超聲相控陣任意點懸浮優化算法

黃俊康，鄧愷瀟，范千千，林家弘，何慶麟，彭 力，2

（1.華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006；2.華南師大（清遠）科技創新研究院有限公司，廣東 清遠 511517）

聲波可以在空氣、水、生物組織等多種介質中傳播.因此，可以利用超聲波來產生聲輻射力，用以平衡物體的重力，可以使泡沫小球、液滴、生物組織等物體穩定地懸浮.

超聲懸浮技術是無容器處理的關鍵技術之一，在液滴蒸發［1］、析出動力學［2］、納米微粒操控［3］、蛋白質結晶［4］等領域有廣泛的應用.超聲相控陣可以對輕小物體進行精細地操控，有很廣泛的應用前景［5］.2015 年 Marzo［5］等人利用并比較了聲鑷、聲渦和聲杯三種聲勢阱的特點，拓寬了超聲相控陣對粒子的操控方式，可以實現粒子的三維移動和原地旋轉.在此之前，超聲相控陣主要通過改變駐波的位置來實現對粒子的操控，這種方式在粒子操控范圍上和操控粒子的數量上都有很大的局限性.2018年，Marzo［6］等人使用 16×16的超聲相控陣實現了全息聲鑷，其具有與全息光鑷相似的功能，它可以獨立操控多個多種材質的粒子，并且適用于多種媒介（如空氣、水、生物組織）.

超聲相控陣對粒子精確操控的關鍵技術之一是求出各換能器的最優相位延遲.通過優化調控換能器的相位延遲，使各換能器處于最優相位延遲，以便在粒子懸浮位置產生穩定、抗干擾的聲勢阱，從而使粒子穩定地懸浮.但是在目標函數的計算上，實現難度較大.若方法使用不恰當，容易導致計算出的結果不是最優解，且計算的效率低.Marzo［6］等人使用了IB算法對相位延遲優化計算，但IB算法優化計算相位延遲時只達到了 π/16的精度.姜兆田［7］分別使用了BFGS算法和自適應遺傳算法（AGA）對相位延遲優化計算，得到了AGA算法在計算較大規模超聲相控陣時比BFGS算法更具優勢的結論.

本文設計了一種改進的AGA算法，其優化相位延遲的精度達π/256.將其與傳統遺傳算法（GA）和AGA算法比較，發現改進AGA算法具有多種優勢.本文使用該算法計算了空間中4個懸浮點的目標函數，發現都有很好的優化結果，并通過計算另兩種陣列模式下的目標函數，驗證了該算法對陣列規模不敏感.此外，本文還搭建了超聲相控陣平臺，將優化算法計算得到的結果運用到對輕小物體的任意點懸浮實驗中，發現實驗結果與仿真結果相符合，驗證了該改進AGA算法的可靠性.

1 問題分析

超聲相控陣實現輕小物體的任意點懸浮一般是通過控制各個換能器，使它們的相位處在最優相位延遲，在輕小物體位置處形成一個穩定、抗干擾的聲勢阱，從而實現輕小物體的穩定懸浮.目標函數是需要優化計算的函數，產生穩定、抗干擾的聲勢阱要求目標函數 O取得最大值［5］.

其中 K1、K2為

式中 V表示球形微粒的體積，ρ0是空氣的密度，ρp是懸浮物體的密度，c0是媒介的聲速，cp是懸浮物體中的聲速.

聲壓 p 為［8］

式中N為換能器個數，ω為圓頻率，ua是最大振幅，a為換能器半徑，θ是換能器中心和空間點的連線與法線的夾角，r為換能器中心與空間點的距離，k為波矢，φ為換能器的相位延遲，J1為一階貝塞爾函數，圖1為換能器輻射的示意圖.

圖1 換能器輻射示意圖

在本文中，不需要讓換能器陣列移動，因此在這里不需考慮換能器位置的變化.此時聲壓p只是相位延遲的函數，因此目標函數O也只是相位延遲的函數.但需要計算出各換能器的最優相位延遲，才能使目標函數O值達到最優值，從而在粒子懸浮位置產生穩定、抗干擾的聲勢阱.下一節將主要從個體編碼、遺傳算子兩個方面重點介紹用于計算最優相位延遲的改進AGA算法.

2 遺傳算法的改進

2.1 個體編碼

遺傳算法中個體的編碼可采用二進制編碼的方式［9］.編碼出的染色體長度由換能器個數以及相位延遲精度決定.換能器的相位延遲一般是［0，2π］之間的數，若相位延遲需達到 π/2m的精度，則需要用m+1位二進制數編碼.若總共有n個換能器，則染色體總長度為n（m+1）.例如，若總共有2個換能器，相位延遲分別為 φ1＝0.75π，φ2＝0.25π，精度要求為π/4，則可以用二進制數011001來表示.

為了保證計算結果有足夠的精度，相位延遲精度需達到π/256.因為相位延遲在［0，2π］范圍內，故每個換能器的相位延遲需用9位二進制數來表示.若有50個換能器，則50個換能器的相位延遲數據需用450位二進制數表示.這說明染色體長度應為450，可見染色體長度很長.為了加快收斂速率、使收斂更穩定和避免出現早熟現象，本文的遺傳算子采用了自適應的交叉和變異算子（AGA算法與GA的區別），同時改進了選擇算子（改進AGA算法與AGA算法的區別）.

2.2 改進遺傳算子

在傳統的遺傳算法（GA）中，交叉概率 Pc和變異概率Pm固定不變.當Pc設置過大時，交叉操作容易對適應度較高的個體的結構產生破壞；當Pc設置過小時，會減慢遺傳算法對最優解搜索的速度.當Pm設置過大時，遺傳算法容易變成隨機搜索算法，從而失去遺傳算法的優勢；而當Pm設置過小時，很難產生新的個體結構.

考慮到以上的種種缺陷，本文選用自適應的交叉和變異算子，該方法根據進化的情況在搜索過程中動態地調節交叉概率和變異概率，其公式為

其中每代種群中的最優個體的適應度值為fmax，種群所有個體的平均適應度值為 favg，f為變異個體的適應度值，f′為準備交叉的兩個個體中適應度較大的個體對應的適應度值的數值.k1、k2、k3、k4為系數，其值在［0，1］之間.

在AGA算法中，根據個體的適應度值自適應地調整 Pc和 Pm，從式（5）、式（6）可以看出，當個體適應度值接近最大適應度值時，交叉概率Pc和變異概率Pm將變小，當個體適應度值等于最大適應度值時，交叉概率Pc和變異概率Pm將變為0.這樣保證了適應度高的個體的優良性狀可以更好的保持下來，不被破壞，加快了算法的收斂速率；適應度低的個體交叉和變異概率較高，可以加快其進化速率，產成優良性狀，避免出現早熟現象.

為了進一步提高收斂速率和收斂的穩定性，采用輪盤賭法結合精英選擇策略的改進選擇算子.在輪盤賭法中，個體被選擇進行遺傳的概率與其適應度值f成正比.適應度越高，被選中的概率越大；適應度越低，被選中的概率就越小.首先對種群中所有個體的適應度值求和:

可以計算出某個體被選中的概率為

然后計算得到某個體的累計選擇概率為

選擇的規則:隨機生成一個［0，1］的實數 r，若r＜Qi，則選擇第i個個體，否則使 i+1，然后繼續進行比較.

讓輪盤轉動N次，每次都按照以上規則來選擇個體.這樣計算的結果與目的是:適應度高的個體有更高的概率將自身優良性狀遺傳給下一代；適應度低的個體因為遺傳給下一代的概率較小，在代數不斷更迭過程中，會逐漸地被淘汰，從而加快了算法的收斂速率.

精英選擇策略的核心思想是:當前種群中適應度最高的個體直接替代適應度最低的個體，并且不參與本次的交叉和變異（若有最高/低適應度的個體有多個，則只取其中一個）.

從上面的分析可以看出，輪盤賭法并不能保證適應度高的個體一定會被遺傳到下一代.為了最大限度地保證當前種群中適應度高的個體可以將自身優良性狀遺傳給下一代，使算法收斂更加穩定.因此采用輪盤賭法和精英選擇策略相結合的改進選擇算子，在加快算法收斂速率的同時，也能使算法收斂更加穩定.

改進AGA算法的基本步驟流程圖如圖2所示.

圖2 改進AGA算法基本步驟流程圖

3 實驗結果

3.1 實驗參數的設定

本文中，換能器半徑為5 mm，發射超聲波頻率為40 kHz，空氣中聲速取346 m/s，由這兩值可求得聲波的波數為726 m-1.懸浮物為聚丙乙烯（EPS）小球，密度為 29 kg/m3，聲波在 EPS中傳播速率為900 m/s，空氣的密度為 1.18 kg/m3.因為在本實驗中目標函數只需取相對值，所以 K1、K2、C取相對值，分別為:1.759×10-16、2.945×10-16.種群規模一般設置在30～160范圍內，本文綜合考慮了算法最優解的搜索效率和計算時間，將種群規模設置為50［9］，并將遺傳算子參數 k1、k2、k3、k4分別設為 0.7、0.2、0.4、0.2，并采用隨機生成的方式初始化種群.

3.2 改進AGA算法測試

分別使用改進AGA算法、AGA算法和GA算法計算相同的目標函數，得到三者的執行結果如圖3所示.

從圖3中可見，AGA算法在收斂速率和最終解兩方面都優于GA算法，說明自適應的交叉和變異算子可以有效地提高算法的收斂速率和最終解最優個體的適應度值.在收斂效果方面，改進AGA算法更穩定，AGA算法收斂存在頻繁跳變的情況；在最終解方面，改進 AGA算法的最優個體適應度值較AGA算法更大.所以改進遺傳算子，使改進AGA算法在收斂速率、最終解最優個體的適應度值和收斂的穩定性三方面較AGA算法和GA算法更有優勢.

圖3 三種遺傳算法執行結果圖

3.3 任意點懸浮實驗仿真結果

為了驗證改進AGA算法對空間任意懸浮點都有良好的優化效果，以上下5×5陣列為例，并在裝置中軸線上取了不同高度的兩點（25，25，30）mm，（25，25，45）mm，以及裝置中軸線外的不同高度的兩點（15，25，30）mm，（15，25，45）mm（如圖 4所示，小球懸浮位置即為圖4中黑點處）.使用改進AGA算法計算這4個懸浮點的各換能器的最優相位延遲，并得到了如圖5所示的對應目標函數優化結果（圓圈處為小球懸浮位置）.

圖4 懸浮位置示意圖

圖5 任意點懸浮目標函數優化效果圖

從圖5中可以看出，在4個懸浮點（圖中圓圈）周圍目標函數取得了最優值.在懸浮點處產生了穩定、抗干擾的聲勢阱.

3.4 改進AGA算法敏感性分析

為了探究改進AGA算法對陣列規模的敏感性，采用了上下4×4陣列和6×6陣列兩種規模的陣列（如圖6所示）.小球懸浮位置即為圖中黑點處，坐標分別為（20，20，30）mm，（30，30，30）mm.

圖6 兩種規模陣列懸浮點位置示意圖

使用改進AGA算法優化目標函數，分別計算出這兩種陣列模式的各換能器最優相位延遲.目標函數的優化結果以及各換能器最優相位延遲如圖7所示.

圖7 不同規模陣列優化結果和最優相位延遲圖

在兩種陣列模式的目標函數的優化結果圖中（圖7），可見在小球懸浮位置處都取得了最優的目標函數值，說明該優化算法對不同規模的超聲相控陣都適用，即的改進AGA算法對陣列規模不敏感.

3.5 任意點懸浮現場實驗

本文搭建了上下平行5×5的超聲相控陣，利用FPGA產生兩組25路40 kHz的方波信號，并且方波的相位延遲控制精度可達到π/1 250.通過電腦串口可以將計算得到的各換能器最優相位延遲數據傳輸到FPGA上，從而實現對各個換能器相位的操控.裝置示意圖如圖8所示.

圖8 裝置示意圖

將各個換能器最優相位延遲數據傳輸給FPGA后，分別在（25，25，30）mm、（25，25，45）mm、（15，25，30）mm、（15，25，45）mm 四個位置處放置小球，經后期處理將目標函數優化結果的圖像與實驗拍攝的實物小球懸浮圖像疊加起來（如圖9所示）.從圖中可見實物小球懸浮位置處于目標函數最優區域，實驗結果與實驗仿真結果吻合，驗證了算法的可靠性.

圖9 任意點懸浮實驗圖

4 結論

相位延遲優化算法是超聲相控陣實現任意點懸浮的關鍵，也是難點.本文將輪盤賭法和精英選擇策略相結合作為選擇算子，改進了AGA算法.該改進AGA算法在對目標函數的優化上，與GA算法以及AGA算法比較，有收斂速度更快、收斂更穩定以及目標函數最優解更優的優勢.本文對算法進行了敏感性分析，發現算法對陣列規模不敏感，算法適用于多種陣列規模.此外，通過實驗仿真和現場實驗驗證了運用該算法，能夠在懸浮點處產生穩定且抗干擾的聲勢阱，從而實現輕小物體的任意點懸浮.