在參數及初始值確定的情況下具有混沌特性。

(2) 運用四階變步長Runge-Kutta 法所建立的四階混沌系統的動力學數學模型進行仿真求解，從系統的耗散性和吸引子存在性、電路參數的改變等方面對系統的混沌動力學特性進行分析。

(3) 結果表明，該混沌系統隨一階RC 等效電路歐姆內阻參數的變化具有復雜的動力學行為，隨歐姆內阻增大，系統通常經混沌進入倍周期分岔序列，且歐姆內阻越小，則系統的混沌現象越明顯。通過對系統的動力學特性分析，可以在線獲取歐姆內阻值，為鋰離子動力電池壽命的在線監測提供一種全新的方法。