從橫場伊辛鏈到量子E8可積模型*

王驍 楊家豪 吳建達2)

1) (上海交通大學李政道研究所,上海 201210)

2) (上海交通大學物理與天文學院,上海 200240)

本文綜述了近年來關于橫場伊辛鏈模型及量子 E8可積模型研究工作的一系列理論及實驗進展.在針對橫場伊辛鏈的研究工作中,理論上發(fā)現(xiàn)格林艾森比率 (熱或磁脹系數(shù)與比熱之比) 在此模型中獨特的奇異量子臨界行為,并實質性地擴展了能涌現(xiàn)橫場伊辛鏈普適類的微觀模型.這些理論進展成功地推進了一系列合作實驗在準一維反鐵磁材料BaCo2V2O8及SrCo2V2O8中首次實現(xiàn)橫場伊辛鏈普適類.在針對量子 E8可積模型的研究工作中,理論上嚴格計算了該系統(tǒng)的低溫局域動力學行為及在零轉移動量之時的動力學結構因子,并在動力學結構因子的連續(xù)譜區(qū)域得到了級聯(lián)冪次發(fā)散的奇性譜邊激發(fā).這些理論進展在結合詳細的量子臨界標度行為分析及大規(guī)模iTEBD 數(shù)值計算之后,成功促成了包括太赫茲譜學測量、非彈性中子散射、核磁共振等系列實驗,在BaCo2V2O8中首次實現(xiàn)量子 E8 可積模型.量子 E8可積模型的物理實現(xiàn)為在真實材料中研究量子可積系統(tǒng)的物理開拓了新的邊界.這一系列關于橫場伊辛鏈及量子 E8可積模型的研究進展為量子不可積系統(tǒng)的研究帶來了新的契機,并將啟發(fā)凝聚態(tài)系統(tǒng)、冷原子系統(tǒng)、統(tǒng)計場論和共形場論等相關方向的研究.

1 引言

量子相變指在零溫下通過調節(jié)參數(shù),強關聯(lián)多體系統(tǒng)發(fā)生的相變行為[1].在量子臨界點(quantum critical point,QCP) 附近,強烈的量子漲落往往會涌現(xiàn)出奇異的量子臨界行為[2-7].對這些量子臨界行為的深入理解將有助于解答長期懸而未決的物理問題[8-16],包括非常規(guī)高溫超導體、非費米液體等[17-19],并有助于在材料中實現(xiàn)量子自旋液體[20,21],因此吸引著理論和實驗的持續(xù)研究.量子臨界行為能被臨界指數(shù)所刻畫,每一組量子臨界指數(shù)對應于一種普適類,并往往伴隨相應的低能有效量子場論[1].即使微觀起源不同,屬于同一普適類的模型在QCP 附近也會展示出非常一致的物理,如標度規(guī)律、關聯(lián)行為及動力學激發(fā)等[1].因此,對普適類的深入研究可以使人們同時理解QCP 附近大量具有該普適類的微觀模型,而這意味著將實際系統(tǒng)調節(jié)向QCP 附近是實現(xiàn)并研究普適類之必要.然而,由于真實材料內在的復雜性,只有極少數(shù)的QCP 可以被實驗實現(xiàn),即使一些形式上并不復雜的微觀模型,如橫場伊辛鏈模型[22](transverse field Ising chain model,TFIC模型,見方程(1)),實驗上也一直難以找到候選材料實現(xiàn)并研究其對應的普適類.

在QCP 處對體系的微擾可能會進一步涌現(xiàn)出豐富的物理,如涌現(xiàn)對稱性和涌現(xiàn)可積性(涌現(xiàn)對稱性指量子系統(tǒng)在低能物理中的對稱性大于完整的哈密頓量的對稱性.涌現(xiàn)可積性指不可積系統(tǒng)在某些特定的參數(shù)區(qū)間成為可積系統(tǒng),產生了可積性;或可積系統(tǒng)在恰當擾動下又呈現(xiàn)出新的可積性)[3-6,23-26].自1989 年起Zamolodchikov等[23,24,27-29]發(fā)展了微擾共形場論(perturbed conformal field theory,pCFT).他們通過在不同普適類的臨界點處施加微擾,發(fā)現(xiàn)了一系列能夠由例外李代數(shù)(exceptional Lie algebra)描述的可積模型[24].比如,QCP 處的TFIC 模型在縱向磁場的微擾下會涌現(xiàn)出量子E8可積模型[23,24,27-31].這類涌現(xiàn)現(xiàn)象同樣具有普適性,一方面不依賴于微觀模型的具體細節(jié),另一方面拓展了量子可積模型范圍,有利于推動實驗在實際材料中對可積模型進行研究.

近年來,吳建達及其合作者在理論和實驗的共同努力下,在強關聯(lián)材料BaCo2V2O8(BCVO)和SrCo2V2O8(SCVO) 中首次成功實現(xiàn)TFIC 模型的普適類[22,32-35],并在BCVO 材料中首次實現(xiàn)量子E8可積模型[30,36,37].這一系列進展不僅是量子可積磁性理論和實驗上的突破[2],也展示了對量子臨界行為、普適類、涌現(xiàn)對稱性和涌現(xiàn)可積性研究的重要意義,更開拓了于真實材料中實現(xiàn)并研究量子可積模型的重要方向.本文按照歷史的脈絡,從理論和實驗兩個方面綜述了這一系列的進展.全文組織如下:第2節(jié)分別回顧TFIC 模型和橫場海森伯-伊辛鏈的量子臨界行為及其普適類;第3節(jié)介紹證實BCVO 材料和SCVO 材料中TFIC 模型普適類的實驗進展;第4節(jié)概括量子E8模型的理論背景和進展;第5節(jié)敘述量子E8模型在材料中的實驗實現(xiàn);第6節(jié)為總結與展望.

2 伊辛普適類

2.1 橫場伊辛鏈

TFIC 模型的哈密頓量為[1,22]

其中J及gJ分別為鐵磁及橫場與自旋間的相互作用強度.=/2,α=x,y,z表示在格點i處的自旋 1/2算符,是泡利矩陣.該模型是一精確可解模型,利用約當—魏格納變換 (Jordan-Wigner transformation)和波格留波夫 (Bogoliubov)變換可以對角化該哈密頓量并求解出其激發(fā)譜[1,22,32]:

1970 年,Pfeuty[22]首次研究了TFIC 模型的量子相變.1984 年,Zamolodchikov 等[3,30,38]證明了當g=gc時TFIC 模型的低能物理可以被中心荷 1/2 的共形場論 (central charge 1/2 conformal field theory,CFTc=1/2)所描述.在標度極限下[30],TFIC 模型中的自旋算符及分別對應于CFTc=1/2中自旋密度算符σ(x) 及能量密度算符ε(x).當|x|→0 時,其兩點關聯(lián)函數(shù)具有標度行為[31,38]

σ(x)和ε(x)對應的標度維度分別是2Δσ=1/8和2Δε=1[30,31,38],它們刻畫了TFIC 模型的普適類,同時也刻畫了二維經(jīng)典伊辛模型的普適類[39](以下簡稱該普適類為伊辛普適類).然而,自TFIC模型提出后的近半個世紀里,具有伊辛普適類的強關聯(lián)材料卻一直沒有被確認存在,這是因為一方面實驗上受限于實驗精度,另一方面缺乏有效的理論指導去分辨并證實觀測到的量子臨界行為是否屬于伊辛普適類.比如,方程(3)所提及的標度行為是等時短程關聯(lián),實驗上不具有可操作性,無法進行測量.2018 年,吳建達與合作者[32]關于伊辛普適類格林艾森比率 (Grüneisen ratio)量子臨界標度行為的理論突破為實驗提供了一個可靠的判定標準.這里先簡要歸納伊辛普適類在QCP 附近的標度規(guī)律,這些標度規(guī)律皆可作為判斷伊辛普適類的依據(jù)[1,22,32].首先,QCP 附近系統(tǒng)的磁化Mz滿足Mz≈|g-gc|δ,其中δ=1/8.其次,在QCP 附近考慮自旋關聯(lián)函數(shù)

該關聯(lián)隨格點間距呈指數(shù)衰減,即Cij≈e-|i-j|/ξ,其中ξ被稱為關聯(lián)長度,滿足標度律 1/ξ≈|gc-g|ν,ν=1.此時系統(tǒng)激發(fā)的能隙滿足標度律Δ≈|gc-g|zν,z=1 被稱為動力學臨界指數(shù)[1,32,35].

由于臨界指數(shù)也可以直接用于分析熱力學量臨界行為,因此在實驗方面,可以通過測量相應熱力學量的量子臨界行為考察相關材料的普適類性質.比如考慮和磁熱效應相關的熱力學量格林艾森比率:

其中H是可控外場;cH,αH,M和S分別為摩爾比熱、磁膨脹系數(shù)、每摩爾磁化強度和熵.在TFIC模型中,相關物理量均可被解析地求解出來[32].零溫極限下,格林艾森比率在橫場趨于TFIC 模型的QCP 時趨于發(fā)散而在量子臨界區(qū)內,趨于QCP 時,格林艾森比率則趨于常數(shù)[32].此奇異的量子臨界行為一方面表明了TFIC 模型的QCP 是本性奇點,另一方面則可作為TFIC 模型中伊辛普適類的獨特特征,為實驗探測伊辛普適類提供有效的理論指導.值得一提的是,格林艾森比率的發(fā)散行為意味著熵極大值會出現(xiàn)在QCP 附近[40],這在相關材料的量子臨界測量中得到確認,如Sr3Ru2O7和CeCu6-xAux等[41,42].于是,基于上述理論,在實驗中可以通過測量相關材料格林艾森比率的量子臨界行為,判斷該材料的普適類是否是伊辛普適類.

2.2 橫場海森伯-伊辛鏈

接下來總結橫場海森伯 -伊辛鏈在外加橫場之下的可能量子相變及其普適類特征,首先考察外加均勻橫場之下的海森伯-伊辛鏈:

這里Hx是自旋和橫場的耦合系數(shù).ε通常取0—1之間,當ε=0,1 時該模型分別對應TFIC和橫場海森伯鏈,于是稱該模型為橫場海森伯-伊辛鏈[43,44].此前已經(jīng)證明了該模型在加橫場后會存在伊辛普適類[44].2019 年,吳建達及合作者[35]利用大規(guī)模infinite time-evolving block decimation (iTEBD)數(shù)值計算證明了引入垂直于所加均勻橫場的交錯橫場后,該模型在量子相變點處依舊展示了伊辛普適類.考慮一般的帶有交錯橫場的海森伯-伊辛鏈哈密頓量

圖1 TFIC 模型相圖.g 為橫場參數(shù),gc=1 為QCP.在相變點左側,青藍色實線代表零溫下的鐵磁相;在相變點右側,黃色實線代表零溫下的順磁相.相圖中的兩斜虛線為低溫下各個不同無序區(qū)域的過渡邊界,而上方虛線則是量子臨界區(qū)域到經(jīng)典區(qū)域的過渡邊界Fig.1.A phase diagram of TFIC,where g labels transverse field,and gc=1 is the QCP.The cyan solid line represents for ferromagnetic phase at zero temperature on the left of the critical point,while on the right the yellow solid line stands for a paramagnetic phase at zero temperature.The two tilted dotted lines illustrate the crossovers of different disorder phases in low temperature region,while the dotted line above shows a crossover from quantum critical region to classical region.

利用iTEBD 數(shù)值方法,在gx-gy-ε三維參數(shù)空間內可以精確計算該有效模型中展現(xiàn)伊辛普適類物理的QCPs,所有的QCPs 組成了gx-gy-ε參數(shù)空間內一量子臨界曲面,如圖2[35]所示.

圖2 由iTEBD 計算得出的針對模型方程(7)的量子臨界曲面 (圖片經(jīng)文獻[35]允許轉載,版權歸2019 IOP Publishing Ltd 所有)Fig.2.Quantum critical surface calculated by iTEBD algorithm for Eq.(7).(Reprinted with permission from Ref.[35].Copyright 2019 IOP Publishing Ltd.).

該理論工作進一步考察了帶有交錯橫場的海森伯-伊辛鏈存在沿z方向的4 周期磁場微擾項的情形,發(fā)現(xiàn)這一微擾項僅輕微移動QCP 的位置而不改變相應的伊辛普適類.計算結果見圖3[35].

圖3 (a)交錯磁化 Mz(g)的計算結果.藍線和紅線分別代表了帶有和不帶有4 周期項的數(shù)據(jù).這兩條曲線可以分別用Mz=0.524(gc1-g)0.126和Mz=0.530(gc2-g)0.128來擬合,其中 gc1=0.1454,gc2=0.1456,在誤差精度范圍內均可得到臨界指數(shù)為 1/8的結論.內嵌圖是利用對數(shù)坐標軸畫出的 Mz的標度行為.(b)半對數(shù)坐標軸下糾纏熵 SEE(l)和鏈長 l 的關系,兩種情況都符合伊辛普適類的 1/2中心荷.(c)當 g=0.1448時,自旋兩點關聯(lián)函數(shù)和距離 i-j間的函數(shù)關系.內嵌圖展示了 ln C(i-j) 在長程時與 i-j成正比.(d)關聯(lián)長度的倒數(shù)和g的函數(shù)關系,兩種情況都符合伊辛普適類中關聯(lián)長度指數(shù) ν=1 的結論(圖片經(jīng)文獻[35]允許轉載,版權歸2019 IOP Publishing Ltd 所有)Fig.3.(a) iTEBD results for staggered magnetization Mz(g).The blue line and red line represent iTEBD data with and without the four periodic term,respectively.The two curves can be fitted with Mz=0.524(gc1-g)0.126and Mz=0.530(gc2-g)0.128,where gc1=0.1454,gc2=0.1456,and critical exponent δ=1/8 is obtained within error bar for both cases.Inset shows scaling behavior of Mzin log-logplot.(b) Entanglement entropy SEE(l)versus length lin a semi-log plot,both fall into central charge c=1/2of TFIC universality.(c) Spin-spin correlation function versus distance i-jat g=0.1448.Inset shows ln C(i-j)being proportional to i-jin long range region.(d) The inverse of correlation length in terms of g,both agree with correlation length exponent ν=1.(Reprinted with permission from Ref.[35].Cop yright 2019 IOP Publishing Ltd.).

綜上所述,該工作利用iTEBD 數(shù)值算法證明了在帶有交錯橫場的海森伯-伊辛鏈中通過合理調整所加磁場,可以到達伊辛普適類的量子臨界區(qū),從而實現(xiàn)伊辛普適類的物理.而由于BCVO和SCVO 材料均可被海森伯-伊辛鏈所描述[33-37],理論上預期這兩種材料在橫場調節(jié)之下可以實現(xiàn)伊辛普適類.第3節(jié)中將敘述在BCVO和SCVO材料中實驗實現(xiàn)伊辛普適類的一系列工作.實驗測量所得到的BCVO 材料中格林艾森比率的量子臨界行為完美符合了伊辛普適類中該物理量量子臨界行為的理論結果,從而為BCVO 在外加強橫場之下涌現(xiàn)伊辛普適類提供了堅實的判定依據(jù)[33].而利用核磁共振(NMR)實驗輔以數(shù)值算法,通過對SCVO 材料及其有效模型進行研究,我們證實了SCVO 材料在弱橫場下展現(xiàn)了伊辛普適類[34].

3 BCVO和SCVO 材料中的伊辛普適類

利用上述伊辛普適類的相關理論,吳建達及合作者[32-37]對BCVO和SCVO 材料展開測量并證實了這兩類準一維材料在外加橫場之下能夠實現(xiàn)伊辛普適類.BCVO和SCVO 是能被海森伯-伊辛鏈有效描述的準一維反鐵磁材料,在外加磁場下一般性的有效哈密頓量為[43]

其中μB是玻爾磁子,H0為外加磁場,代表g張量:

考慮加橫向磁場H0=H0ex,由于g張量的非對角元,此時在Y軸和Z軸會誘導出垂直于該磁場的有效磁場,因此有[45]

其中

而ξ軸、ψ軸和ζ軸代表將實驗室的XYZ坐標軸繞Y軸轉θ角,繞Z軸轉?角后得到的材料中的局域坐標軸.CoO6的晶格結構、螺旋鏈結構及坐標軸間的關系如圖4所示.

圖4 (a) CoO6八面體的結構;(b) CoO6四周期螺旋鏈的單元結構及局域坐標系ξψζ;(c)局域坐標系ξψζ 與實驗室坐標系XYZ 的關系Fig.4.(a) Structure of CoO6octahedron;(b) a unit structure of CoO6four-period screw chain and the local coordinate ξψζ ;(c) relation between the local coordinate ξψζ and the lab coordinate XYZ.

對于外加磁場沿[110]和[100]兩種情況,?1分別取 0°和45°.以BCVO 為例,若對該材料施加沿[110]的磁場,則gxy=gxz=0,可以避免誘導出有效交錯橫場.在低溫下對該材料進行磁熱效應測量,可以得到隨溫度和橫場變化的格林艾森比率數(shù)據(jù).對該數(shù)據(jù)的標度行為分析完全符合理論上對TFIC 模型格林艾森比率量子臨界行為的預期,從而確認該材料QCP 在=40 T 附近,并在該點附近涌現(xiàn)出伊辛普適類(圖5)[33].

圖5 (a) BCVO 材料在加[110]方向磁場后的相圖,利用從不同起始溫度出發(fā)的絕熱磁熱測量得出.紅色區(qū)域內直到 20 T 處標記了一有限溫的三維序.一維QCP 出現(xiàn)在 =40 T 附近,上方黃色區(qū)域為量子臨界區(qū).(b),(c)以磁場和溫度作為自變量的格林艾森比率實驗數(shù)據(jù).在圖(b)中,大于QCP 時不同溫度的數(shù)據(jù)展現(xiàn)了 ΓB≈(B-)-1 的發(fā)散行為.相對應地,當場強在臨界場強附近時,低溫下格林艾森比率 ΓB(T) 趨于收斂(圖片經(jīng)文獻[33]允許轉載,版權歸2018 American Physical Society 所有)Fig.5.(a) Phase diagram of BCVO material with a transverse field along [110],obtained from adiabatic magnetocaloric-effect measurements starting from different temperatures.Red area labels a finite-temperature three dimensional (3D) order until 20 T.The one dimensional (1D) QCP appears around =40 T,while the yellow area above labels quantum critical region.(b),(c) Experimental data of Grüneisen ratio in terms of magnetic field and temperature.In panel (b) data of different temperature above the QCP shows divergent behavior of ΓB≈(B-)-1.Correspondingly,with the field being around the critical field,Grüneisen ratio converges in low temperature.(Reprinted with permission from Ref.[33].Copyright 2018 American Physical Society).

然而,40 T 左右的量子臨界磁場過于昂貴,難以從此出發(fā)繼續(xù)深入研究與伊辛普適類相關的物理.此后不久,吳建達及合作者[34-37]在對SCVO和BCVO 的進一步研究中發(fā)現(xiàn),沿[100](或[010])方向施加一橫向磁場所誘導出的沿[010](或[100])的有效交錯橫場能極大降低達到QCP 所需要的磁場強度,相關的數(shù)值分析已在2.2節(jié)中提及(圖2)[35].這里介紹吳建達及合作者對施加沿[100]方向磁場的SCVO 材料的伊辛普適類QCP 的實驗進展.此時,該材料的有效哈密頓量為[34]

其中J≈7.5meV,各向異性因子ε=0.47.gx≈2.79為旋磁比率,誘導出的有效交錯橫場Hy≈0.4H,四周期場Hz≈0.14H.利用NMR 實驗可以測量此時的QCP 及其普適類,測量結果見圖6[34].在SCVO 中,沿[100]方向調節(jié)磁場會涌現(xiàn)出兩個QCPs,記為Hc1和Hc2.其中,Hc1≈7.03 T 代表三維序的終點,而Hc2≈7.7 T 對應伊辛普適類的量子臨界點[34].

圖6 外加[100]方向磁場的SCVO 材料相圖.圖中AFM,QCR和QD 分別代表反鐵磁相、量子臨界區(qū)和量子無序區(qū).兩個QCPs分別為 Hc1≈7.03 T和Hc2≈7.7 T.藍色線可以被曲線 ～|Hc2-H| 所擬合,揭示了該QCP 對應伊辛普適類.內嵌圖是兩QCPs 附近擬合曲線的放大 (圖片經(jīng)文獻[34]允許轉載,版權歸2019 American Physical Society 所有)Fig.6.Phase diagram of SCVO with transverse field along[100].The AFM,QCR and QD in the figure corresponds to anti-ferromagnetic phase,quantum critical region and quantum disordered region,respectively.The two QCPs are Hc1≈7.03 T and Hc2≈7.7 T.The blue line can be fitted with ～|Hc2-H|,implying the Ising universality of the 1D QCP.Inset is an enlarged figure of the fitting curves near two QCPs.(Reprinted with permission from Ref.[34].Copyright 2019 American Physical Society).

這篇工作表明,對于能被海森伯-伊辛鏈有效描述的磁性材料而言,若外加橫向磁場時能誘導出新的平面內交錯磁場,這些誘導場能夠有效壓制達到臨界磁場所需要的的場強大小,從而在一個較小的磁場環(huán)境下實現(xiàn)伊辛普適類.

本節(jié)總結了在BCVO和SCVO 中實現(xiàn)伊辛普適類的實驗工作[33,34].在實現(xiàn)伊辛普適類之后,筆者及合作者結合理論工作進展[30,46],推動了量子E8可積模型(以下簡稱E8模型)的物理實現(xiàn).下文將首先介紹與該模型相關的理論背景及研究進展[30,46-50],再詳細描述理論及實驗共同合作促成的該奇異模型在BCVO 材料中的實現(xiàn).

4 量子E8可積模型

1990 年前后,Zamolodchikov[23]和Fateev 等[24]證明了對應于某一特定中心荷的CFT,若它被一相關元場所微擾,該CFT 對應的哈密頓量會成為能夠被例外李代數(shù)所描述的可積模型[16,27-31].特別地,對于中心荷c=1-6/[p(p+1)]的CFT 哈密頓量Hp,其被相關元場Φp微擾的哈密頓量為

當p=6,4,3時,該微擾哈密頓量可以分別被E6,E7,E8例外李代數(shù)所描述,對應的系統(tǒng)分別包含有6,7,8種準粒子激發(fā)[24,51-57].在QCP處,TFIC模型是中心荷c=1/2 的CFT[3],在標度極限下,自旋密度算符為相關元場[30,31],在其微擾下的哈密頓量

成為一個激發(fā)譜能夠被E8例外李代數(shù)所描述的量子可積模型[16,27-38],其對應的格點模型為被一縱向磁場所微擾的QCP 處(g=gc=1)的TFIC 模型[30,36,37]:

E8模型包含有8 種不同的準粒子激發(fā).其中最輕的準粒子質量m1=Ch8/15,C=4.4049···[58].而次輕準粒子質量m2與m1滿足黃金分割,即m2=2 cos(π/5)m1≈1.618m1.其他準粒子的質量都可以通 過m1及m2精確地得到.E8模型相圖如圖7所示.該相圖給出了E8準粒子激發(fā)與伊辛普適類的聯(lián)系:在TFIC 模型的伊辛普適類處,QCP 附近的物理可以用中心荷 1/2 的共形場論描述.此時縱向磁場的微擾提供了一個微弱的禁閉效應,引起一系列完美共振的介子態(tài),從而產生8 種E8模型的準粒子激發(fā)[59,60].因此縱向磁場較小的區(qū)間正是可以涌現(xiàn)出量子E8模型的區(qū)間,如圖7中藍色區(qū)域所示.而這些準粒子間的精確質量關系亦見于圖7.

圖7 E8模型相圖.圖中藍色實線代表了 E8模型涌現(xiàn)的區(qū)域,其中 g和hz分別對應于橫場參數(shù) g和方程(17)中的hz.其余E8準粒子的質量和m1和m2的關系列于右上,其中 m1為最輕準粒子的質量Fig.7.A phase diagram of E8 model.The blue solid line in the figure implies region of E8 model emerging,whereg and hzcorrespond to transverse parameter gand hz in Eq.(17) respectively.Relations of other E8 particles'masses to m1 and m2 are listed in the top right-hand corner,where m1 is mass of the lightest particle.

關于FF 的一般性討論可參考文獻[30,31,61-64].而對于E8模型FF 的求解則可見于文獻[30,47],這里不再贅述.

在方程(20)中,通過引入不同粒子數(shù)態(tài),依粒子數(shù)的不同,總體的貢獻可分解為不同的通道,即單粒子通道、兩粒子通道、三粒子通道和四粒子通道[30].由于質量最大的E8粒子的質量約在 4.8m1左右,而計算表明隨著能量增加譜權重急劇衰減,因此選取DSF直至ω=5m1.以Dyy(ω)為例,其DSF 譜如圖8所示.這一解析計算的結果展示了豐富的物理:首先,對于單粒子通道,所有的譜均為共振峰,位置分別對應了E8模型中8 種準粒子的質量.隨著能量的增大共振峰的強度不斷衰減.這是由于在粒子質量增大的同時,單粒子形式因子的絕對數(shù)值也在不斷減小,而單粒子通道的譜權重的峰值正比于|F|2/m,因此質量越大的單粒子對應的峰值越小.其次,對于兩粒子通道,含不同類型粒子a和b的通道譜存在譜邊發(fā)散行為,位于這兩粒子的質量之和邊界ω0=ma+mb處.這是由兩粒子態(tài)密度的發(fā)散行為所導致的,即范·霍夫奇性 (Van Hove’s singularity)[30].兩相同類型的粒子組合卻不存在這種發(fā)散行為,這是由于它們的FF 特殊結構恰好能夠消除由態(tài)密度導致的發(fā)散.最后,三粒子和四粒子通道的譜貢獻不存在上述的發(fā)散行為,且二者行為相似,貢獻都比較小.這是由于隨著引入粒子數(shù)的增多,FF的絕對大小在不斷衰減,同時由于相空間的增大,奇性行為被消去.從圖8的解析數(shù)據(jù)可以預期,隨著能量的不斷升高,高能區(qū)的DSF 譜會不斷衰減,其行為相對來說較為平凡.將解析計算得出的DSF譜線以實驗測量的能量分辨率作展寬后[30],便可以與實驗進行對比以驗證具體材料中是否實現(xiàn)E8模型.

圖8 Dyy(ω)的解析計算結果 (a)單粒子通道的譜權重貢獻,8 個峰的位置依次對應 E8模型8 種粒子的質量,其中 m1=1 ;(b)—(d)二粒子、三粒子和四粒子通道的譜權重貢獻,圖中分別標出了譜線和峰的具體貢獻來源(圖片經(jīng)文獻[30]允許轉載,版權歸2021 American Physical Society 所有)Fig.8.(a) Spectrum contribution from single particle channel,the eight delta peaks one-by-one correspond to the masses of the eight particles in the quantum E8 model with m1=1 ;(b)—(d) contributions from two,three and four particle channels.The detailed contributions of different peaks and curves are highlighted in the sub-figures.(Reprinted with permission from Ref.[30].Copyright 2021 American Physical Society).

5 BCVO 材料中的E8激發(fā)

2010 年,牛津大學的Coldea 實驗組[65]利用非彈性中子散射技術(inelastic neutron scattering,INS)對準一維磁性材料CoNb2O6展開了自旋動力學譜的測量.其測量結果提供了量子E8模型可在材料中實現(xiàn)的初步實驗證據(jù),這體現(xiàn)在質量最輕的兩個粒子質量比滿足黃金分割.然而,受限于實驗分辨率,其測量結果未能得到較為精確的連續(xù)譜,無法就連續(xù)譜區(qū)域的相關的E8物理做出有效的比對,從而未能就該材料是否能完整實現(xiàn)量子E8模型給出確定性的回答.之后,2020 年對該材料的太赫茲 (THz) 譜測量[66]得到了詳細且精確的連續(xù)譜,實驗所展示的連續(xù)譜區(qū)域特征和解析上得到的E8譜存有明顯的偏差,因此該材料是否能實現(xiàn)量子E8模型有待進一步深入仔細的研究[67,68].接下來聚焦于 BCVO 材料中實現(xiàn)量子E8模型的工作.

前文所述的E8模型對應的格點模型為鐵磁相互作用,而若想在反鐵磁相互作用下實現(xiàn)E8模型,需要將方程(17)中的縱場轉為交錯縱場,這在凝聚態(tài)系統(tǒng)實驗中幾乎不可能通過外加手段實現(xiàn),因此只能另辟蹊徑.考慮沿[010]方向的外加磁場,材料的有效哈密頓量為[34-37]

圖9 (a) BCVO 的晶格結構.(b) 加沿[010]方向磁場后BCVO 的相圖,QCP 為 ,隱藏在三維序中,其一維量子臨界行為可在三維序外測得.棕色圓圈代表由NMR 實驗測出的尼爾(Néel)溫度 TN.=(10.4±0.1)T,=(4.7±0.3)T.E8模型在藍色緞帶區(qū)涌現(xiàn).(c) 8 種 E8粒子的質量以 m1為單位沿能量軸分布(圖片經(jīng)文獻[37]允許轉載,版權歸2021 American Physical Society 所有)Fig.9.(a) Crystal structure of BCVO.(b) Phase diagram of BCVO with a transverse field along [010]direction.QCP is at ,hidden in the 3D order.Its quantum criticality can be measured outside the 3D ordering phase.Brown circles represent for Néel temperature TN measured by NMR experiments.=(10.4±0.1)T, =(4.7±0.3)T.E8 model emerges in the blue ribbon area.(c) Masses of eight E8 particles along energy axis in unit of m1.(Reprinted with permission from Ref.[37].Copyright 2021 American Physical Society).

圖10 三維反鐵磁序外NMR 實驗測量結果 (a) 在不同橫場下測得自旋-晶格弛豫率 1/T1關于溫度的函數(shù).下箭頭標記出決定TN的 1/T1的峰.(b)擬合 1/T1得到能隙,溫度區(qū)間為6—12 K.具體細節(jié)見文獻[37].QCP 位于 (4.7±0.3) T.內嵌圖是對數(shù)坐標下放大的低溫區(qū)數(shù)據(jù).灰色直線區(qū)域內的量子臨界行為可以擬合為 1/T1～T-0.75 (圖片經(jīng)文獻[37]允許轉載,版權歸2021 American Physical Society 所有)Fig.10.NMR experiment result outside the 3D anti-ferromagnetic ordering phase.(a) Spin-lattice relaxation rate 1/T1 with different transverse fields as a function of temperature.The down arrows label 1/T1 peaks that determining TN.(b) Energy gap by fitting 1/T1,with temperature being from 6 K to 12 K.The details can be found in Ref.[37].QCP is at (4.7±0.3) T.Inset:a log-logplot of enlarged data in low-temperature region.The quantum critical behavior around the gray line area can be fitted by 1/T1～T-0.75.(Reprinted with permission from Ref.[37].Copyright 2021 American Physical Society).

圖11 (a) Q=(002)QCP 處INS 測量數(shù)據(jù),場強 H=4.7T,溫度 0.4 K.藍色方塊及誤差棒為實驗測量數(shù)據(jù),黑線是高斯函數(shù)的擬合.紅色豎線對應于8 種 E8模型的粒子.其他的峰來自于多粒子通道的連續(xù)譜貢獻以及布里淵區(qū)折疊效應(標記于 F1和F2處).(b) 解析計算的 Dxx(ω),數(shù)據(jù)經(jīng)過 0.08m1洛倫茲展寬.m1=1.2 meV.紅色線和黑色線分別代表單粒子激發(fā)貢獻及引入多粒子激發(fā)貢獻的總和.(c) iTEBD 數(shù)值計算有效模型在轉移動量 q=0 處的激發(fā)譜,其中藍線和黑線代表不包含及包含折疊效應的數(shù)據(jù).(d)—(g) 單粒子到四粒子激發(fā)通道的貢獻,ijkl代表激發(fā)來自于 mimjmkml 通道(圖片經(jīng)文獻[37]允許轉載,版權歸2021 American Physical Society 所有)Fig.11.(a) INS data obtained from Q=(002)at QCP with H=4.7T,temperature 0.4 K.The blue diamonds with error bars are experimental data,the black curve is fitted with Gaussian functions.The red vertical lines correspond to eight particles ofE8model.Other peaks are contributed from multi-particle channels and zone-folding effect (labelled at F1 and F2).(b) Analytical result of Dxx(ω)with a 0.08m1 Lorentzian boradening.m1=1.2 meV.Red curve and black curve are single particle spectrum and total spectrum including multi-particle excitations respectively.(c) Effective model spectrum of iTEBD calculation at q=0,where blue curve and black curve are results of without and with zone-folding effect.(d)—(g) single particle-four particle excited channels' contributions,where ijklrepresents for mimjmkml channel.(Reprinted with permission from Ref.[37].Copyright 2021 American Physical Society).

6 結論

本文綜述了在BCVO和SCVO 材料中首次發(fā)現(xiàn)伊辛普適類并在BCVO 材料中首次實現(xiàn)E8模型激發(fā)的研究進展.敘述了便于判斷伊辛普適類的格林艾森比率的奇異量子臨界行為.隨后介紹了橫場海森伯-伊辛鏈并敘述了數(shù)值驗證其具有伊辛普適類的理論進展.通過將數(shù)值方法和實驗相結合,確認了BCVO和SCVO 材料在外加橫場之下會涌現(xiàn)出伊辛普適類.在此基礎上,介紹了E8模型主要的理論進展及在理論與實驗的共同推動下于BCVO 材料中實現(xiàn)E8模型的一系列工作.

這些研究進展充分展示了普適類的強大力量,其所蘊含的迷人的物理現(xiàn)象持續(xù)吸引著人們對量子臨界物理及相關普適類物理的進一步的探索[2].我們期待未來通過更多的凝聚態(tài)理論和實驗物理學家的合作,能在實際材料中實現(xiàn)更多非平凡的普適類,并能通過深入研究這些奇異系統(tǒng)中的非平凡物理激發(fā),最終實現(xiàn)物理操縱這些奇異的激發(fā)并期望能夠服務于新穎量子器件的設計與開發(fā).