耗散響應理論及其在開放系統中的應用*

陳宇

(中國工程物理研究院研究生院,北京 100193)

近些年來,隨著實驗技術的進步,對量子多體系統的耗散控制能力得到了增強,同時耗散動力學過程表征技術方面的實驗也有了較大進展.實驗上的進展驅使我們在理論上建立量子多體系統的耗散動力學計算體系.最近我們發現,通過把系統和環境之間的相互作用看成對系統的一個微擾,可以得到一般性的耗散響應理論.通過這一響應理論,可以回答物理可觀測量以及熵在耗散下一定時間尺度內的動力學演化的問題.本文建立了非Markov 環境下的一般理論,并討論了何時可以取到 Markov 近似,同時綜述了這種方法在計算強關聯體系的耗散動力學、強相互作用開放體系的熵的動力學演化等方面的應用.

1 引言

線性響應理論是物理學中各種測量的基礎[1].線性響應的基本精神是通過探測物理量在一個微小驅動后的含時演化來研究物理體系的性質.在凝聚態物理的實驗中,有許多實驗是以線性響應作為基礎的,如角分辨光電子譜實驗(APRES)、電導測量、中子散射等.這些實驗都采用外場來耦合系統中的某些物理量,最終測量物理量之間的推遲關聯性質.

線性響應的精神主要體現在外場為弱場時,對復雜的非平衡動力學演化行為的研究可以被約化為對初始時刻平衡態系統性質的研究.仔細考察線性響應理論與實驗的真實設置之間的差別時可以發現,其中一個重要的近似在于使用的外場是環境中算子的期待值,而外場的漲落所造成的效應被完全歸零了.真實的線性響應實驗總是一次環境和系統突然耦合的過程,而在有些時候外場漲落引起的效果是無法被忽略的.特別是在外場的期待值為零的情況下,體系的動力學行為是完全被外場漲落驅動的[2].

本文將主要研究這種外場期待值為零時體系的耗散動力學行為.第2節首先給出耗散響應理論的一般性理論.這里的一般性理論主要是指一般的非Markov 環境.耗散響應理論包括對物理可觀測量的耗散響應和熵的耗散響應兩個方面.同時,給出Markov 極限的條件以及在這個極限下的非厄米線性響應理論[3].第3節介紹非厄米線性響應理論在Bose-Hubbard 模型的耗散動力學中的應用[2].第4節介紹如何把熵的耗散響應理論用于具有全息對偶映射的開放Sachdev-Ye-Kitaev 模型中,從費米子熱化的角度來看引力側黑洞蒸發問題中的Page 曲線[3].最后對耗散響應理論進行總結和展望.

2 耗散響應理論

考慮一個物理體系在某一時刻突然和環境發生耦合.在耦合前,系統和環境的哈密頓量可以寫為

在與環境耦合以后,其總的哈密頓量變為

其中

這里Oj是作用在系統的Hilbert 空間上的算子,ξj是作用在環境Hilbert 空間上的算子.j是模式指標,也可以看作類似空間指標的連續指標.總系統的演化服從下面的動力學方程:

其中ρ0和ρE是系統和環境的初始密度矩陣.由于體系的含時演化是一個幺正的過程,因此系統的密度矩陣以及環境的密度矩陣的跡都不隨時間變化.這一點是非常重要的,一個密度矩陣的含時演化是保持跡不變的,與幺正性是互相等價的,這是量子力學的基本要求.然而在近來許多有關非厄米演化的研究中,并不能保證一個密度矩陣在演化過程中保持跡不變.因此,這種非厄米哈密頓量的近似在量子開放系統中的有效程度和適用范圍是值得進一步清晰化的.因為跡不變,所以可以把TrE(ρE(t))替換為初始熱態的配分函數ZE=TrE(ρE).為了簡單起見,后文用 Tr取代 TrS來表示對系統的 Hilbert空間求跡.

根據(4)式,得到在相互作用表象下的系統密度矩陣為

這里θ12=θ(t1-t2),是階梯函數的簡寫,當t1＞t2時θ12=1,當t1＜t2時θ12=0,t1=t2時θ12=1/2.

微擾公式(10)式可以用一系列圖形來表示(如圖1和圖2).圖形規則如下:所有沿徑向向內側走的實線表示在實時上的正方向演化,向外側走是向時間的反方向演化;其中藍色的線表示按照環境的哈密頓量進行演化,黑色的實線表示按照系統的哈密頓量進行演化;沿角向走的實線表示虛時間演化(黑色是系統的虛時演化,藍色是環境的虛時演化),如果閉合表示求跡;虛線表示相互作用強度g;箭頭表示演化的方向,算子按照箭頭的方向依次作用;紅色的點表示在系統中的產生算子O?,紅色的叉表示系統的湮滅算子O;相應地,藍色的點表示在環境中的產生算子ξ?,藍色的叉表示在環境中的湮滅算子ξ;黑色算子在右側多一個 —i因子,在左側多一個i 因子.

圖1 耗散費曼圖圖形規則演示圖Fig.1.Illustrations of the diagram rules of the dissipative Feynman diagrams.

相互作用表象下的密度矩陣微擾結果可以用上述圖形方法畫出,如圖2所示.

圖2 (10)式的圖形表達.這一圖形法則可以用于高階圖的展開Fig.2.Diagram expressions of Eq.(10).

2.1 物理可觀測量的線性響應理論

下面考慮一個系統的物理可觀測量W,那么在零時刻系統與環境突然接觸以后,物理可觀測量隨時間的動力學變化是后者正好可以用前面引入的圖形規則表示.

在展示結果之前,讓我們回到更為熟知的線性響應理論的出發點.假設

這里的Oj和ξj都是厄米算子,即更為一般地不假設〈ξj〉=0.

其中δW(1)(t)和δW(2)(t) 是按照g的階數來定義的.顯式的定義如下:

當外場的平均值非零,且被測量的物理量正好是O時,有

其中重復的j指標代表求和,這正是我們所熟知的線性響應理論.同時根據推導就不難發現,在更高階的貢獻中,既包括關于外場的非線性響應的部分,也包括由于外場的漲落引起的響應部分.接下來將證明在考慮外場均值為0 時,漲落引起的耗散響應在馬爾可夫極限下正好是之前發現的非厄米線性響應理論.

我們也發現,一般而言,除了在一些極限情況下,增益都會有自己的記憶效應.只有耗散是可以完全沒有記憶效應的.也可以注意到,量子噪聲的條件和經典噪聲的條件對于環境來說差別是非常大的.同時也看到,在馬爾可夫極限下存在增益本身已經把量子系統放在了高溫環境中,相干性消失,可以將系統看成一個經典系統來處理.需要注意的是我們現在的處理方法與最早的Feynman-Vernon 影響泛函[4],以及在Caldeira-Leggett 理論中使用的Schwinger-Keldysh 方法[5]略有不同,走了不同的路線.我們所建立的理論的優點在于比較容易計算短時間弱耗散、強相互作用的系統.而僅僅這一優點已經可以回答大量從前在開放系統動力學中難以回答的問題.

2.2 熵的線性響應理論

下面計算系統的熵在突然與環境耦合以后發生的變化.為了簡單起見,首先來計算第二 Renyi熵的變化.根據第二Renyi 熵的定義:

以上是玻色子環境與玻色子耦合的情況.

圖3 第二Renyi 熵的指數的耗散費曼圖Fig.3.Dissipative diagrams of the exponential of the second Renyi entropy.

如果ξ和O是費米場,那么相應地,Renyi 熵響應公式需要修改為

其中的統計核函數為

由此得到了熵響應的一般表達式.可以發現在這個表達式中熵的變化僅僅和系統、環境的譜函數、初態溫度、以及統計性質有關.(32)式和(33)式也大大簡化了對熵的動力學演化的計算[3].

3 耗散Bose-Hubbard 模型中的動力學

近些年來,隨著冷原子調控技術的突破,陸續出現了一些有關控制冷原子體系中的耗散的實驗研究[6-12].

2019 年巴黎高等師范學院的實驗工作中,他們在二維的Bose-Bubbard 模型中引入了耗散[6].實驗中他們測量了在0 動量上的粒子占據隨時間的改變,以及動量分布的峰寬隨時間的變化.他們發現0 動量上的粒子占據數并不是按照指數規律衰減的,同時他們發現動量的峰寬變化比典型的擴散行為要慢一些.過去,在一些近似下,有一些針對Bose-Hubbard 模型的耗散動力學的計算[13,14].

根據 Wick 定理,同時忽略掉高階的連通圖,

下面考慮兩種特別的情況.

1)系統有良好定義的準粒子:

容易發現,這樣的譜函數會使得f(k,t)=1,故而F(k,t)=t.由此可以發現:

也就是說粒子數的變化是指數衰減的.

2)系統在量子臨界點附近.系統沒有良好定義的準粒子[15],其譜函數有如下特征:

由此可以計算得到f(k,t)=t2η-2,F(k,t)=t2η-1.這里需要說明的是盡管譜函數和動量有關,但是f(k,t)與動量無關.這時,

與此同時,

注意后面動量擴散的規律和0 動量粒子數衰變的規律完全相同.而這一結果并不僅僅是粒子數守恒造成的,而是嚴重依賴于f(k,t) 與動量無關這一事實.因此,這一規律如果在實驗上被觀測到并非是一個尋常的現象.下面展示一下由本文給出的公式擬合實驗原始數據的結果,如圖4(a)所示.可以發現動量擴散的數據和粒子數衰變的數據在一定的放縮后完全重合.

圖4 (a)紅色為0 動量粒子數衰變的數據,藍色為動量空間中的粒子數寬度隨時間變化的曲線;(b)擬合的不同晶格強度下的Bose-Hubbard 模型中的0 動量粒子數衰變曲線中的參數 .這里的反常維度應該在量子臨界點處最小.圖(b)的小圖里兩個箭頭所在的晶格強度就是量子臨界點所在的位置[2]Fig.4.(a) Red curve shows the decay of zero momentum particle occupation.The blue curve shows how the width of particle momentum distribution evolutes over time.The solid line is our theoretical prediction.(b) Theoretical curve with experimental data for zero momentum particle decay for different parameters.In the inset figure,we shows the anomalous dimension eta extracted from experimental data and we can see its minimal being around quantum critical region[2].

4 非馬爾科夫環境中的熵變與Page曲線

第2節中得到了一個系統和環境在突然耦合后熵的變化公式.這里用這個公式以及猜測的引力全息對偶來探討一下黑洞的信息丟失佯謬.首先回顧黑洞信息丟失佯謬.文獻[16-23]中的研究發現,黑洞的表面積和總質量、總角動量滿足如下簡單的關系:

其中GN是牛頓萬有引力常數,Area 是黑洞的表面積,M是黑洞的質量,J是黑洞的角動量,Ω是黑洞視界的角速度,κ是視界表面的引力.后來有人發現這一表達式和熱力學基本方程十分相似.其中κ正比于溫度,M相當于內能,Area 正比于熵,J相當于體積,Ω相當于壓強.因此提出視界的表面積正比于黑洞的熵.

之后霍金考慮在黑洞視界的表面由于量子漲落的原因形成一對糾纏光子對,其中一個光子在視界之內而另一個在視界的外面.其中視界內部的光子掉落向黑洞的奇點,而黑洞外部的光子向無窮遠逃逸.在無窮遠的觀測者于是看到了被輻射出的光子.這些光子被稱為霍金輻射.霍金在計算霍金輻射的熵時發現輻射光子的熵隨著時間單調上升.但另一方面,隨著黑洞因為輻射光子而蒸發,質量減小以后,表面積縮小.因此一定會出現黑洞的熵比輻射出的光子的熵更小的情況.然而,如果假定黑洞的所有動力學過程(包括塌縮和蒸發)都是一個幺正過程的話,體系的細致熵(及部分的馮諾依曼熵)一定滿足黑洞細致熵等于霍金輻射的細致熵.另一方面,細致熵一定小于粗粒化的熵(粗粒化熵是指從某些物理可觀測量來看,某些等效的分布如正則分布,也可以得到相同的結果時,這些等效密度矩陣的馮諾依曼熵.一般而言在經典的熱力學中,熱力學分布都取到了系統和環境最大程度退相干的混合態,因此經典熵是粗粒化熵的代表.自然地,我們之前類比黑洞熵和經典熱力學熵即是說黑洞的粗粒化熵).這是因為粗粒化過程本身意味著信息的丟失,因此人為造成熵增加.然而根據剛才的論述可以看出,黑洞視界面積的收縮導致的粗粒化熵減小也限制了黑洞的細致熵的大小.而當霍金輻射的熵大于黑洞粗粒化熵時自然就無法繼續滿足黑洞細致熵等于霍金輻射熵這一條件.這就導致一個問題,黑洞蒸發的過程中是否存在信息丟失?這就是霍金提出的黑洞蒸發的信息丟失佯謬[24].

20 世紀90 年代,霍金的學生 Page[25]提出為了解決這一信息丟失佯謬,霍金輻射的熵會在某個時刻開始減小.這條非單調變化的霍金輻射熵變曲線因此得名.在后來的研究中,有一系列弦理論的計算中支持Page 曲線,暗示黑洞蒸發的過程確實是一個幺正的過程[26-30].1999 年Maldacena[30]發現SU(N)的超對稱Yang-Mills 場和引力理論之間存在對偶關系.這里所謂的對偶猜想是指在兩個不同的理論下通過某種映射聯系起來的場有等價關系,表現為配分函數相同,即所有關聯函數都相同.這種對偶映射雖然沒有得到嚴格證明,但在不少理論中得到了一定程度的驗證.自然地,如果一個引力理論可以對偶為一個量子力學體系,其動力學演化的過程一定是幺正的,故而滿足最初的基本假設.于是不少研究者試圖從具有全息對偶性質的引力理論出發,試圖從引力側和量子力學側同時對Page 曲線進行研究和理解.在全息對偶理論提出以后,很長時間內并沒有一個有明確哈密頓量的體系可驗證具有全息對偶性質,直到2015 年Kitaev[31,32]、Ye和Sachdev[33]提出 Sachdev-Ye-Kitaev(SYK) 模型,SYK 模型是一個具有哈密頓量的全息對偶模型[34-36].SYK模型被證明和1+1 維的 Jackiw-Teitelboim (JT) 引力[37,38]存在對偶關系[39].由于在大N 極限下,類似SYK 模型是可解的,因此最近有不少工作對這些類SYK 模型的熵變進行了計算[40-48].在引力側,通過推廣的Ryu-Takanagi 公式,最近不少研究也在 Page曲線問題上取得了關鍵性的進展[49-51].

這里我們試圖在一個有全息對偶的SYK 模型上外加一個量子場作為環境,來計算系統的熵的變化.通過前面通過微擾理論給出的公式可以非常一般地計算出環境比系統溫度高或者低(環境溫度低對應于黑洞蒸發的過程)的熵變.首先寫出體系的哈密頓量:

其中j,k,l,m可以取從 1 到 N 的整數,是Majorana費米子的模式數,χj是Majorana 費米子.Jjklm滿足:

其中上橫線表示無序平均,J是一個實數參數,表示費米子之間的耦合強度.這里為了滿足大 N 極限以及強耦合極限,需要要求N ?βJ ?1.接下來假設環境是無序的自由費米子,

其中上橫線表示無序平均,J′是一個實數參數.ψk,α是復費米場.系統和環境之間的相互作用為

其中g是耦合常數.在上面的假設下,發現有關的譜函數可以給出,為

因此,根據之前建立的熵變的一般公式得到:

由此發現,在短時間的極限下:

注意這個因子是可正可負的.在較長時間里,線性的規律比較接近熱傳導.接下來展示環境溫度較高和環境溫度較低時,進入SYK 模型非微擾區的現象.

首先在圖5中考慮環境初始溫度比較高的情況.可以發現在初始時刻的平方增長以后變為線性增長.

圖5 當環境比SYK 系統溫度高時系統的熵隨時間的變化 (a)環境和系統的譜函數;(b)系統的熵隨時間的演化,可以看到經過初期的平方增長后變為線性增大.系統的溫度 β=10,相互作用強度 J=4;環境溫度 βE=2,相互作用強度 J′=8.該圖引用自文獻[3]Fig.5.(a)Spectral functions of the environment and the system;(b) entropy dynamics after the quench interaction between the system and the environment.Here the temperature of the environment is higher than the system’s initial temperature.The entropy dynamics shows a typical thermalization case.Cited from Ref.[3].

接下來考慮環境溫度比較低的情況,這正好對應于類似黑洞蒸發的過程(如圖6所示).從圖6可以看出,由于最終的λ ＜0,而初始時刻的熵是平方增加的,因此一定存在一個熵變反轉的時刻.由于直接計算的是SYK 模型的細致熵,也就是說對應于黑洞的細致熵.其變化應和霍金輻射的熵相同,因此我們也預期熵的變化服從Page 曲線.這正是我們的微擾理論給出的結果.

圖6 (a)系統的譜和環境的譜;(b)“黑洞蒸發”的熵的變化圖.系統的溫度 β=2,相互作用強度 J=2;環境的溫度 βE=20,相互作用強度 J′=2.該圖引自文獻[3]Fig.6.(a) Spectral functions of the environment and the system;(b) entropy dynamics after the quench interaction between the system and the environment.Here the temperature of the environment is lower than the system’s initial temperature.The entropy dynamics shows a typical cooling case.Here it can be compared with“Black Hole Evaporation”and the entropy dynamics looks like a Page curve.Cited from Ref.[3].

以下問題值得注意:1)首先現在的計算對于相當一大類相互作用費米子體系都是正確的,即類似Page 曲線的熵變規律并非是有引力對偶的模型的特有特征,而很有可能是非常一般性的普適規律;2)初步理論測試的成功讓我們可以更加細致地研究在不同時間點上量子力學側發生的物理現象,同時通過引力對偶的假說映射回引力體系來看在黑洞蒸發問題中的一些物理細節,甚至包括在黑洞內部的物質狀態的細節;3)微擾的更高階效應所產生的物理效應也是非常值得關注的.

值得一提的是,同時間Dadras和Kitaev[52]也創始了這種一般性的對熵的微擾線性響應方法,并計算了一些高階的微擾效應.后來蘇凱翔等[53]也計算了SYK4和SYK2 之間的耦合造成的熵變.他們的計算利用了SYK4 的可解性質和replica 技術,能給出長時間的熵變結果,因此對于環境和系統的耦合強度沒有限制.

5 總結與展望

本文綜述了可以用于一般相互作用系統與一般環境在弱耦合情況下的線性響應理論,這一理論包括了原來沒有被計入的耗散造成響應動力學.文中給出了系統性的展開和用圖形學方法來計算的技術.回顧了這種方法在用于非厄米線性響應動力學中與量子臨界現象的研究,以及利用線性響應的技術如何來計算熵的變化.為了展示計算效果,在有引力對偶的模型中模擬“黑洞蒸發”的過程,發現了類似Page 曲線的熵變曲線.值得一提的是,由于本文的方法可以繞過對密度矩陣在耗散動力學過程中的直接計算,而僅僅和初態下的關聯函數有關,因此大大簡化了耗散動力學的計算,同時讓我們可以有能力去計算一些強相互作用的開放系統的動力學.這些計算在過去都是比較困難的.同時還發現,在本文微擾方法的高階貢獻中有超越原先主方程的貢獻,可能對于理解多體耗散動力學等有新的幫助.