章動面齒輪傳動點接觸脂潤滑彈流潤滑分析

王廣欣，范文仲，沈玉婷

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)

地鐵，隧道等挖掘設備的工作環境惡劣、強度大、維修養護困難，進而導致傳動裝置的潤滑問題日益明顯.而潤滑脂在常溫下呈固態或半液態的膏體狀，具有使用方便，粘附在物體表面不易流失的特點，可以為該類傳動裝置提供長期穩定的潤滑.章動面齒輪傳動是一種新型空間齒輪傳動，因其具有速比大、結構緊湊、零件少、體積小、承載能力強等優點被應用到盾構機，隧道挖掘等設備的傳動裝置中[1].

Jonkisz和Krzeminsik[2]對線接觸脂潤滑彈流潤滑問題進行了比較深入地研究，他們基于Herschel-Bulkley流變模型求得了脂潤滑彈流潤滑的完全數值解.對比油潤滑的膜厚與壓力的形狀，發現二者的膜厚和壓力形狀類似，并給出了包含流變參數的脂潤滑線接觸膜厚計算公式.Rahnejat[3]等人分析了等溫點接觸脂潤滑彈流潤滑問題，除入口區和二次壓力峰處外，脂潤滑彈流潤滑壓力的分布和油潤滑壓力的分布十分接近，理論計算結果和Cameron等人的實驗結果相吻合.

應自能和溫詩鑄[4]對脂潤滑彈流潤滑進行了比較全面的理論分析，他們將求解區域劃分為順解區和逆解區，求出了線接觸下脂潤滑彈流潤滑的數值解.指出潤滑脂的觸變性、組成結構及入口區邊界條件是影響油膜特性的主要條件.董大明[5]等根據四參數流變模型，導出了線接觸純滾動脂潤滑的當量雷諾方程，通過多次迭代使計算參數收斂，分析計算數據得出了充分潤滑條件下線接觸脂潤滑與基礎油中心膜厚之間關系式.

本文以章動面齒輪傳動點接觸形式下的單對嚙合齒輪副為研究對象，以具有非牛頓流體特性的Herschel-Bulkley流變模型為基礎，借鑒數學中分離變量的思想方法，依據分離流速法建立潤滑方程.利用多重網格積分法和微分法求出方程的數值解.討論了模數，章動角，壓力角及齒數對章動面齒輪傳動潤滑特性的影響.以期為章動面齒輪傳動設計及預防潤滑失效提供一定的參考.

1 章動面齒輪傳動

章動面齒輪傳動是由共軛嚙合的兩個面齒輪結合章動原理形成的一種傳動形式.該傳動主要是由輸入軸帶動圍繞傾斜軸旋轉的行星盤面齒輪，分別與固定盤面齒輪和轉動盤面齒輪相嚙合，從而實現章動運動.該傳動裝置結構圖如圖1所示.

圖中代號1～21分別表示輸入軸、鍵、密封圈、內六角螺栓、箱體、軸套、行星盤面齒輪、轉動盤內六角螺栓、輸出軸、輸出端軸承蓋、輸出側密封圈、軸承端蓋內六角螺栓、圓錐滾子軸承、擋油盤、深溝球軸承、轉動盤面齒輪、行星盤圓錐滾子軸承、固定盤面齒輪、固定盤內六角螺栓、調心滾子軸承、輸入端軸承端蓋.其中，固定盤和轉動盤分別與行星盤的左右兩側相嚙合，構成固定側面齒輪副和轉動側面齒輪副[6].

圖1 章動面齒輪傳動裝置結構圖

2 點接觸模型的建立

根據齒輪嚙合原理[7]，通過章動面齒輪傳動的齒面接觸分析知，兩面齒輪接觸齒面屬于彈性點接觸.在傳動過程中，嚙合齒面在法向載荷的作用下，接觸區域由點接觸變形為橢圓接觸[6].假設兩等效橢球體在接觸點處兩主平面重合，且第一主方向與橢圓接觸區域的長半軸重合，設為X方向.第二主方向與橢圓接觸區域的短半軸重合，設為Y方向.如圖2所示.圖中a和b分別表示橢圓接觸區的長半軸和短半軸，Fn表示法向載荷.

圖2 章動面齒輪傳動等效點接觸模型

3 基本方程

3.1 基本方程

(1)本構方程

(1)

式中，τs表示屈服剪切應力,η表示塑性黏度,n表示流變指數.

(2)Reynolds方程

Reynolds方程的推導是解決彈性流體動力潤滑的關鍵，借鑒分離變量法，參考流速分離法求解非牛頓流體潤滑方程的思想[9]，推導Herschel-Bulkley非牛頓流體模型對應的Reynolds方程.

平衡方程：

(2)

式中，τzx表示X方向剪應力.由于剪切力流速uc和壓力P無關，將式(1)代入式(2)得

(3)

對式(3),沿膜厚Z方向積分，并利用表面邊界條件，即當z=0時，u=UI；當z=h時，u=UC[9].可以求出潤滑膜中任意點沿著X方向的剪切流速為:

(4)

Y方向的剪切流速vc為：

(5)

壓力流流速

(6)

將式(6)進行積分，壓力流流速up的分布在膜厚Z方向是沿著中線上下對稱分布的，并且在邊界上的流速為零[9].根據流速邊界條件x=0，up=0；x=h，up=0；可以得到X方向壓力流速：

(7)

同理可得Y方向的壓力流速vp為：

(8)

所以X方向流速u等于剪切流流速和壓力流流速之和:

(9)

再次沿著膜厚積分得到截面流量qx：

(10)

同理可得Y方向的流速和截面流量.

根據分離流速法可以求得Herschel-Bulkley模型的Reynolds方程是：

(11)

(3)膜厚方程[9]

(12)

式中，h0代表中心膜厚，Rx和Ry分別表示X和Y方向等效曲率半徑，Ε表示綜合模量，Ω代表橢圓計算域.

(4)載荷平衡方程[10]

(13)

式中，ω表示章動面齒輪副點接觸載荷.

(5)潤滑脂性能方程[10]

黏-壓方程：

(14)

式中，η0潤滑脂初始黏度,p0表示壓力黏度系數，取1.96×108.

密-壓方程

(15)

式中，ρ0表示潤滑脂初始密度.

3.2 量綱一化方程

引入下列無量綱量對Reynolds方程進行無量綱一化[10].

(1)量綱一化后的Reynolds方程

(16)

(17)

(2)量綱一化后的膜厚方程

(3)量綱一化的載荷平衡方程

(18)

(4)量綱一化的性能方程

黏-壓方程

(19)

密-壓方程

(20)

3.3 無量綱方程離散化

(1)離散后的Reynolds方程

(21)

ΔX=Xi-Xi-1，ε0=εi+1/2,j+εi-1/2,j+εi,j+1/2+εi,j-1/2.

(2)離散后膜厚方程

(22)

(3)離散后的載荷平衡方程

(23)

式中:Pij表示節點(i,j)處的壓力值；ΔXi表示X方向節點間距；ΔYj表示Y方向節點間距.潤滑脂性能方程無需離散可直接進行數值計算.

4 算例及計算方法

取單對嚙合齒輪副節圓中點進行分析，計算出模數、章動角、刀具壓力角以及齒輪齒數不同時，齒寬中點處的等效曲率半徑，卷吸速度，赫茲接觸力等分析潤滑性能影響.

表1中各參數說明如下：Z1，Z2，Z3，Z4分別表示固定盤面齒輪齒數，行星盤固定側面齒輪齒數，行星盤轉動側面齒輪齒數，轉動盤面齒輪齒數；Zs1和Zs2分別表示固定側刀具的齒數和轉動側刀具的齒數；β代表章動角；α表示刀具壓力角；Us表示卷吸速度；Rx和Ry分別表示橢圓接觸區域X和Y方向的等效曲率半徑；m表示面齒輪模數；FH表示赫茲接觸力.

表1 各參數變化值

表1 各參數變化值 (續表)

潤滑脂選用MOLYPROX RV潤滑脂，該潤滑脂在正常工況下工作溫度為-40～130℃，也可短期在150℃工況下工作，具體成分及性能指標見表2.

表2 MOLYPROX RV潤滑脂性能指標

利用多重網格法[10]編制Fortran程序對潤滑方程進行數值求解，節點數目4225，X方向起始坐標X0為-2.5，終點坐標Xe為1.5.Y方向起始坐標Y0為-2.0,終點坐標Ye為2.0.膜厚Z方向網格分為5層，計算參數如下：潤滑脂動力黏度η0為0.048 Pa/s;潤滑脂最小剪切應力為τs為10 MPa；齒輪材料泊松比μ為0.30；齒輪材料密度ρ為7 800 kg/m3；齒輪材料彈性模量E為211 GPa.

5 結果分析及討論

由圖3分析知，膜厚的形狀在空間中類似“馬蹄狀”并且在接近出口區出現了膜厚頸縮現象，從入口到出口膜厚的總體走勢是下降的.

圖3 膜厚空間分布圖

從圖4看出，壓力由入口逐漸增大，在接近出口處出現了二次壓力峰，在其作用下，膜厚出現了凹陷區域.二次壓力峰和油膜“勁縮”現象是彈流潤滑重要特征.

為清晰直觀地表示膜厚和壓力的變化范圍及趨勢，本文取Y=0截面處的數據進行分析討論.

圖4 壓力空間分布圖

5.1 不同模數對膜厚和壓力的影響

由圖5(a)分析可知，面齒輪模數增加時，膜厚和壓力也相應增加.膜厚從0.95 μm增加到1.05μm；壓力從1.35 GPa增加到1.41 GPa.通過編程計算，由表1中的數據可得，增加面齒輪的模數間接地提高了嚙合面齒輪副之間的卷吸速度，從而帶動更多的潤滑脂進入嚙合區域，使潤滑區域的供油量更加充分，油膜厚度隨之增加，這對于提高章動面齒輪傳動的潤滑是有利的.

圖5(b)分析了模數不同時轉動側齒輪副的膜厚和壓力的分布，對比圖5發現轉動側膜厚總體小于固定側膜厚.當固定側與轉動側齒輪副取相同模數時，轉動側曲率半徑大于固定側半徑，轉動側齒面較固定側齒面更為平緩，兩齒面間貼合程度更好，更多的潤滑脂被擠出，致使轉動側齒面間膜厚低于固定側膜厚.

(a) 固定側

(b)轉動側圖5 不同模數時膜厚和壓力分布

5.2 不同章動角對膜厚和壓力的影響

從圖6(a)可以看出，嚙合區域的膜厚和壓力隨著章動角的增大而略有增加.通過編程計算并對表2中的數據分析可知，增大章動角直接地減小了嚙合區域的等效曲率半徑，間接地增加了接觸點的曲率，加大了齒面彎曲程度；此外，增大章動角，直接提高了潤滑入口區的卷吸速度，帶動更多的潤滑脂流入嚙合齒面間，使潤滑區域的油膜厚度增加，這有利于提高章動面齒輪傳動的潤滑質量.

圖6(b)分析了章動角不同時轉動側齒輪副的膜厚和壓力分布，轉動側作為輸出側，轉速低，扭矩大，嚙合沖擊小，從圖也可以看出轉動側二次壓力峰比固定側二次壓力峰稍微平緩一些.

(a) 固定側

(b)轉動側圖6 不同章動角時膜厚和壓力分布

5.3 不同壓力角對膜厚和壓力的影響

膜厚和壓力均隨著刀具壓力角增大而增大，增大壓力角對提高章動面齒輪傳動的潤滑質量是有利的.

對圖7(a)分析可知，當刀具壓力角由20°增加到25°時，膜厚從0.64 μm提高到0.79 μm，增幅約為23%.

(a) 固定側

(b)轉動側圖7 不同壓力角時膜厚和壓力分布

通過分析圖7(b)，將刀具壓力角由20°增加到25°，轉動側膜厚增幅約為35%.對比圖7(a)、(b)可知：當α=25°時，固定側膜厚為0.79 μm，轉動側膜厚為0.52 μm，這是因為固定側齒面曲率半徑小，曲率大，潤滑脂不易流失，因此固定側膜厚大于轉動側膜厚.

5.4 不同齒數對膜厚和壓力的影響

由圖8分析知，增加面齒輪齒數，油膜厚度和壓力均降低.

對圖8(a)進行分析可知，齒數增加由組1到組2，膜厚降低0.10μm，壓力降低0.05GPa.當齒數增加由組2到組3時，膜厚降低0.16μm，壓力降低0.09 GPa.增加齒輪齒數，等效曲率半徑增大，曲率卻減小，齒面比較平緩，不利于潤滑脂在齒面上粘附，膜厚降低.由此知，增加齒輪齒數對膜厚的影響很大. 在章動面齒輪傳動的設計中，模數、壓力角和章動角不變的條件下，過多的面齒輪齒數不利于齒輪的潤滑.

(a) 固定側

(b)轉動側圖8 不同齒數時膜厚和壓力分布

圖8(b)分析了取不同齒數時膜厚和壓力的分布，轉動側的膜厚與壓力的變化規律除與固定側膜厚和壓力的變化趨勢一致外，轉動側的二次壓力峰更高，更尖銳.齒數增加對降低轉側膜厚和壓力更為明顯.這是因為轉動側作為章動面齒輪傳動的輸出側，齒輪轉速低，齒面間嚙合沖擊小的緣故.

6 結論

本文討論了章動面齒輪基本設計參數模數、壓力角、章動角和齒數對齒面嚙合區域內的膜厚和壓力分布規律的影響.分析可得如下結論：

(1)傳動點接觸脂潤滑嚙合區域內存在二次壓力峰和油膜 “勁縮”現象，最大二次峰值達2.1GPa，最小膜厚為0.38 μm，出現在二次壓力峰對應膜厚凹陷區域；

(2)增加模數、章動角和壓力角，固定側膜厚和轉動側膜厚均增加.在章動面齒輪傳動的合理設計范圍內，適當地提高齒輪模數，章動角和刀具壓力角有利于增加嚙合齒面間潤滑脂的膜厚；

(3)齒數的變化對傳動的潤滑性能影響較大，當增加面齒輪齒數，固定側膜厚和轉動側膜厚均降低，增加面齒輪的齒數不利于嚙合齒面間膜厚的提高，因此在章動面齒輪傳動基本參數合理的設計范圍內，面齒輪齒數不宜選取過多.