任意亮度孔形衍射的數值模擬

方慧雯，楊錦宏，賀勝男，衛玉嬌，張吳記，汪衛華

（安徽大學 物質科學與信息技術研究院，安徽 合肥 230601）

隨著技術的革新，光的衍射現象在生產實踐中的應用越來越廣泛.多邊形的衍射模擬在光學領域具有重大意義，可以解釋燈光星芒產生的原因、相機如何記錄圖樣［1］以及如何在夜晚拍出明顯星芒［2］.光的衍射現象可以用惠更斯-菲涅耳原理和瑞利-索末菲公式進行計算，但數學公式計算繁瑣，不夠直觀.計算機模擬則能通過顯示圖像，直觀地觀察衍射效果.且計算機模擬不受實驗場地和實驗器材的限制.

目前，有很多學者已經對不同孔徑的衍射現象進行了研究:比如劉有菊等研究了“E”形孔的夫瑯禾費衍射現象［3］，宋易知模擬了任意正多邊形小孔的夫瑯禾費衍射現象［4］，王海濤等模擬了任意多邊形小孔的菲涅耳衍射［5］，Jeffrey等利用快速菲涅耳衍射算法模擬了孔形為“2”的衍射［6］，Qian等研究了菲涅耳和夫瑯禾費衍射的數值模擬［7］，汪峰等研究了任意形狀孔夫瑯禾費計算機模擬［8］，戴又善研究了二維小孔夫瑯禾費衍射的對稱變換特性［9］.但已有的研究主要針對的是正多邊形，不能適用于任意亮度孔形，并且現有的數值模擬不能適用任意距離.由于菲涅耳衍射和夫瑯禾費衍射特性差別顯著，需根據菲涅耳數進行劃分［10］.在上述研究的啟發下，本文的創新點在于用圖片像素灰度值來代表小孔內不同的亮度值；研究了任意亮度的小孔衍射；并且該程序適用于菲涅耳和夫瑯禾費衍射兩種情況.即采用Matlab軟件，利用圖片像素讀取任意亮度孔形，然后對近場/遠場衍射進行數值模擬，給出任意形狀、任意亮度孔的衍射圖案來探尋其中的衍射規律.

1 衍射的理論與數值模型

1.1 衍射理論

光的衍射現象是指光在傳播過程中，遇到障礙物或小孔時，光將偏離直線傳播的路徑而繞到障礙物后面傳播的現象［11］.把波面 S上每個面積元 ds看作新的波源，如圖1所示，它們均發出次波，波面前方空間某一點P的振動可以由S面上所有面積元所發出的次波在該點疊加后的合振幅來表示［12］.在本文中，將小孔均分成一定數量的方格（即圖像像素），像素灰度值表示孔的亮度.光屏也均分為一定數量的方格（近似將其看作一點）.光屏上某一點的振動可看成小孔內所有方格點在該點的合振幅.將光屏上所有方格點的振動計算出來，就可以顯示該孔的衍射圖像.

圖1 衍射光路示意圖

設有一個波長為λ的平面波入射，衍射平面與光屏之間的距離（焦距）為 f，衍射平面上點 P（x1，y1）與光屏上點 Q（x2，y2）之間的距離為 r，根據惠更斯-菲涅耳原理復數形式:

當忽略時間t時則（2）可以簡化為

1.2 衍射數值模型

首先用繪圖軟件繪制尺寸合適的任意孔形，然后用imread函數讀出所繪制的孔形，在程序中將小孔的部分設為像素灰度值，其余部分設為0，進行讀取，編寫程序.此程序適用于任意孔徑、任意亮度、任意距離的衍射，對于不同的孔形或不同的亮度只需調換相應的孔形圖片；對于不同距離的衍射，只需更改焦距f.在此基礎上，調換合適的光屏大小，孔徑大小，得到衍射明顯的衍射圖像.計算源程序附文末，程序處理小孔圖像衍射的大致步驟是:1）讀取任意小孔的圖片；2）對衍射平面和光屏建立合理的坐標系；3）計算衍射平面和光屏上任意兩點的距離；4）計算其復振幅和光強；5）畫出光強圖像和衍射圖.

2 衍射模擬

2.1 衍射模擬與理論計算對比驗證

以圓孔為例，按照半波帶法，當入射光波長 λ和圓孔半徑 R一定時，焦距 f變化，屏中心點O（0，0）對應的半波帶數k會變化，并且該點的明暗隨著k值的變化而變化.k為偶數時，為暗條紋；k為奇數時，為亮條紋.k＝1是菲涅耳衍射和夫瑯禾費衍射的分界點，當k＞1時是菲涅耳衍射，k＜1是夫瑯禾費衍射.故當半波帶數 k≤1時，衍射圖樣中心均為亮斑［11］.并且從中心向外是明暗相間的圓環，且 k越大（即z越小），明暗環越多越密.k值由下式決定:

當 f＝0.2 m，λ＝500 nm，衍射圓孔半徑 R＝1 mm，光屏寬度h＝0.4 mm時，由圖2可見，整個光強分布以圓心為對稱點，并且圓心點光強是減弱的（即產生暗斑）.將數據帶入式（4）計算得出 k＝10，即中心光強減弱，與程序模擬相符.

圖2 f＝0.2 m，λ＝500 nm，R＝1 mm圓孔衍射光強圖樣

當 f＝2 m，λ＝500 nm，衍射圓孔半徑 R＝1 mm，光屏寬度h＝4 mm時，由圖3可見，整個光強分布以圓心為對稱點，并且圓心點光強是增強的（即產生亮斑）.將數據帶入式（4）計算得出 k＝1，即中心光強增強，與程序模擬相符.

當 f＝10 m，λ＝500 nm，衍射圓孔半徑 R＝1 mm，光屏寬度h＝10 mm時，由圖4可見，整個光強分布以圓心為對稱點，并且圓心點光強是增強的（即產生亮斑）.將數據帶入式（4）計算得出 k＝0.2＜1，即中心光強增強，與程序模擬相符.

綜上所述，理論計算結果與程序模擬結果基本一致，證明模擬程序正確.由計算可知圖2是近場衍射圖像，圖3是近場衍射和遠場衍射的分界點圖像，圖4為遠場衍射圖像.從上述圖中可以得出，遠場衍射圖像的中央亮斑比近場衍射的亮斑大，并且隨著k值逐漸減小，暗紋的光強趨于零，且在菲涅耳衍射時，中心的光強可能減弱.

圖3 f＝2 m，λ＝500 nm，R＝1 mm圓孔衍射光強圖樣

圖 4 f＝10 m，λ＝500 nm，R＝1 mm圓孔衍射光強圖樣

2.2 任意孔形及任意亮度的衍射模擬結果

運用程序數值模擬正三角形和正六邊形的夫瑯禾費衍射，驗證正多邊形孔衍射特性，并對亮度不同的不規則小孔衍射特性進行分析.

1）f＝2 m，λ＝500 nm，三角孔邊長 a＝1 mm，光屏寬度h＝6 mm的衍射如圖5所示.在垂直于三角形的3條邊的方向和3個角的方向上衍射現象均明顯，但邊方向衍射更為顯著，距離中心越遠，衍射現象越弱.三角形的中央光強最強（即圖5的中央亮斑）.

2）f＝2 m，λ＝500 nm，六邊形孔邊長 a＝1 mm，光屏寬度h＝6 mm時的衍射如圖6所示.在垂直于六邊形各邊的方向衍射現象明顯，產生明暗相間的條紋，距離中心越遠，衍射現象越弱，中央的衍射光強最強.

圖 5 f＝2 m，λ＝500 nm，a＝1 mm三角形孔衍射圖樣

圖6 f＝2 m，λ＝500 nm，a＝1 mm六邊形孔衍射圖樣

3）f＝10 m，λ＝500 nm，圓孔半徑 R＝1 mm，光屏寬度h＝10 mm時的衍射如圖7所示.圓心光強最強，產生明暗相間的圓環，距離中心越遠，衍射現象越弱.在夫瑯禾費衍射中，以第一暗環為范圍的中央亮斑的光強占整個入射光束光強的84%，這個中央光斑稱為艾里斑，由公式可得艾里斑的線半徑為

由圖7（a）可以看出艾里斑的線半徑大致為3.6 mm，與理論計算的結果大致相符.

圖7 f＝10 m，λ＝500 nm，R＝1 mm圓形孔衍射圖樣

4）f＝2 m，λ＝500 nm，面積為1 mm2的衍射平面上不規則小孔，光屏寬度h＝10 mm時的衍射現象如圖8所示.在垂直于各邊的方向上衍射現象明顯，產生明暗相間的條紋，且距離中心越遠，衍射現象越弱.

圖8 f＝2 m，λ＝500 nm，面積為 1 mm2異形孔衍射圖樣

5）任意形狀任意亮度的光源也能通過該程序得到衍射圖像.如圖 9所示，f＝2 m，λ＝500 nm，正方形邊長a＝1 mm（孔內不同地方亮度值不同），光屏寬度h＝10 mm時的衍射圖像中可以看出，最大光強在正方孔中央，亮度值不同衍射強弱不同.

圖9 f＝2 m，λ＝500 nm，邊長為1 mm不同亮度正方形孔衍射圖樣

3 結論

本文基于惠更斯-菲涅耳原理，用 Matlab進行模擬仿真任意形狀任意亮度孔的衍射圖像，得到以下結論:1）同一衍射孔，在改變衍射面與光屏的距離時得到不同的衍射圖像.當中心半波帶k為偶數時，中心光強減弱；k為奇數時，中心光強加強；k小于1時，一直處于加強狀態.隨著焦距慢慢增大，幾何中心光強處于減弱狀態的情況就越來越少，最后一直處于加強狀態［13］.整個過程可以看做菲涅耳衍射到夫瑯禾費衍射的一個過渡［13］.夫瑯禾費衍射圖像隨著k值的減小，中央亮斑越來越大，其暗紋的光強也逐漸趨向于零.2）正多邊形衍射圖像成中心對稱分布，每條邊的垂直方向衍射現象明顯，邊數越多，光強增強的方向越密集，并且在各角的方位上衍射呈條帶分布（正多邊形的邊數n為奇數時呈亮條帶，n為偶數時呈暗條帶）［5］.可以推斷出當邊數趨向于無窮時，衍射圖像為圓孔衍射的圖像.且可以看出當正多邊形的邊數為奇數時，在垂直邊方向上的衍射比角方向上的衍射更顯著.3）在遠場衍射時，任意形狀任意亮度的小孔，中央光強最強，周圍的衍射光強與小孔各個位置的亮度有關，且遵循隨距離增大光強減弱的規律.