薄圓柱落地的運動問題

吳家毅

（北京師范大學 物理學系，北京 100875）

生活中經常遇到這種問題，人把一個臉盆斜放在地上，或者把一個淺圓盤斜放在桌面上.如果松手之前臉盆或圓盤處于靜止狀態，則松手后底面會直接落地并與地面碰撞；如果松手前臉盆或圓盤具有一定的進動角速度，通常還有一定的自轉角速度，那么它就不會直接以全部底面落地，而是以底面的邊緣與地面接觸，并在地面上轉動.如果手上的力氣使用得當，物體會在落地前轉動較長的時間.這種轉動像陀螺的定點運動，又與之有一定的區別.

剛體的定點轉動一直是理論力學中的一個難點，描述這一過程的工具是歐拉運動學方程.現有的文獻對這一領域的研究主要在對這一過程的數學理解和在特殊情況下求出解析解.梁昆淼先生生動地講解了定點轉動及其有趣的細節［1］，國內一些學者從幾何關系的角度引入張量來研究定點轉動［2，3］，分析力學的方法也被用于求解歐拉運動學方程［4，5］.在一般情況下，該方程難以求出解析解，然而其解的存在性［6］和特殊條件下的解法已經受到了廣泛的研究［7，8］.本文使用拉格朗日力學研究此問題，是為了使邏輯清楚，易于理解，同時借助該體系的能量觀點，盡可能避免復雜的受力分析，避免直接處理歐拉動力學方程的復雜數學過程，盡可能做到易懂.

定點轉動近似是本文的一個重點，然而薄圓柱落地的真實運動不完全是定點轉動.賈書惠討論了圓盤在地面無滑動滾動的運動情況［9］.本文與生活情景相適應，主要討論有滑動的情況.第3部分詳述了該情況下拉格朗日方程的表達及約束力的求解，并利用數值結果清晰地模擬出這一過程.

為了研究方便，取研究對象與地面穩定接觸的時刻為研究的起點，認為其已經具有一定的自轉和（或）進動，而對于造成這種運動狀態的原因不加深究.

為了便于討論，采取一系列近似.

1 重要的近似

本文采取的近似主要是對研究對象形狀的近似和其受到的約束的近似.

首先，把研究對象看作剛體，忽略它的彈性.其次，把被研究的臉盆或圓盤近似成薄圓柱，忽略了臉盆或淺圓盤原有的一層薄邊緣.這樣近似是因為這層邊緣對剛體的質心和轉動慣量的貢獻很小，不能引起其運動狀態的較大變化.對薄圓柱，以垂直于板面的對稱軸為z軸，以圓面上的兩個垂直的半徑為x軸、y軸，建立直角坐標系 Oxyz，如圖 1（a）所示，則轉動慣量為

下面考慮盆邊（盤邊）的質量分布，驗證這部分質量分布對轉動慣量的影響很小.設盆底半徑為R2，厚度為 h ＝ R2/5，盆邊高度為 R2/5，厚度為 R2/20，即內徑為 R1＝19R2/20，仍然用 m 表示原有部分的質量，用m1表示盆邊的質量，用ρ表示剛體的密度，不妨認為密度分布均勻.有

圖1 不考慮邊緣與考慮邊緣的研究對象示意圖

所以質量m對質心的影響很小.

在盆底的幾何中心建立直角坐標系如圖1（b）所示，分別用 ΔIz，ΔIx，ΔIy表示加上盆邊之后多出的轉動慣量，則經計算有

可以看出轉動慣量變化的倍數差不多.從另一個角度理解，由于研究對象的密度是一個可以任意選取的參量，所以考慮盆邊只是相當于把原來的薄圓柱的密度擴大約1/5，對其運動情況沒有質的影響.因此下面把研究對象看作薄圓柱.

現在對于研究對象受的約束進行一些近似.觀察發現，研究對象落地前的運動比較像以質心為定點的定點轉動，在短時間內下落的幅度比較小，質心近似不動.所以首先固定質心，研究這種定點轉動.進一步觀察發現薄圓柱的最低點被約束在地面上，因此添加這個約束再來研究其運動.

完成上面兩步之后，為了與實際情況更加貼近，釋放質心處的約束，使薄圓柱可以下落.最后加入地面的摩擦力，研究真實情況的運動.

數值模擬過程中取薄圓柱質量 m＝1 kg，g＝9.8 m/s2；地面摩擦因數 μ ＝ 0.67；圓柱半徑 R ＝0.5 m.R疑過大，但是考慮到該取值并不影響物理實際，在數值模擬中仍取該值.方便起見，考慮摩擦力時，認為研究對象與地面之間只存在滑動摩擦.

2 定點轉動近似

2.1 質心約束

選薄圓柱的質心為坐標原點建立直角坐標系Oξηζ.以節線為 x軸，以垂直于圓柱的軸線為 z軸，建立隨薄圓柱進動但是不隨它自轉的非慣性系Oxyz.選擇這個坐標系是因為在這個坐標系下圓柱的轉動慣量是常量，寫出運動學方程的過程更加方便，方程的形式更加簡潔.自由度 s＝3，章動角為 θ，進動角為φ，自轉角為ψ標記如圖2所示，取它們為廣義坐標.初始時刻，θ＝π/6，φ＝ψ＝0.以下各種情況都采用這種初始條件.

圖2 質心約束

因為質心固定，所以薄圓柱的動能只有定點運動的動能.選取原點處的重力勢能為零，則薄圓柱的拉格朗日函數為

由薄圓柱近似條件，其中Ix、Iy、Iz的表達式如式（1）.運動微分方程為

圖3形象地展示了薄圓柱的運動情況，為了展示空間轉動，在圓柱頂面的中心延伸出一條細線段，并畫出它的端點的軌跡（下同）.在質心約束下，可以看出，薄圓柱的最低點不能始終保持在一個水平面上.隨著圓柱的章動，它會上下擺動.因此，薄圓柱落地之前的運動并不是單純的定點運動.為了更好地模擬這種運動，我們添加第二個約束.

圖3 質心約束下薄圓柱運動情況

2.2 質心地面約束

為了更符合真實情況，把薄圓柱的最低點約束在地面上，自由度s＝2.同時把慣性系建到地面上，從而薄圓柱有了固定的章動角，它可以由質心的高度z＝Rsin θ來確定.把進動角φ，自轉角ψ作為廣義坐標（圖 4）.

圖4 質心地面約束下薄圓柱的運動情況

在上一小節式（6）的拉格朗日函數中，取章動角θ為常數，得出兩個廣義坐標的拉格朗日方程

可以容易地解出

在這種情況下，薄圓柱勻速進動與自轉.在觀察中發現，實際運動在比較短的時間內確實可以這樣描述.由于地面約束使得薄圓柱的最低點不可能低于地面，所以它比上一種情況更加接近真實運動.

在質心地面約束下，薄圓柱會永遠自轉和進動下去，而不會落下.這只與實際情況下運動開始后一段時間的狀態相對應.為了展示它在長時間尺度下的運動，有必要取消對質心位置的約束，更真實地研究物體的運動.

3 剛體一般運動

3.1 地面約束

取消質心處的固定，薄圓柱的自由度變為4，此時仍然限制質心只能上下運動，不能水平運動，這是為了著重體現剛體下落的運動.把重力勢能的零點取在慣性系的原點，則薄圓柱的重力勢能與它質心的高度有關.

此時系統的拉格朗日函數為

其中等號右邊的最后一項是剛體的重力勢能，倒數第二項是剛體隨質心平動的動能.

由拉格朗日方程導出的運動微分方程組為

其中

這是一個非常復雜的非線性微分方程組，可以觀察到初值不同時，解表現出了不同的特征.此外，薄圓柱此時的運動還與不同的主軸轉動慣量的大小有關.

3.1.1 進動的保持

在數值模擬過程中觀察到，初始時刻的進動角速度在薄圓柱的運動中得以保持.圖5（a）中薄圓柱的初始章動角速度為零，初始進動角速度為0.01 rad/s，初始自轉角速度為 175 rad/s，這幅圖中近似圓形的運動軌跡曲線表示進動保持得較好.如圖5（b）展示了章動角隨時間的演化情況。可見，薄圓柱的運動總體穩定，隨著時間的推移，振蕩逐漸擴大，但是在相當長的一段時間內處于可控范圍.

圖5 地面約束下薄圓柱的運動情況

3.1.2 自轉引起的運動變化

一定的初始自轉角速度是薄圓柱維持不倒的關鍵，這與理論力學的預言相符［11］.如果初始自轉角速度過小，不妨設置為10 rad/s，則薄圓柱會徑直落下.效果與以下小節中較大的x軸、y軸轉動慣量相似.然而，如果初始自轉角速度不是很大也不是很小，則薄圓柱的轉動將呈現復雜的變化.

注意到這里取的自轉角速度都比實際情況大很多，而且還能長時間維持，這是由于摩擦力還未被考慮.如后面所見，摩擦力是減少薄圓柱轉動能量的重要因素.如果不考慮摩擦力，剛體轉動的能量就只能在幾個自由度之間轉化，這導致了高轉速的維持.考慮摩擦力后，多么高的轉速也不能阻止薄圓柱倒下.

3.1.3 轉動慣量分布對運動狀態的影響

之前分析過考慮盆邊/盤邊對于轉動慣量的影響.由式（4）、式（5）知，這種考慮帶來的 Ix、Iy的增量要大于Iz的增量.因此，當盆邊的高度增加到非常高，以至于Ix、Iy的數值與 Iz可以比擬的時候，物體的運動就會更加傾向于落地而不是進動.實際生活中，底部斜觸地的壁比較高的玻璃杯在松手后，在落地前就很少有轉動.

3.2 5自由度真實運動

只考慮一個約束，即薄圓柱的最低點必須在地面上，則自由度 s＝5，此時的模型最接近真實情況.選取薄圓柱的章動角θ、進動角φ、自轉角ψ，以及質心的水平位置 x、y為廣義坐標.由于考慮了摩擦力這一耗散力，所以體系不是保守系.然而，摩擦力的大小與地面給薄圓柱的支持力有關，支持力的大小卻不能事先確定.因此，我們釋放地面的約束，使自由度s＝6，先用拉格朗日方程配合約束條件求出支持力，再代入所有的拉格朗日方程求解薄圓柱的運動.此時它的動能為

圖6 薄圓柱的俯視圖

幾何方法可以得出薄圓柱觸地點P在慣性系中的位置，并計算出點P沿水平方向的速度.俯視整個體系，薄圓盤的形狀投影為一個橢圓，原來的x軸仍然與地面平行，原來的y軸與地面有一定的夾角，取y′軸為 y軸的投影.點 P處進動角 φ0正好為 φ+3π/2.從圓心到邊緣的距離是 Rcos θ.這一點在慣性系中的坐標可以寫成

點P與地面的相對速度就是它在慣性系中的水平速度，它可以由章動和進動角速度在慣性系中合成得到.

支持力FN和摩擦力 Ff都作用在點 P上.設支持力的大小為FN，摩擦力的方向與該點水平方向速度的方向相反，大小為μFN.可以計算出支持力和摩擦力以及它們對應的廣義力.

其中

拉格朗日方程為

z＝Rsin θ實際上不是自由坐標，它與其他自由坐標的關系是已知的.把z的二階導數帶到上面的最后一個方程中就可以解出支持力的大小FN.

把式（25）代回方程組，并化簡，最終可以得到 5個廣義坐標對應的拉格朗日方程.其中

取4種初始條件做模擬，圖 7中的（a）、（b）、（c）、（d）4幅子圖中，章動角速度、進動角速度、自轉角速度（單位都為 rad/s）分別為（0.1，1，1）、（0.1，40，1）、（10，1，1）、（10，40，1）.從模擬結果中可以看到，初始進動和章動角速度對薄圓柱整個落地過程的形態有著顯著的影響.首先，由圖（a）、（b）和（c）比較可知，如果初始章動角速度為較小的正值或零（注意章動角的記法，正值具有使薄圓柱翻倒的傾向），薄圓柱就會向下倒，如果初始章動角速度較大，薄圓柱就會翻倒.其次，分別比較圖（a）和（b），（c）和（d），可知，如果初始進動角速較小或者為零，薄圓柱就會直接落地或近似直接落地，如果初始進動角速度較大，薄圓柱就會旋轉幾圈之后才落地.尤其是觀察圖（c）和（d）知，在章動角速度很大時，較大的進動角速度可以避免翻倒.最后我們注意到，在真實運動中不論初始條件如何，薄圓柱最終都會與地面發生碰撞.

圖7 4種初始條件下薄圓盤運動情況

數值模擬的結果與生活經驗相符.如果人在松手前使勁抬高臉盆或圓盤，它就很有可能翻倒，不使勁的話就正常落地.如果人在松手前使勁擰臉盆或圓盤使它進動，它就會旋轉落地，不使勁的話就會直接落地.

4 結論

臉盆或淺圓盤落地的運動可以近似為薄圓柱剛體落地的運動.經過各種近似逐步改進模型，成功地使數值模擬結果接近真實情況.在落地前的很長一段時間里，它可以近似為定點轉動.在與之相比的較短時間內，薄圓柱落地，這個運動不是定點轉動，而是有一個約束的剛體一般運動.這個非線性運動過程可以進行數值求解.薄圓柱落地的過程中，運動形態與初始狀態的章動角速度和進動角速度關系較大，其中較大的初始進動角速度有利于薄圓柱落地前旋轉的圈數增加.初始章動角速度較大時薄圓柱會翻倒，較大的初始進動角速度有助于減輕初始章動角速度的影響.

MATLAB軟件的數值求解功能在解決這個生活問題的過程中發揮了很大的作用.求解歐拉動力學方程的結果往往在隨動系或剛體質心系中表達.本文利用編程手段，方便地在固定在地面的靜止系中呈現結果，省去了一些解析計算［12］.

薄圓柱落地顯然是個非線性問題，其中的非線性機理有待進一步研究.

5 致謝

感謝北京師范大學2018級本科生胡新元幫助畫出了圖1的第一版；作者寫第一種近似情況的程序時參考了徐琳和江政寫的類似程序，徐琳對作者還提供了鼓勵；感謝北京師范大學2017級本科生施鵬毅對中途出現的一個程序報錯提出了自己的理解.