基于SEIR模型的新型冠狀病毒肺炎疫情分析

須成杰 覃開舟

(復旦大學附屬婦產科醫院 上海 200090)

0 引 言

新型冠狀病毒是2019年末所發現的一種具有很強傳染性的冠狀病毒毒株，世界衛生組織將由此種新型的冠狀病毒所引發的肺炎命名為COVID-19[1]。人感染后常見癥狀包括發熱、乏力、干咳等[2]，癥狀嚴重的患者可能會產生嚴重的急性呼吸窘迫綜合征甚至死亡[3]。新型冠狀病毒傳染性很強，導致其在全球流行。對新冠肺炎的傳播規律進行理論分析和定量研究成為一項重要的課題，通過合理地預測疫情發展趨勢，能夠為疫情防控提供理論指導。

通過數學建模方法進行傳染病傳播的研究是公衛疾病干預的有效方法。Gong等[4]通過建立系統動力學模型，研究了及早發現并采取隔離治療的措施對SARS疾病傳播的重要影響。此后研究人員在SEIR模型的基礎之上又陸續提出了SIS模型、SEIR模型、SEIRS模型等傳染病倉室模型，推動了傳染病動力學研究的發展[5]。

本次新型冠狀病毒的傳播符合一般傳染病的傳播規律，因此本文采用SEIR模型來研究新型冠狀病毒肺炎疫情。基于每天公開發布的全國及省市疫情確診數據，模擬疫情傳播過程，分析疫情傳播規律。根據模型分析結果可以合理地預測疫情的發展趨勢、每日確診人數、疫情拐點，從而為疫情防控工作提供有效的參考信息，具有實際應用價值。

1 疫情預測模型

1.1 SEIR模型原理

SEIR模型是一個經典的傳染病動力學模型，常用于模擬某一疫區的傳染病傳播過程，能夠有效合理地預測疫情傳播和擴散趨勢。SEIR模型中，S代表易感者，E表示潛伏者，I表示感染者，R表示恢復者[6]，總人數N=S+E+I+R。染病人群為傳染源，通過一定概率把傳染病傳給易感人群，自己也有一定的概率被治愈并免疫或死亡。易感人群一旦感染即成為新的傳染源。

SEIR模型的基本假設包括[7]：

(1) 不考慮疫區人口的出生和死亡，即假設總人口為一個常數。

(2) 治愈后的個體對病毒具有免疫能力，不會再次感染。

(3) 人群分為易感人群、感染人群和恢復人群，某一時刻t這三類人群的人數分別記作s(t)、i(t)、r(t)。

符號定義如表1所示。

表1 符號定義

其中：

有以下推斷：

(1) 一個病人與易感者接觸后必然具有一定的感染力。假定t時刻單位時間內，一個病人能傳染的易感者數目與環境內易感者總數成正比，比例系數記為β，代表感染系數。

(2)t時刻，單位時間內從染病者中移出的人數與病人數量成正比，比例系數記為γ，代表恢復系數[8]。

以上推斷可寫為式(1)-式(4)。

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2 最小二乘法

對于SEIR模型中的未知參數，可利用最小二乘法這一經典的優化算法對參數進行估計。最小二乘法的原理是選擇使得實際值與模型結果值之間誤差平方和最小的參數作為參數最優解。

針對SEIR模型，假設未知參數θ=(β,γ)，模型解得確診人數預測值為{yi(θ),1≤i≤N}，實際確診人數為{Ii,1≤i≤N}，則殘差平方和表示為：

(5)

式中：V為實際確診人數減去確診人數的預測值矩陣。

為求殘差平方和SSE(θ)的最小值，對式(4)關于θ求偏導，并令其等于0，得：

(6)

式(5)的解即為最小二乘法得到的最優參數。

2 實驗分析

自2020年1月22日起丁香園每天公開發布新型冠狀病毒肺炎疫情數據，基于累計近3個月的疫情數據，自4月25日起每天使用SEIR模型模擬全國及幾個重點省市(湖北省)的疫情傳播過程，并預測之后每天的確診人數變化趨勢和疫情拐點(即現存確診人數的最大值和最高峰所在的日期)。本文通過Python編程來構建模型并估計參數。

2.1 參數估計

進行SEIR建模和預測時，首先需要確定模型的幾個初始值，以全國疫情預測模型為例進行討論。

感染人群初始值I0即1月22日的感染人數為548。待估參數包括易感人群初始值S0、感染系數β和恢復系數γ。對于S0，考慮到本次疫情中對確診和疑似人群實行隔離、武漢市自1月23號起開始封城、全國多地采取了嚴格的防控措施等實際情況，可知感染者能接觸的人數是有限的，不能使用全國總人口數作為易感人群初始值S0，需要通過數學方法估計，在SEIR模型中易感人群初始值S0是通過地區總人口數N、潛伏者數初始值E0、感染人群初始值I0、死亡人群初始值D0等參數計算得到，而地區總人口數N通過統計年鑒可獲取，潛伏者數初始值E0、死亡人群初始值D0等參數初始值假設為0，感染人群初始值I0假設為1，后續通過最小二乘法基于擬合誤差最小化原則不斷迭代更新，得到最終數值。

采用最小二乘法對感染系數β、從暴露人群到確診感染者的比率k、恢復系數γ、死亡率μ進行估計。

將以上估計得到的參數代入SEIR模型公式中計算，可預測出每天的現存確診人數和疫情拐點，并根據預測數據繪制確診人數變化曲線。

2.2 模型優化

根據疫情期間公開數據的變化情況以及對每天建模預測的結果進一步分析總結，發現可從2個方向對初始參數做進一步的調整，從而優化模型。

(1) 過濾原始數據集。在疫情發生期間，自2月13日起湖北省把臨床診斷病例數納入確診病例數進行公布。診斷分類的變化引起了湖北省及全國確診病例數的激增，由于前后統計口徑不一致，數據差異較大，因此后續對全國及湖北省數據進行建模時只選取2月13日之后公布的確診數據。

(2) 優化感染人群初始值I0。原本對全國疫情建模分析使用1月22日的確診人數作為感染人群初始值I0，而根據上述說明，對全國和湖北省進行疫情分析時應只選取2月13日之后的數據，因此需要重新估計I0的值。以2月17日的全國疫情預測模型為例，當n=1.3即I0≈378時，通過計算得到預測值與實際值誤差最小，全國疫情分析模型有最優解。

(3) 優化恢復系數γ。隨著疫情數據的不斷積累，需要重新估計恢復系數γ，使模型擬合程度更高。根據模型預測結果可以看到γ值對于拐點后的曲線變化影響較大，γ值越大，拐點后的曲線越陡峭。利用最小二乘法基于擬合誤差最小化原則擬合恢復系數值。

2.3 實驗結果

通過以上模型優化方法，基于每日更新的確診數據進行參數估計，從而得到每日疫情模型預測結果并繪制疫情發展曲線如圖1所示。

(a) 全國確診人數預測曲線

(b) 湖北省確診人數預測曲線圖1 確診人數預測曲線(截止于2020年4月24日)

2020年3月11日到2020年3月20日每日的模型預測結果數據如表2-表3所示。為評價模型預測效果，記預測值y與實際值I之間的相對誤差為δ，計算公式如下：

(7)

表2 全國確診人數預測結果表

續表2

表3 湖北省確診人數預測結果表

從表2、表3可看出，模型對于全國、湖北省的確診人數相對誤差率分別不超過2.04%、1.25%，說明模型能夠根據當前累積的確診人數有效地預測之后的確診人數。從圖1可看出，模型擬合程度較高，曲線能夠有效地反映和預測疫情的發展趨勢。

3 結 語

本文使用傳染病動力學經典模型SEIR模型對2020年1月22日至4月24日的全國及幾個重點省市的新型冠狀病毒肺炎疫情數據進行建模分析，模擬新冠肺炎的傳播過程和發展趨勢，應用模型結果預測疫情期間每天的確診人數和疫情拐點。在建模過程中，首先基于實際情況和最小二乘法優化算法估計幾個重要參數，即易感人群初始值、感染系數β和恢復系數γ等，模型擬合程度較高。本文的創新之處在于，從疫情期間發生的實際狀況出發，進一步優化模型，通過過濾原始數據集、優化感染人群初始值I0以及優化恢復系數γ等方法進一步提高了模型擬合程度和模型預測準確率。

實驗結果證明，本文構建的SEIR疫情預測模型能夠有效地反映疫情變化趨勢、合理地預測疫情確診人數和疫情拐點，對于描述傳染病傳播過程、預測疫情發展、疫情防控等方面具有一定的實際應用價值。然而新冠肺炎疫情的傳播過程十分復雜，影響疫情傳播的部分因素是SEIR模型無法刻畫或預測的，比如醫療資源的變化、政府的管控措施、境外輸入的影響等，因此模型難以準確地預測疫情長期變化，比較適用于短期疫情預測。