磁場(chǎng)中荷電粒子動(dòng)量分量間不對(duì)易性和角動(dòng)量的一個(gè)新關(guān)系

陳俊風(fēng)，謝蔚鑫，王 鑫，劉全慧

（湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所，湖南 長(zhǎng)沙 410082）

磁性的一個(gè)本性是旋轉(zhuǎn)性，但這一點(diǎn)并不容易理解.例如，麥克斯韋利用渦管構(gòu)造了磁場(chǎng)的力學(xué)模型［1］，很多名家解讀過麥克斯韋的渦管模型［1-3］.較為容易理解的事實(shí)是，旋轉(zhuǎn)參考系中的很多物理現(xiàn)象，可以類比于磁場(chǎng)并借用磁場(chǎng)的理論進(jìn)行處理［4，5］.關(guān)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的力學(xué)，近十年來有一個(gè)獨(dú)立的研究進(jìn)展.對(duì)于約束在超球面上的運(yùn)動(dòng)粒子，粒子動(dòng)量不同分量間的泊松括號(hào)或者對(duì)易關(guān)系不為零，而是正比于角動(dòng)量的一個(gè)分量［參見下文中的式（9）］.本文把粒子動(dòng)量不同分量間的泊松括號(hào)或?qū)σ钻P(guān)系都稱為不對(duì)易性，而且磁場(chǎng)為穩(wěn)恒場(chǎng)，但不要求空間分布均勻.

于是，一方面，粒子局限在球面上的自由運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)是其本性；另一方面，“磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性”（英文原文:magnetism was essentially rotational in nature.這一觀點(diǎn)的歷史源頭及其在認(rèn)識(shí)磁性中的意義，參見文獻(xiàn)［1］及其參考文獻(xiàn)）.由于旋轉(zhuǎn)性是它們二者的一個(gè)共性，應(yīng)該有類似的描述［6，7］.注意到，磁場(chǎng)中荷電粒子動(dòng)量不同分量間不對(duì)易，球面上運(yùn)動(dòng)粒子動(dòng)量不同分量間也不對(duì)易［8，9］，不過這兩個(gè)不對(duì)易性相差很大.本文的主要結(jié)果是，二者可以統(tǒng)一到一個(gè)表達(dá)式里.

其中 q 為粒子的電荷，pi和 Bi（i＝ 1，2，3）為粒子和磁場(chǎng)的三個(gè)空間分量.在量子力學(xué)中通過將對(duì)應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為量子力學(xué)對(duì)易關(guān)系或者量子條件［9］.如果式等號(hào)的右邊可以改寫為依賴于角動(dòng)量的形式，則可以從另外一個(gè)角度給出“磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性”的明顯形式.

第1節(jié)中，將證明式等號(hào)的右邊可以改寫為依賴于角動(dòng)量的形式，但是這個(gè)角動(dòng)量是瞬時(shí)角動(dòng)量.第2節(jié)中，將討論這個(gè)角動(dòng)量是否滿足角動(dòng)量的量子力學(xué)定義.第3節(jié)是結(jié)論.

1 磁場(chǎng)中荷電粒子動(dòng)量分量間不對(duì)易性

考慮到荷電粒子在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力

洛倫茲力公式認(rèn)為力學(xué)動(dòng)量p的大小不會(huì)改變，僅僅改變方向.把洛倫茲力式（2）和拉莫爾旋進(jìn)動(dòng)公式比較，立即發(fā)現(xiàn)粒子的角速度為

角速度的大小也被稱為拉莫爾頻率.

注意到粒子角速度是一個(gè)和參考系無(wú)關(guān)的性質(zhì)，但是速度是一個(gè)和參考系有關(guān)的量.這個(gè)參考系中，磁場(chǎng)不含時(shí)間.也就是說，粒子速度v必須相對(duì)于一個(gè)固定參考系，參考圖1.由于磁場(chǎng)在空間的分布和時(shí)間無(wú)關(guān)，粒子的角速度ω也將是空間點(diǎn)的函數(shù).粒子每時(shí)刻在空間的不同點(diǎn)，也就是每個(gè)瞬時(shí)的角速度互不相同.因此，每個(gè)時(shí)刻粒子都在一個(gè)獨(dú)自的瞬時(shí)平面和瞬時(shí)圓周（實(shí)際軌跡可能只是圓周的一小段）上.設(shè)瞬時(shí)圓周的半徑為 ρ＝r-R，則如下關(guān)

圖1 固定參考系中的瞬時(shí)平面和瞬時(shí)圓周

從洛倫茲力公式也可以解出速度v（或者由初始條件決定），這樣從式（6）就可以解出ρ.

把這個(gè)結(jié)果代入式（1），即得

其中Lk為粒子角動(dòng)量的三個(gè)分量，ρ為粒子瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)平面中的瞬時(shí)半徑.這和二維球面上運(yùn)動(dòng)粒子動(dòng)量不同分量間的經(jīng)典括號(hào)的關(guān)系完全一樣［6，7］，不過，在球面上，泊松括號(hào)必須換成狄拉克括號(hào).

2 力學(xué)角動(dòng)量的經(jīng)典和量子力學(xué)

在經(jīng)典力學(xué)中，粒子的力學(xué)角動(dòng)量可以針對(duì)空間中的任意參考點(diǎn)來定義:

這個(gè)定義，不僅僅適用于力學(xué)角動(dòng)量，也適用于正則角動(dòng)量.

在量子力學(xué)中，角動(dòng)量必須滿足對(duì)易關(guān)系［Li，Lj］＝i??ijkLk，也就是在經(jīng)典力學(xué)中必須滿足經(jīng)典對(duì)易關(guān)系［Li，Lj］＝?ijkLk.在經(jīng)典和量子力學(xué)中，這個(gè)關(guān)系和定義式（10）是否相容，需要細(xì)究.

首先，計(jì)算如下泊松括號(hào)［Li，Lj］，結(jié)果是

把 r＝ρ+R 代入，立即發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng) r＝ρ，［Li，Lj］＝?ijkLk.即經(jīng)典力學(xué)中，僅僅對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心定義的力學(xué)角動(dòng)量是合適的.

第二，經(jīng)典力學(xué)關(guān)系中式（9）中暗含了經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程的解式（5）或者式（8）.一般而言，這些關(guān)系在量子力學(xué)中，只在期待值意義上才成立.

一個(gè)細(xì)致的問題如下.在量子力學(xué)中，如果對(duì)瞬心力學(xué)角動(dòng)量，首先必須定義瞬心.問題是，對(duì)于穩(wěn)恒均勻的磁場(chǎng)中的荷電粒子，轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的坐標(biāo)的不同分量不對(duì)易［9］.因此，量子力學(xué)中是否能定義力學(xué)角動(dòng)量，不容易有個(gè)清晰的結(jié)論.同時(shí)很容易發(fā)現(xiàn)，量子力學(xué)中，定義角動(dòng)量的一個(gè)恰當(dāng)方式是定義正則角動(dòng)量.因此，在量子力學(xué)中，正確的步驟是先定義正則角動(dòng)量，然后再看其他角動(dòng)量的存在性及其意義.

3 結(jié)論

磁場(chǎng)中荷電粒子動(dòng)量分量間具有不對(duì)易性是一個(gè)熟知的事實(shí)，磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性也是一個(gè)熟知的事實(shí).本文認(rèn)為，把磁場(chǎng)中荷電粒子動(dòng)量分量間具有不對(duì)易性和角動(dòng)量聯(lián)系起來，可以給磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性這個(gè)定性事實(shí)一個(gè)定量的表達(dá)式.這個(gè)結(jié)果，在經(jīng)典力學(xué)中總能成立，但在量子力學(xué)中，僅僅在一些波包上求期待值的時(shí)候，才能成立.