非厄米局域拓撲指標的動力學特性*

孫孔浩 易為

(中國科學技術大學,中國科學院量子信息重點實驗室,合肥 230026)

非厄米拓撲系統的拓撲不變量可以由定義在雙正交基下的局域拓撲指標刻畫.不同于厄米體系,非厄米局域拓撲指標在動力學過程中的傳播和演化目前還未見文獻討論.本文研究非厄米拓撲體系局域拓撲指標的動力學特性,重點關注淬火過程中,局域拓撲指標由邊界向體內的傳播.結果表明,當淬火前后的體系拓撲性質不同時,系統中存在局域拓撲指標的流動,其流速與體系群速度相關,但具體形式與相應厄米體系不同.以3 個具體模型為例,通過數值計算說明了這一結論.其中,對于特定具有非厄米趨膚效應的模型,可以發現局域拓撲指標的流速上限與廣義布里淵區中的群速度直接相關.但這一關系在其他非厄米模型中則需要修正,其更普適的形式有待進一步研究.本文的結果揭示了非厄米體系中局域拓撲指標傳播的復雜性,是進一步理解非厄米局域拓撲指標動力學行為的基礎.

1 引言

非厄米拓撲體系是近年來凝聚態及量子模擬領域的研究熱點之一[1-6].非厄米拓撲模型脫胎于開放系統[7,8],其性質與封閉系統厄米模型多有不同.其中尤為典型的例子是具有非厄米趨膚效應的拓撲模型[9-21].在開邊界條件下,該類體系的本征態波函數局域在邊界上,并在實空間呈能態依賴的指數分布;同時體系本征能譜在復平面上的分布受邊界條件影響.與此對應,在具有非厄米趨膚效應的拓撲體系中,傳統的體邊對應關系失效—定義于周期邊界布里淵區上的拓撲不變量不再能準確預測開邊界下的拓撲邊緣態.為解釋這一現象,非布洛赫能帶論應運而生[9,10,14].根據該理論,非厄米拓撲系統在開邊界條件下的性質應由計入了非厄米趨膚效應的廣義布里淵區決定,而在廣義布里淵區上定義的非布洛赫拓撲不變量則保證了體邊對應關系在非厄米系統中仍然成立.目前,非厄米趨膚效應及非厄米能帶論在一系列經典或量子的人工拓撲體系中被相繼觀測證實[22-25].同時,研究者發現,非布洛赫能帶論及廣義布里淵區也在非布洛赫宇稱-時間對稱性及非布洛赫淬火動力學等方面有重要應用[26-30].

另一方面,人們發現不論非厄米體系是否具有趨膚效應,其拓撲不變量均可通過定義在雙正交基下的局域拓撲指標刻畫[31,32],而后者可以通過動力學過程中的可觀測量在實驗上進行觀測[30].對局域拓撲指標的研究起源于厄米拓撲體系[33-36].在這些模型中,雖然體系具有能帶拓撲及拓撲保護的邊緣態等全局特性,定義在體態上的局域拓撲指標卻是量子化的,能反映體系的全局拓撲特性,并在拓撲相變附近呈現特定的標度行為.更進一步,文獻[34]通過對厄米體系淬火動力學的研究,發現了動力學過程中局域拓撲指標在體系內部的傳播規律.例如,當體系從拓撲非平庸的初態出發,由拓撲平庸的哈密頓量驅動進行時間演化時,初始體系內部量子化的局域拓撲指標在一定時間后會受到始于邊界的局域拓撲指標流影響,在某弛豫時間t*后明顯偏離量子化取值.通過對該弛豫時間t*進行分析,研究者發現局域拓撲指標在淬火過程中的傳播速度與體系群速度相關.這揭示了局域拓撲指標在厄米拓撲體系非平衡動力學過程中的普適行為,具有重要意義.與此對應,非厄密拓撲體系的局域拓撲指標是否具有類似的行為,還未見研究報道.

在這一背景下,本文研究非厄米拓撲模型的局域拓撲指標在淬火過程中的動力學行為.首先驗證說明了定義在雙正交基下的局域拓撲指標可以有效刻畫對應非厄米體系的全局拓撲性質,并在拓撲相邊界附近呈現普適的臨界行為.對于淬火動力學,考慮初態為某初始哈密頓量Hi的本征態,在末態哈密頓量Hf的驅動下做時間演化.一般而言,Hi和Hf參數不同,且處于不同拓撲相區.以幾個具體的非厄米拓撲模型為例,計算了淬火動力學演化過程中,非厄米局域拓撲指標的演化,并通過擬合確定了局域拓撲指標從邊界向體系內部傳播的速度.對于本文考察的具有非厄米趨膚效應的模型,可以發現該傳播速度與定義在廣義布里淵區中的群速度相關,而與定義于一般布里淵區的群速度無關.然而,對于一般性的非厄米模型,該結論并不普遍成立.一般說來,在非厄米體系中局域拓撲指標的傳播速度與群速度相關,但二者之間的關系是否普適則需要進一步研究.

下面首先以一解析可解的非厄米拓撲模型為例,說明非厄米局域拓撲指標對非厄米拓撲模型的適用性及其臨界行為.然后討論該模型的淬火動力學過程中,局域拓撲指標的演化及傳播速度.最后,通過對其他具體非厄米拓撲模型淬火動力學的計算,對局域拓撲指標傳播速度的一般性規律進行討論.

2 非厄米局域拓撲指標

為說明非厄米局域拓撲指標的特性,考慮二維正方晶格上的非厄米哈密頓量

圖1 非厄米局域拓撲指標的標度行為.系統中心的非厄米局域拓撲指標隨著 m 的變化遵循的標度行 為.在 L 分別取 15,17,19,21,23,25,27等值時(對 應于圖中不同顏色的曲線),所有曲線經變換后遵循同一函數形式,經擬合得到 ν≈1.1259.在本文的數值計算中,取t1=1,γx=γy=0.3Fig.1.Scaling behavior of the non-Hermitian local topological marker near the topological phase transition.The numerically calculated local topological markers for different system sizes (L=15,17,19,21,23,25,27) collapse to the same curve,with the functional formand ν≈1.12(6).For all calculations,we take t1=1 ,γx=γy=0.3.

3 非厄米局域拓撲指標的動力學行為

考慮(1)式哈密頓量的淬火過程中,非厄米局域拓撲指標的動力學行為.設初始時刻體系由哈密頓量Hi(t1,m) 描述,且其下能帶被完全占據.在此后的時間演化中,哈密頓量變為,則相應投影算符均隨時演化,從而導致非厄米局域拓撲指標的演化.對于厄米拓撲體系,研究者發現,當初末哈密頓量拓撲性質不同時,具有開放邊界的體系在淬火過程中會出現局域拓撲指標的流動,其流速與群速度相關[34].這里我們關心的第一個問題是,在具有非厄米趨膚效應的非厄米拓撲體系中,是否有類似的結論.

如圖2所示,數值計算了L=23 的開邊界二維晶格體系中,各格點的非厄米局域拓撲指標在不同時刻的行為.選擇的初始哈密頓量處于拓撲非平庸區間(C=-1),末態哈密頓量處于拓撲平庸區間(C=0).在t=0時刻,局域拓撲指標C在體系中心取-1,而在邊界上取正值,這是因為局域拓撲指標對格點求和應該始終得 0.而在t ＞0 時刻,局域拓撲指標開始從邊界向體內流動(見圖2(a)),系統中心處的局域拓撲指標會在某個特征時間t*后明顯偏離其量子化取值.由t*與系統尺寸的線性關系,可以定義并計算局域拓撲指標的的傳播速度.在具體數值計算中,取時間演化的步長為0.02(這里時間單位為 1/t1),定義t*為體系中心處局域拓撲指標對時間的差分首次超過閾值的時間.數值上,取閾值為 10-3.在得到不同系統尺寸下的t*后,通過線性擬合,得到局域拓撲指標的傳播速度vlcm.由圖2(b)可以看出,在該模型下,非厄米局域拓撲指標的傳播速度與廣義布里淵區下得到的最大值相符(黃線),而與周期邊界下布里淵區里計算的群速度(紅星)不同.這里廣義布里淵區上的群速度定義為相應地,一般布里淵區上的群速度定義為vix=Re(?Ei(k)/?kx).這似乎意味著只需要利用非布洛赫能帶論便可解釋及預言非厄米拓撲體系淬火過程中局域拓撲指標流的動力學演化.

圖2 非厄米局域拓撲指標的傳播速度 (a) 淬火過程中系統中心格點處的非厄米局域拓撲指標的時間演化.系統尺寸為L=23,取開邊界.初始時H(t1=1,m=1)處于拓撲非平庸相,淬火后H(1,m′=6)處于拓撲平庸相,淬火前后 γx=γy=0.3.這里只考慮 x 方向的動力學演化,y 方向的演化有類似性質.(b) 非厄米局域拓撲指標的傳播速度隨末態哈密頓量參數的變化.淬火參數與圖(a)相同.分別數值模擬了體系大小為L=11,15,19,23,27時的淬火過程,并通過線性擬合 t* 與 L 的關系,數值得到了局域拓撲指標的傳播速度Fig.2.Dynamics of the non-Hermitian local topological marker.(a) Spatial distribution (along the x -direction) of the non-Hermitian local topological marker at different times of the quench dynamics.The parameters are: L=23,Hi(t1=1,m=1),Hf(=1,m′=6),γx=γy=0.3.(b) Propagation speed of the local topological marker as a function of .Other parameters are the same as those in panel (a).

4 其他非厄米拓撲系統的局域拓撲指標流

為驗證上述結論的普適性,本節考察其他非厄米拓撲模型的淬火過程.首先考慮如下具有非厄米趨膚效應的非厄米Qi-Wu-Zhang 模型:

圖3 模型(5)的非厄米局域拓撲指標的傳播速度隨的變化.初始時,tx=ty=1,m=1;淬火后,==,m′=6.淬火前后γx=γy=γ=0.35Fig.3.Propagation speed of the non-Hermitian local topological marker for Hamiltonian (5).We fix γx=γy=γ=0.35,and the pre-and post-quench parameters aretx=ty=1,m=1and ==,m′=6,respectively.

最后考慮如下非厄米模型:

與前面討論的兩個模型不同,哈密頓量(8)不具有非厄米趨膚效應.如圖4所示,在該模型淬火過程中,局域拓撲指標的傳播速度要大于定義在一般布里淵區的群速度.但不同于模型(5)的指數加速,數值上看,局域拓撲指標傳播速度與max|v1x(k)-v2x(k)|相比,相差一個常數.

圖4 模型(8)的非厄米局域拓撲指標的傳播速度隨的變化.初始時,tx=ty=1,m=1;淬火后,==,m′=6.淬火前后γ=0.3Fig.4.Propagation speed of the non-Hermitian local topological marker for Hamiltonian (8).We fix γ=0.3,and the pre-and post-quench parameters aretx=ty=1,m=1 and ==m′=6,respectively.

5 總結與展望

本文研究了非厄米拓撲模型中非厄米局域拓撲指標的性質.首先刻畫了非厄米局域拓撲指標在非厄米拓撲相變附近的臨界行為,數值確定了其臨界系數.然后考察了3 個不同非厄米拓撲模型的動力學淬火過程,計算了非厄米局域拓撲指標的傳播速度.與厄米拓撲體系類似,當淬火前后的體系拓撲性質不同時,系統的淬火過程中存在局域拓撲指標的流動.發現局域拓撲指標的傳播速度與體系群速度相關,但其關系并不普適.具體而言,對于本文考察的3 個模型,局域拓撲指標的傳播速度或與定義于廣義布里淵區上的群速度直接相關,或與群速度差一個指數因子,或差一常數.本文的結果揭示了非厄米體系中局域拓撲指標傳播的復雜性,為進一步理解非厄米局域拓撲指標的動力學行為打下了基礎.

局域拓撲指標傳播速度的非普適行為或與不同模型中非厄米性出現的不同形式有關.具體而言,在本文的3 個非厄米模型中,唯有第一個模型在開邊界時具有純實數本征能譜.因此,一個合理的猜想是,局域拓撲指標的傳播速度能否由廣義布里淵區上的群速度刻畫,與體系在開邊界下本征能譜的虛實有關.在今后的研究中,我們將進一步考察這一猜想的正確性.同時,為進一步理解非厄米局域拓撲指標的傳播,可以研究由主方程描述的開放體系動力學過程中局域拓撲指標的演化.基于非厄米模型與開放體系的密切關系,期望通過這一角度,更徹底地理解非厄米局域拓撲指標的非普適傳播行為.