周期驅動系統的非平衡熱輸運與熱力學幾何*

王子 任捷

(同濟大學物理科學與工程學院,聲子學與熱能科學中心,上海市特殊人工微結構材料與技術重點實驗室,上海 200092)

隨著對微納尺度系統的深入理解和實驗技術的進步,發生在這些小系統中的熱輸運和能量轉換近期吸引了大量研究.不同于依賴靜態熱力學力(如溫差、電勢差等)的非平衡穩態調控手段,受時間驅動的非平衡非穩態小系統具有特有的高可調性和普遍性,其研究同時具有基礎價值和應用潛力.本文從幾何這一基本概念出發,分析了熱力學幾何相(曲率)和熱力學距離這兩個關鍵物理量,以幾何的視角展現和分析近期關于受驅動非平衡量子系統中輸運調控和能量轉換途徑的熱力學研究.熱力學幾何不僅可以看作是這一大類系統中非平凡輸運和耗散的本質起源,也同樣給我們提供了一種理論框架,給出對于系統輸運和能量轉換的限制,同時也可以給出慢驅動條件下量子熱機性能的通用優化方式.這將在未來幫助理解非平衡量子多體系統所發揮的能量輸運/轉換功能,也會為發現高性能(高效率、高功率、高可靠性)量子熱機提供新的設計思路.

1 引言

在現實生活中,宏觀的熱力學系統,如熱機、制冷機、熱泵等發揮著重要作用,它們可以將一部分饋入的能量轉換為人們所需要的輸出能量.在此過程中,能量的轉換方向、轉換效率是衡量這些熱力學過程的重要參數.而近些年來,人們對于熱力學系統的研究集中到了非平衡的小系統,通過納米制造和精確控制的實驗手段,可以制備出承擔著各種熱力學任務的微納系統.單布朗粒子熱機便是這方面的一個重要例子[1].在這樣的系統中,工作介質往往具有較少的自由度和較小的空間尺度,它與熱庫進行的能量交換過程充滿了大幅的漲落.如何利用隨機熱力學[2]的工具,來刻畫這些漲落過程中能流大小和能量轉換效率等物理量就成了一個重要問題.另外,量子效應也是研究低溫條件下隨機能量轉換過程所必須考慮的因素.一方面,量子熱機是構造功能性量子器件的一個關鍵目標;另一方面,量子制冷機可以被用來在較冷的環境下進一步對所要研究的系統進行冷卻,從而凸顯其量子效應,使其可以承擔量子信息處理等任務.研究表明,量子相干性[3]和壓縮態[4]可以被當作一種資源,借以實現超出卡諾效率的熱機.另外,在量子熱機中,熱流的漲落[5]和最優相干性的尋找[6]也推動了人們對量子熱機的理解.

時間驅動,正是小系統熱力學過程的一個重要調控手段,例如可以通過時間驅動調控聲子系統中的拓撲與非互易性[7].如不依靠時間驅動,經典的準靜態過程雖然一般可以保證能量轉換效率最高,但它的長時間功率卻趨向無窮小,因而很難被實際利用.靜態條件下工作的穩態不可逆熱機雖然可以具有可以調節的功率和效率,但兩者間往往存在權衡關系和限制.因此最大功率下的效率極限[8-11]受到大量研究.與這些靜態框架相比,受到時間驅動的小熱力學系統具有更大的可調空間,它們所發揮的功能和品質參數可以通過設計特有的驅動方案得到便捷的調節[12,13].

然而,相比穩態系統,時間驅動的研究難度更大,一般性結論更少.特別地,在試圖直接對系統品質參數進行優化時,往往需要較大的計算量.尤其是在對多個品質參數進行多目標優化時,最優驅動方案在不同優化條件間還會出現相變等復雜現象[14].因而關于受驅動小系統的普遍性概念和理論框架就顯得十分重要.幾何是物理系統的一種重要內稟性質.它在小系統熱力學性質的研究中也發揮著不可替代的作用.它可以描述非平凡幾何相(曲率)帶來的熱泵浦現象[15-18],也可以描述驅動帶來的熱-功轉換過程[19,20]和驅動帶來的額外熵的產生[21,22].另外,借助熱力學幾何的概念,人們可以利用熱力學度規[23,24],對能量轉換中的功率、效率和穩定性等品質參數進行優化[25,26].

本文關注于受周期性驅動的小量子系統中,時間驅動對于熱輸運和熱-功轉換的調節作用.本文將介紹受驅動熱力學系統中,幾何相(曲率)和熱力學距離的概念,它們分別代表了驅動的可逆部分和不可逆部分.在此框架基礎上,本文分別介紹幾何相熱泵浦效應,以及熱力學幾何在描述熱機工作過程的作用.最后,本文介紹基于幾何方法提出的優化方法和權衡關系.值得注意的是,由于各方面的限制,本文所介紹分析的內容不具備絕對的完整性,而僅以近期的一些代表性研究工作為例向讀者展現這一新穎的研究方向.

2 周期性驅動量子輸運中的幾何相與距離

在周期驅動熱力學系統中,幾何相和熱力學距離作為兩個重要概念,為我們提供了一種統一描述經典/量子系統的理論框架.在幾何上,在一個可以定義任意兩點距離的空間中,可以使用Riemann空間中的度規來描述相近兩點間的距離.此無窮小距離沿著曲線的積分就是此路徑首尾兩點間的距離.在一個非平坦的空間中,一個矢量途經一條閉合路徑進行平行移動,其末了矢量與初始矢量間的夾角被稱為和樂(holonomy)角,它即是幾何相的數學含義.一個光滑空間中,此和樂角可以通過路徑上幾何聯絡的線積分得到.從另一個角度,聯絡本身定義了曲面上向量平行移動的方式,它使我們可以把不同位置處切空間內的向量進行比較.

在物理上,這些數學概念也有對應的意義.開放系統內熱泵浦、功轉換等過程中,幾何相描述了經由一個絕熱驅動,系統分布在回到其初始狀態時,額外累積定向轉移熱量/功的多少[15].它可以由參數空間內局域的幾何聯絡的積分得到.描述能量流(功/熱)的幾何聯絡可以類比孤立量子系統中的Berry 聯絡,它在驅動路徑上的投影給出了在此參數點進行一個微小絕熱驅動所引起的額外熱流泵浦/功輸出.另外,若驅動速度較小,但并非完全絕熱,則熱力學距離則描述了驅動過程中引起的耗散大小[23].相近參數點間的熱力學距離可以定義出一個參數空間中的度規.這樣的物理圖像如圖1所示.接下來,我們給出具體的分析和推導.

圖1 周期性驅動非平衡量子輸運和其中幾何性質的示意圖 (a) 非平衡量子系統示意圖.量子系統由一個包含多個能級的系統來表示,它可以與多個熱庫相連.熱庫溫度(Th和Tc)和系統參數 (λ) 都被含時地驅動.由此,可以產生系統與熱庫間的熱量交換(Qh和Qc)以及系統的功輸出(W).(b) 此非平衡量子系統在參數空間(Λ ≡(T,λ))中的幾何性質.曲線坐標系表現出非均勻的熱力學距離,而各點的箭頭表示幾何聯絡.幾何聯絡在幾何上對應平行移動一個微小參數時帶來的和樂(holonomy)角.熱力學距離定義了一個具有度規的黎曼曲面Fig.1.A scheme of periodically driven nonequilibrium quantum transport and its geometry.(a) A diagrammatic nonequilibrium quantum system.The middle quantum system is illustrated by a multi-level system,which is coupled with several thermal reservoirs.The temperature of reservoirs (Th and Tc) and the mechanical parameter of the system (λ) are simultaneously and periodically modulated.The heat exchange (Qh and Qc) and work output(W)are thus generated.(b) The geometry of this nonequilibrium quantum system in the space of parameters(Λ ≡(T,λ)).The curvilinear coordinate is adopted to show the inhomogeneous thermodynamic distance and the local vectors are for the geometric connection,as derived in the main text.Geometrically,the geometric connection is the holonomy angle during an infinitesimal parallel transport and the thermodynamic distance between neighboring points defines a Riemannian space with endowed metric.

假設作為工作媒質的系統與周邊熱庫之間的耦合較弱,則根據開放量子系統的理論,可以在波恩-馬爾可夫近似下,等效地使用量子主方程來描述粗粒化后系統的演化.若再進一步假設旋轉波近似,則可以將此量子主方程簡化為具有全正定且保密度矩陣跡(completely positive trace preserving,CPTP)的Lindblad 形式[27]:

假設在驅動過程中,熱庫的溫度T和系統的參數λ被驅動,它們的驅動形式為:Λ(t)=(T(t),λ(t))T.這里,上標 T 表示轉置操作.根據隨機熱力學[30],我們可以給出瞬時系綜平均功率P(t)和平均熱流J(t)的定義(正方向都規定為流入系統的方向):

其中F ≡?×A為參數空間的幾何曲率,積分的范圍為驅動路徑所圍繞的參數范圍Ω,dS為面元向量.可以看出,Wgeo的形式與孤立量子系統中的Berry 相位的形式[31,32]具有很強的類比性,因此被稱為幾何相(曲率)貢獻的非平衡功.幾何相(曲率)貢獻的熱也同理可得,并滿足Qgeo=-Wgeo.這里作為示例,僅推導了平均意義下功的形式,任意非平衡漲落流的幾何相描述和它與Berry 相位進一步的類比將在下一節中以生成函數的形式給出.

上面所推導的結果為慢驅動下的熱-功轉換.若將驅動方向反向,則這部分的貢獻也會反向,因此它代表了可逆的部分.若要研究熱-功轉換中的不可逆性、耗散以及效率,則需要引入量子隨機熵[29,33]和熱力學距離[23,24]的概念.下面仍將在此示例系統中進行推導.在雙參數驅動下,

研究工作[33]已經將經典系統中隨機熵的定義[34]推廣到了受驅動量子系統中.受驅動的過程中,整體的熵增可以拆分為系統和熱庫的熵增兩部分.此時,平均熵產生速率可以寫成[33]:

在劉維爾表象下,上面熵增速率可以寫作:

由此定義的度規gμν ≡(Rμν+Rνμ)/2是Rμν的對稱部分,刻畫了慢驅動過程中的瞬時平均熵增速率.從這里容易看出,Rμν的反對稱部分對于熵的產生沒有貢獻.圖1(b)中,用曲線坐標系定性地表現了gμν描述的參數點間的局域熱力學距離.可以看到,若將參數驅動的方向反向,幾何相(曲率)的貢獻也會反向,但熱力學距離以及熵產生的符號不會改變.因此,熱力學距離在物理上描述了驅動帶來的不可逆性,而幾何相(曲率)貢獻則代表了可逆的能量轉換.

根據Cauchy-Schwarz 不等式,可以一般性地給出對于熵產生的限制,此極限由熱力學給出:

與幾何相(曲率)貢獻的平均流類似,熱力學幾何也是一個普遍框架.這里僅舉例說明它在最簡單系統中的應用.若采取不同的定義,可以研究驅動系統中功率-效率的權衡關系[25],多個熱庫的系統中的權衡關系[20],以及受驅動量子熱機的多目標優化[26]等等.但這些都具有相類似的理解方式.這正說明了幾何方法在受驅動量子系統中,研究能量轉換時所發揮的普適框架性作用.后文將進一步介紹.

3 幾何相:可逆熱泵浦和慢驅動熱機

類似于第2節的分析,在慢驅動情況,時間驅動帶來的累積熱流和功可以寫成一個不依賴驅動頻率的幾何性表達式.但是上面的分析沒有考慮多個熱庫的情況,也沒有包含累積流的漲落的性質.本節將在生成函數的框架下對這兩個問題進行討論.

非熱力學的幾何泵浦的研究可以追溯到Thouless[32]關于零溫孤立且受周期性參數驅動的電子系統的研究,他發現一個周期內泵浦的電荷量是量子化的,且它受到拓撲保護,具有很強的魯棒性.此時,量子化的泵浦量可以寫成Berry 曲率[31]在驅動參數和一維布里淵區所組成的二維面上的積分.這項開創性工作開啟了周期性驅動系統中輸運性質的研究.后續,人們發現,在開放量子系統中也可以實現類似的現象.特別地,即便不存在靜態偏壓,也可以周期性驅動產生定向電流.此電流可以用散射矩陣表達出來[35].此外,相互作用量子點系統具有在實驗中展現出此類現象的潛力[36].后續Sinitsyn和Nemenman[37]的研究說明,幾何泵浦的現象不局限于電子系統,而具有廣泛的應用.他們使用生成函數的方法,給出了隨機泵浦系統中,包含泵浦流各階漲落信息的幾何相貢獻.

然而,上面的研究只探討了粒子流的定向輸運,而沒有研究周期驅動過程中熱流等能流的輸運情況.基于隨機熱力學的研究方法[38],Ren 等[15]提出了量子分子結的聲子熱輸運中,驅動熱庫溫度等參數產生幾何相熱流的熱泵.隨后,幾何相熱流也在經典布朗系統[17],自旋-玻色系統[18,39],量子光力系統[16]等大量系統中得到了廣泛研究.特別地,在自旋-玻色系統中,研究人員發展運用了極化子變換的方法[40],系統性探討了系統-熱庫耦合從弱到強的變化對于幾何相熱流的影響[18,41].

為了幫助對于這一大類工作的理解,下面大致梳理了幾何相熱泵浦[42]的基本思想和理論框架.

根據兩點測量的方法可以定義從熱庫流入系統的累積隨機熱流.若在時刻 0和t分別測出熱庫的能量為m0和mt,則流入系統的熱流為Q=m0-mt.將此事件的聯合概率密度記作P(mt,t;m0,0),它表示熱庫在 0 時刻總能量為m0,且在經過酉演化后第二次測量時熱庫具有總能量mt的聯合概率.在這個過程中流入系統的熱流的生成函數為[2,38]

χ是計數參數.對應地,熱流的累積量(cumulant)生成函數為

通過對它求導,可以給出熱流的各階累積量:

若假設系統-熱庫的耦合相對于系統和熱庫各自的能量來說為弱耦合,則可以用一個帶有計數參數χ的量子主方程來同時描述系統密度矩陣和流的生成函數的演化[15,39]:

其中下標表示對于計數參數χ的依賴.若計數參數χ=0,則此方程對應的是只描述系統密度矩陣演化的主方程.可以根據得到其穩態下的左右本征矢:

其中 dSμν為特定方向的面元,反對稱的幾何曲率Fμν ≡?μAν -?νAμ為參數空間的內稟量,不依賴于規范的選取.如果把驅動路徑反向,熱的幾何相效應也反向.因此,在只有純的幾何相效應(動力學相效應為零)的情況下,系統為可逆熱泵浦和熱機.

近年來,大量關于受驅動非平衡量子系統中熱流泵浦的研究基本都基于以上描述的理論框架.如圖2(a)所示,最初關于幾何熱泵的研究是關于一個量子分子結的聲子熱泵[15].通過動態驅動分子結兩端熱庫的溫度,可以產生一個累積的定向熱流.這個熱流的一部分累積量生成函數可以和Berry相位進行對應,由一個純幾何量給出,即幾何曲率(如圖2(b))在驅動包裹的參數空間區域內的積分.幾何相熱流的存在,使得靜態條件下普適成立的漲落定理被打破.后續關于此情況下新的形式的漲落定理被推導得出,此特殊的漲落定理需要考慮幾何相熱流的貢獻[43].

圖2 幾何相熱泵浦 (a) 最初研究的量子分子結系統,工作介質由一個兩能級系統描述,p和k 分別為各個占據數和躍遷速率[15];(b) 驅動兩端溫度產生的熱泵浦現象,圖中用顏色表示了幾何曲率的大小.幾何泵浦的熱量為驅動回路包裹的范圍內的幾何曲率積分[15].(c),(d)自旋-玻色系統中幾何相熱流與系統-熱庫耦合強度 α 的關系[18].(c)為無Zeeman 劈裂能的情形;(d)為有Zeeman 劈裂能的情形[18].(a),(b)改編自文獻[15];(c),(d)改編自文獻[18]Fig.2.The geometric heat pump effect.(a) The originally studied quantum molecular junction system.The working medium is described by a quantum two-level system,with pand k denoting different populations and transition rates[15].(b) The geometric curvature in the two-temperature parameter space.The color denotes the magnitude of the geometric curvature.The pumped heat is the integral of geometric curvature over the encircled area[15].(c),(d) The geometrically pumped heat versus the coupling strength between the middle system and reservoirs in a quantum spin-boson system[18].(c) is for the setup with no Zeeman splitting while the splitting is present in (d) [18].(a),(b) are adapted from [15],while (c),(d) are adapted from [18].

隨后,除了經典布朗系統中的幾何熱泵浦現象外[17],更多量子系統中的幾何相熱泵浦也得到了大量關注.在自旋-玻色系統中,系統-熱庫耦合強度對于幾何相熱流的調控得到了研究[18].如圖2(c)和圖2(d)所示,在沒有Zeeman 劈裂能時,幾何相熱流隨著耦合強度的增加而單調衰減;而當有Zeeman 劈裂時,幾何相熱流先隨耦合強度的增加而減小,后經過反向后,絕對值又繼續增大.這說明幾何相熱流可以方便地在量子系統中被控制.另外,在量子光力系統中,可以調控的參數更多,例如失諧,光驅動的壓縮性質等等,由此在光力系統中引入周期驅動,也可以實現熱流的幾何泵浦和非互易傳輸[16].

為了使幾何相泵浦不再局限于慢驅動附近,研究人員借鑒了量子控制和非絕熱控制[44]的概念,在設計驅動方案時,研究了對幾何相泵浦的非絕熱控制[45,46].通過引入一個附加的驅動項,可以把幾何相的描述方法拓寬到相對高頻的參數條件,從而極大地增大了幾何泵浦的功率,在單位時間內可以將更多熱量/粒子泵浦到特定熱庫中去.

除了實現定向泵浦,幾何相的概念也可以被應用在研究慢驅動下熱機工作分析.Giri和Goswami[19]分析了三端口熱機中幾何相的貢獻,通過驅動高溫和低溫端熱庫的溫度,可以向光學腔內單一模式中泵浦光子.特別地,他們通過引入兩個接近簡并的能級,探究了量子相干性對于泵浦的影響,相對于動力學相對應的功的行為,兩個近簡并能級間的相位差可以更明顯地調制幾何相部分的功.幾何相的存在,使得穩態熱機在取得最大功率時效率的普適極限被打破.

在上面這些面向實際應用的研究外,生成函數的幾何相也在關于非平衡統計物理的基礎理論中發揮了作用.早期關于穩態統計物理的研究希望能找到一個類似于平衡態Claussius 不等式的關系,由此可以給出系統在不同穩態間切換時所要滿足的限制.Hatano和Sasa[47]指出,可以將熵產生拆分為瞬時穩態熵(housekeeping entropy)和額外熵(excess entropy),且根據額外熵滿足的漲落定理(Hatano-Sasa 等式)可以限制不同穩態間切換的過程.近期,Sagawa 等[22]的工作表明,幾何相正好對應了額外熵的累積量生成函數,而同時動力學相則對應了瞬時穩態熵的統計性質.這樣的工作說明,幾何相對應的熱力學過程不僅具有實際應用的價值,也對基本非平衡理論的研究具有指導作用.

4 熱力學距離:熱機中的不可逆性

第3節中描述的幾何相貢獻沒有分析驅動過程中帶來的不可逆性和由此帶來的熱力學效率的減小.本節將運用熱力學距離的概念對此進行討論.熱力學距離最初源于宏觀平衡熱力學的研究,它基于熱力學勢函數(內能,熵等)在參數空間中的二階導數,且其發散性代表了相變的發生[48,49].近年來,此概念被用來描述單一熱庫接觸的微納系統的熱力學和統計物理性質,與前面宏觀系統的情況不同,此時的熱力學距離基于隨機的香農熵(S=-lnp)來定義[23].此時的熱力學度規與信息幾何中的Fisher 信息矩陣直接相關,即:當把Fisher信息定義中的概率分布選取為Gibbs 分布,則可以得到對應的熱力學度規.根據此度規計算的兩點間的熱力學距離確定了這兩點間態轉換的最小耗散,這與信息幾何中Cramer-Rao 界限具有很強的類比性.此時的熱力學距離是一個實驗可直接測量的量[50],它可以幫助人們設計進行微納系統態轉換時最優(耗散最小)的路徑方案,此方案對應著參數空間中由熱力學度規確定的測地線[24,51].

上面一系列重要的研究僅僅關注了受驅動系統的耗散性質,而沒有研究受到周期驅動的微納系統中涉及的熱機功能以及其能量轉換效率.近期,Brandner和Saito[25]的研究工作討論了這個問題.類似于本文第2節中的討論,他們用幾何聯絡來描述慢驅動產生的功輸出,用熱力學度規來描述驅動帶來的耗散.如圖3(a)中給出的,熱力學幾何限定了有限時間熱機工作時的效率-功率權衡關系.圖中的灰色區域為熱力學幾何給出的不等式所禁止的,即在一定范圍內若要獲得更大的效率就要犧牲一部分功率.而圖3(a)中黑線為以勻速驅動的結果,而橙線則代表了經過優化的熱機表現,具體的優化方式將在下一節中進行描述.另一方面,與先前的結果[6]不同,在此研究的具體模型中,無論驅動的幅度如何,量子相干性(由驅動引起)都只會損害熱機的工作性能.

圖3 通過熱力學距離對慢驅動熱機的限制和優化 (a) 周期驅動量子熱機中的功率與效率權衡.灰色區域是根據熱力學幾何得出的不可能區域,黑色線對應等速率驅動方式,而橙色線對應經過優化的驅動方式(驅動速度隨時間變化),這兩種驅動方式中驅動速度的具體形式由圖(b)給出[25].(c),(d) 對于驅動量子熱機(一個諧振子)的多目標優化[26] (c)不同的優化后的驅動速度;(d) 功的相對漲落與諧振子頻率的關系,此時為效率-功漲落的多目標優化.紅線為勻速率的驅動,而藍線對應優化后的驅動,灰色區域為由熱力學幾何給出的不可能區域[26].(a),(b)改編自文獻[25];(c),(d)改編自文獻[26]Fig.3.The constraint on and optimization of slowly driven quantum heat engine using the thermodynamics distance method:(a) The efficiency-power tradeoff in driven quantum heat engine.The gray area is ruled out by the thermodynamic geometry,with the black and orange line corresponding to the constant-speed driving and optimized driving protocols (driving speed is time dependent) respectively.The driving speed in these two protocols is illustrated in Figure (b)[25].(c),(d) A multiple target optimization of a driven heat engine composed of a harmonic oscillator:(c) the driving speed of the optimization result with different targets[26];(d) the relative work fluctuation versus the oscillator’s frequency (system’s parameter) with a multiple target optimization.The red line is for the constant speed driving while the blue one is for the optimized protocol.The gray area is prohibited by the thermodynamic geometry[26].(a),(b) are adapted from Ref.[25],while (c),(d) are adapted from Ref.[26].

盡管上面的理論適用于大量受到慢驅動的經典/量子系統,但卻要求系統僅與一個熱庫相連.隨后,Hino和Hayakawa[20]將此框架推廣到了同時與多個熱庫相接的系統中去,并以此分析了非平衡自旋-玻色模型中的效率和功率.此時,熱力學距離的定義不再像單一熱庫時那樣依據Gibbs 分布,而是運用了Hatano-Sasa 等式中的額外熵.此理論可以用在無驅動時處于穩態的熱機中,但由于穩態分布在較復雜系統時難以直接得到,因此,提出另外的計算熱力學距離的方法顯得尤為重要.

在線性響應區域,可以把驅動和靜態偏置同等地當作一個平衡態附近的微小擾動來處理.此時,熱力學距離可以直接表示為一個平衡態的關聯函數,但此方法僅局限于驅動幅度和偏置幅度都較小的線性響應區域[52,53].根據平衡態關聯函數可計算出熱力學張量,它的對稱部分為熱力學度規,反對稱部分為幾何曲率,這就把本文第2節中介紹的看似分離的兩部分內容聯系了起來[54].特別地,基于線性響應計算熱力學距離的方法可以處理受驅動導體中的相干輸運,給出對于輸運系數的熱力學限制[55].這將有助于進一步考察更復雜量子系統中的輸運現象.

5 基于幾何方法的能量轉換優化與權衡關系

因此,?(t) 需要滿足的方程為

C為一個待定的常數,s為沿驅動路徑累積的熱力學距離.這時在一個參數點附近停留的時間正比于此處驅動路徑的局域熱力學距離.從而求出最優的驅動函數應當為

其中給定驅動路徑后,?(t) 確定了參數空間中的具體位置,而t就表示從初始位置驅動到此處所要花費的時間.按此方式選擇的驅動,可以使得熱力學系統的整體耗散最小.由于經歷完整周期的驅動后,(25)式變為τp=CL.因此常數C=τp/L.可以看出,當驅動最優時,驅動路徑Λ(t) 以熱力學距離為參數.此時,經過相同長度的時間,參數空間內應走過熱力學度規給出的相同的距離.

在對于單一目標(如效率)進行優化時,可以通過計算參數空間中熱力學度規,然后確定出最優的驅動方式[25].不同于一般性的直接優化方式[14],此優化過程是不需要大量數值性優化過程的.另外,如圖3(c)和圖3(d)中的例子,若優化的目標為多目標優化,則可以根據?這樣的參數,調節優化時的權重,決定一定程度上犧牲哪一個目標來換取另一個目標的優化.根據不同?計算出的熱機表現,就確定了它在多個衡量標準時的Pareto 前沿[26].

6 總結

在近些年的研究中,來源于幾何的概念—幾何相和熱力學距離—給受驅動微納量子系統中熱泵浦和熱-功轉換現象的研究提供了一種普適的方法和理解的角度.一般地,一個隨機流的累積量產生函數中包含了驅動帶來的幾何相貢獻.這部分貢獻是可逆的,平均流的方向會因為驅動方向的轉變而翻轉.它可以用一個反對稱的張量(幾何曲率)來描述.在慢驅動極限下,驅動產生的定向熱流、功提取、中間系統的額外熵等物理量都可以用一個類似于Berry 相位(曲率)的幾何相(曲率)來表示.在此范圍內,幾何相熱流是一個重要的可測量物理量,它可以幫助人們實現在無靜態偏置時的便捷的熱流調控.一系列理論研究已經涵蓋了量子分子結、自旋-玻色模型和量子光力系統等實際系統中各系統參數對于幾何相熱流的調控作用.

另一方面,源于熱力學距離的幾何度規則是一個對稱張量,它不會隨著驅動反向而反向.在具體的應用中,它可以被用來研究周期驅動量子熱機中對于功率、效率、漲落的熱力學限制,也可以在慢驅動條件下直接給出最優的驅動方式.

上面這兩者,是非平衡量子系統的參數空間里內稟幾何性質的不同體現.它可以幫助人們用統一的方式去研究大多數受驅動量子系統中的能流和能量轉換過程.未來,它將指導人們設計出更具實用價值的量子熱機[56,57],量子熱泵和量子制冷機等功能性量子熱器件.本文的討論局限在弱耦合系統,若未來能正確考慮系統-熱庫間一般耦合帶來的非馬爾可夫效應,則可以拓寬非平衡系統中幾何性質研究的應用場景.