基于DNA 編碼與交替量子隨機行走的彩色圖像加密算法*

王一諾 宋昭陽 馬玉林 華南 馬鴻洋

1) (青島理工大學理學院,青島 266520)

2) (青島理工大學信息與控制工程學院,青島 266520)

近年來,圖像加密技術備受關注.隨著人們對通信隱私及網絡安全重視程度的提高,對信息加密技術的要求更加嚴格,圖像作為信息的載體之一,因攜帶信息的有效性和生動性而受到重視.本文提出一種基于DNA 編碼與交替量子隨機行走的彩色圖像加密算法.量子隨機行走作為出色的密碼學工具參與算法流程中各個部分,DNA 編碼作為核心加密方式完成算法.本文詳細描述加密、解密流程,并對所提出算法進行仿真實驗驗證與結果分析.仿真階段設計模擬密鑰參數,編碼進行彩色圖像加密、解密實驗,并進行了相關分析.實驗結果表明,本文提出的彩色圖像加密算法能夠進行安全有效的彩色圖像加密,且相關分析表示其加密后圖像直方圖平穩、像素相關性系數趨近于0、密鑰空間 2128,三通道信息熵達到7.997 以上,能夠抵御統計攻擊、窮舉攻擊等攻擊手段.此外,DNA 編碼除新穎的編碼及運算方式之外還有其獨特的生物學特性,為密碼學的研究提供了新的思路與方向.

1 引言

通信領域與計算機網絡技術飛速發展,人們生活、工作越來越依賴于此的當下,信息傳遞的安全性問題成為了被社會各界廣泛關注的焦點.由于互聯網是一個開放與共享的社區,這在一定程度上方便了信息交互,同時使得信息安全性保障成為亟待解決的難題.信息又分多個種類,其中圖像信息因其生動形象的特性被人們廣泛應用.本文正式基于上述事實提出的基于量子隨機行走與DNA 編碼技術結合的彩色圖像加密算法,以期提高圖像信息傳遞安全性.

量子算法[1-5]及相關應用在通信[6-11]等各領域[12-16]受到關注,在圖像處理中更是得到重視[17-20].其運算速度[21,22]、安全性[23,24]等方面相較于經典算法具有顯著優勢.量子隨機行走作為量子算法的重要工具參與算法流程各個步驟.1993 年,以色列物理學家Aharonov 等[25]提出量子隨機行走為經典隨機行走在量子力學中的對應概念.隨著研究的推進,其概念被細分為連續時間量子隨機行走和離散時間量子隨機行走,二者分別為1998 年美國MIT 的Farhi和日本東北大學的Gutmann[26]提出,2001 年加拿大滑鐵盧大學的Watrous[27]由經典隨機行走直接量子化得到的.其中,離散時間量子隨機行走因具有混沌動力學行為而被應用于量子及經典密碼學系統中[28-32].滑鐵盧大學的Chris和Zhan[33]在2019 年以組合方法構建的3 個離散時間量子行走模型為我們提供了研究思路;Abd-El-Atty 等[34]2021 年研究發表的基于量子隨機行走的光學圖像加密算法為本文提供了研究方向及重要參考.本文研究以離散時間交替量子隨機行走構建的隨機概率分布矩陣作為加密工具,多次參與圖像加密過程的彩色圖像加密算法.

DNA 編碼因具有存儲量大、并行處理能力強等諸多良好特性而受到研究人員的關注.相比于基于數學問題的傳統密碼學,DNA 密碼不僅立足于數學問題,同時也依賴于生物技術,這使得DNA密碼更加難以破譯,具有更高的安全性.1994 年,Adleman[35]進行了世界上第一個DNA 計算實驗并在《科學》雜志上發表了相關成果,這一成果揭示了DNA 分子除其穩定的遺傳特性外還具有計算能力,自此開辟了一個新的信息時代.隨著研究的深入,新的以DNA 為信息載體的密碼學領域應運而生.2000 年,Leier 等[36]基于DNA 雙鏈設計了兩種密碼學方法;2003 年,Chen[37]提出了基于碳納米管的消息轉換和DNA 的分子密碼學系統;2005 年,Chang 等[38]提出了3 種基于DNA 的并行減法器,正式驗證了兩個大質數的乘積能夠被分解;2007 年,Lu 等[39]通過將現代DNA 生物技術微陣列應用于密碼技術,設計出對稱密鑰密碼系統;在Lu 等研究成果的基礎上,2010 年,Lai 等[40]進一步提出了一種非對稱加密和簽名密碼系統DNA-PKC;2012 年,Wei 等[41]提出基于DNA 序列操作和超混沌系統的彩色圖像加密算法;2017 年,Niu 等[42]提出基于超混沌映射和核苷酸序列數據庫的圖像加密算法.通過前人對DNA 密碼學[43-45]的研究以及其在圖像加密方面[46-48]的應用,已構建了基本的DNA 密碼學邏輯結構,為本文的研究提供了基礎.

本文第2節介紹背景知識以及描述為完成提出算法進行的相關工作;算法的具體實現過程在第3節進行詳細描述,包括了加密以及解密步驟;隨后在第4節中附上了仿真結果,對提出的算法進行了性能分析.

2 相關工作

2.1 量子隨機行走

量子隨機行走包括連續時間量子隨機行走和離散時間量子隨機行走兩個部分,本文提出的工作以離散時間量子隨機行走為工具進行開展.離散時間量子隨機行走主要包含4 個要素:行走者、行走者攜帶的硬幣、硬幣拋擲方式以及行走規則.本文應用離散時間交替量子隨機行走(如圖1所示).

圖1 雙方向格點上交替量子隨機行走Fig.1.Alternating quantum random walking on the bidirectional grid.

量子隨機行走由兩部分構成,即行走者位置空間Hw和硬幣空間Hc二者共同構成量子隨機行走體系的希爾伯特空間H=Hw?Hc.在量子隨機行走過程中,每一步的行走選擇相同的硬幣拋擲算符

特別地,當θ=π/4 時,

硬幣的拋擲完成后,行走者的動態由條件位移算符Si規定:

其中|x〉(x ∈Z) 為構成行走者位置空間的基矢;兩個基矢|c〉(c=0,1) 線性組合構成硬幣空間.(3)式可以描述為:當硬幣態為|0〉時,操控行走者右移一個單位;當硬幣態為|1〉時,操控行走者左移一個單位.

在本文用到的交替量子隨機行走中,行走者在x,y兩個方向上交替進行行走,則整個量子隨機行走過程中的行走算符可描述為

假設初始時刻行走者所在位置為 (0x,0y),硬幣處于疊加態Hc=cosα|0〉+sinα|1〉,則初始時刻系統狀態為

量子隨機行走進行T步后系統狀態為

2.2 DNA 編碼

在過去的研究中,專家學者們已經構建了一套基本的DNA 編碼結構.從生物模型出發,DNA 序列由以下4 個核酸堿基組成:A (腺嘌呤),G (鳥嘌呤),C (胞嘧啶),T (胸腺嘧啶).其中,A 與T 互補,C 與G 互補.將以上的限制寫入編碼規則,分別用2 位二進制數對每個核酸堿基進行編碼得到8 種符合生物模型規則的編碼方案,如表1所列.

表18 種DNA 編碼方案Table 1.Eight DNA coding schemes.

本文使用表1所述DNA 編碼規則對彩色圖像進行編碼.首先將彩色圖像拆分為R,G,B 3 個色彩通道,隨即將每個通道編碼為一個二進制矩陣,對于單個通道的8 位二進制矩陣可用4 位DNA 序列對其矩陣各數據進行編碼.例如:紅色通道第一位像素值為157,將其轉換為二進制序列得到10011101;對此二進制序列使用表1中方案1 進行編碼則可得到長度為4 的DNA 序列——CGTG.而對應相同的二進制序列可以選擇不同的方案進行加密,如對應上述二進制序列,選擇方案5 對其進行編碼則得到的DNA 序列為ATGT.而在解碼時,若選擇加密方案對DNA 序列進行解碼則會得到原二進制數據,例如對方案1 生成的DNA 序列CGTG 使用方案1 進行解密則可得到10011101,為原始二進制序列;而當使用方案1 外的任意方案,例如使用方案4 對其解碼,此時對DNA 序列CGTG 進行解碼得到的二進制序列為00111011 與原二進制不同.因此無法確定加密以及解密的DNA 編碼方案,就無法得知原始二進制序列,這是使用DNA 編碼加密的手段之一.

基于以上8 種編碼方案,根據二進制傳統加減法可以獲得對應的8 種DNA 序列的加減法方案,在此使用編碼方案1 對應的加、減法方案1 進行舉例,具體如表2所列.

表2 DNA 編碼方案1 對應的加法方案1Table 2.Addition plan 1 corresponding to DNA coding plan 1.

從表2和表3可以看出,相同DNA 編碼對應的加、減法結果是唯一對應的,因此可以利用其加減規則對圖像進行加密.

表3 DNA 編碼方案1 對應的減法方案1Table 3.DNA coding scheme 1 corresponding to subtraction scheme 1.

3 算法提出

本文提出的加密算法主要由以下幾部分組成:1)通過改變參數(N,T,α(硬幣算符初態參數)、β(硬幣算符拋擲參數))的大小控制交替量子隨機行走產生與所需加密圖像對應的隨機概率分布矩陣;2)通過將量子隨機行走與DNA 編碼以及DNA 運算相結合的方式完成對原圖像的置亂加密;3)異或操作完成進一步加密.下面展示具體算法.

3.1 加密過程

第一步:將彩色圖像(m,n,3)拆分為3 個彩色通道矩陣:R(m,n),G(m,n),B（m,n）,并將R,G,B 3 通道矩陣分別轉換為二進制矩陣R1,G1,B1,然后執行DNA 編碼規則中的a方案(a ∈Z,(1,8))對3 個二進制矩陣進行編碼,得到3 個大小為（m,n× 4）的矩陣.

以下為加密步驟一對應算法1 偽代碼.

算法1圖片三通道矩陣進行DNA 編碼

輸入圖片DNA 編碼規則

輸出經過DNA 編碼后的圖片三通道矩陣

第二步:利用交替量子隨機行走,通過設置其關鍵參數:(N1,T1,α,β)生成隨機概率分布矩陣P（稱作密鑰矩陣）,并將其調整為加密圖像的大小得到P1:

將得到的隨機概率分布矩陣P1中各元素按照k=fix(ReP1×1012)mod256轉換為0—255之間的十進制整數,進而轉換為8 位二進制矩陣P2.

以下為加密步驟二對應算法2 偽代碼.

算法2生成量子隨機行走概率矩陣

輸入量子隨機行走概率矩陣的關鍵參數DNA 編碼規則

輸出經過DNA 編碼后的量子隨機行走概率矩陣

第三步:將密鑰矩陣中元素按降序排列獲得向量V,利用向量W檢索向量V中P1元素形成索引;利用索引向量W完成對矩陣R1,G1,B1的置亂重排生成(m,n× 4)的矩陣R2,G2,B2.

以下為加密步驟三對應算法3 偽代碼.

算法3圖像時域置亂

輸入量子隨機行走概率矩陣 newImage

輸出時域置亂后的圖像

第四步:將矩陣P2使用與矩陣R1,G1,B1相同的DNA 編碼方案a進行編碼,得到矩陣P3,隨后使矩陣R2,G2,B2分別與矩陣P3進行方案a的加法,得到矩陣R3,G3,B3,即:

接著,使用DNA 編碼規則中的方案b(b ∈Z,(1,8),b/a)對矩陣R3,G3,B3進行解碼操作,得到3 個二進制矩陣:R4,G4,B4.

以下為加密步驟四對應算法4 偽代碼.

算法4QWPmatrix 與newImage 的DNA 加法

輸入QWPmatrix newImage

輸出經過DNA 加法處理后的矩陣

第五步:將矩陣R4,G4,B4分別與P2中對應元素進行按位異或運算得到矩陣R5,G5,B5,將三通道加密完成后的矩陣R5,G5,B5組合獲得加密后的彩色圖像E.

以上算法流程圖見圖2.

圖2 算法流程圖Fig.2.Algorithm flowchart.

3.2 解密過程

解密過程可視作加密過程的逆過程,其步驟可簡述為以下4 步.

第一步:使用與加密過程相同的參數進行離散時間交替量子隨機行走,生成隨機概率矩陣P′,隨后對P′元素進行降序排列生成向量V′,因參數相同,所以有V′=V,P′=P;使用向量W′對向量V′中的元素進行檢索索引;

第二步:將加密后的彩色圖像E拆分為3 個色彩通道矩陣:R′,G′,B′,并進一步轉換為8 位二進制矩陣同時將P′中各元素轉換為0—255 之間的十進制整數,隨后轉換為8 位二進制數,獲得的矩陣K′進行按位異或運算得到矩陣

4 仿真結果與分析

為驗證所提算法的有效性與安全性,本文進行算法實驗仿真,對像素大小290× 290 的3 張彩色圖片進行算法所述的加密以及解密操作,效果見圖3,并對加密前后圖像進行像素相關性分析、直方圖分析、密鑰空間等安全性分析.

圖3 加密算法仿真效果圖Fig.3.Encryption algorithm simulation renderings.

4.1 實驗仿真

為驗證本文所提方法的有效性,進行了相關仿真實驗.實驗應用了如下3 個290× 290 像素的彩色圖像,在量子漫步部分選取N=500 ,在DNA 加密與加法計算部分選用了表1中編號1 的編碼方式與編號3 的解碼方式,進行表2和表3所示的運算.仿真結果與具體分析如下.

4.2 相關分析

相關分析首先采用相鄰像素的相關性系數CAB來分析原始圖像與加密圖像間的差異.原始圖像中相鄰位置的像素具有很強的相關性,而加密后圖像相鄰像素間應接近于零.

其中,A和B分別表示相鄰像素的值,cov(A,B) 為A和B的協方差,為A和B的方差.這里對實驗仿真中3 組原始圖像與解密圖像分別進行水平、垂直、對角方向上的像素相關性分析,結果如圖4—圖6所示,具體數據結果見表4.

表4 像素相關性分析數據Table 4.Pixel correlation analysis data.

圖4 Lena 圖像加密前后相關性分析Fig.4.Correlation analysis of images before and after Lena encryption.

圖5 蛋糕圖像加密前后相關性分析Fig.5.Correlation analysis of images before and after cake encryption.

圖6 小貓圖像加密前后相關性分析Fig.6.Correlation analysis of images before and after cat encryption.

圖4(a)—圖4(c)分別為Lena 原始圖像在水平、垂直、對角方向上的相關性分析,圖4(d)—圖4(f)為Lena 加密后圖像對應的水平、垂直、對角方向上相關性分析得到的圖像.可以清晰地看出原始圖像與加密后圖像在像素相關性上的差別,證明了所提算法的有效性.

從以上圖表分析可以看出,全部加密后圖像的像素相關性分析的數值都接近于零,因此本文所提算法有出色的抵御相關性分析的能力.表5給出本文提出的算法與文獻[42,49,50]提出算法的三方向相關性數據對比

表5 相關性分析數據對比Table 5.Correlation analysis data comparison.

密鑰敏感性分析是指,在圖像加密過程中,當密鑰參數發生少量變化,加密后的圖像將會發生相應改變.在這里用NPCR (像素數改變率)與UACI(統一平均變化強度)來表示對原始圖像圖像采用有微小區別的不同密鑰加密后生成的加密圖像之間的變化像素數量及其平均變化強度,參考值分別為NPCR=99.6094%,UACI=33.4635%,其數值越接近該參考值說明算法密鑰敏感性越強,則該算法安全性更強.相關數據見表6.

表6 密鑰敏感性分析數據Table 6.Key sensitivity analysis data.

表7給出本文與文獻[42,49,50]的NPCR,UACI數據對比.

表7 NPCR,UACI 數據對比Table 7.Comparison of NPCR and UACI data.

除此之外,本文對原始圖像和加密圖像進行了統計分析,圖7(a)—圖7(c)為原始圖像的R,G,B 3 個通道的直方圖,圖7(d)—圖7(f)對應的為加密圖像的直方圖.可以看出左側原始圖像統計數據中3 個通道各有一些值較為集中,而右側加密圖像部分直方圖數據較為均勻,這表明想要對加密后圖像進行統計攻擊將會十分艱難.

圖7 Lena 圖像加密前后三通道直方圖分析Fig.7.Analysis of R,G,B three-channel histogram before and after Lena image encryption.

Lena 圖像加密后圖像三通道信息熵分別達到:R 通道7.9977,G 通道7.9978,B 通道7.9976;三通道密鑰隨機性灰度差異（GVD）達到:R 通道0.9667,G 通道0.9551,B 通道0.9651.在密鑰空間方面,由于量子隨機行走在理論上可以提供無窮大的密鑰空間,在實驗中,當計算精度為 10-16時,密鑰空間可以達到 2128.目前計算機計算能力決定,當密鑰空間達到 2128時算法可以抵御任何形式的暴力攻擊,因此算法具有較好的抵御窮舉攻擊等攻擊手段的能力.

5 結論

本文進行了量子漫步與圖像加密結合的相關研究并進行了有效實驗,證實所提出的基于量子隨機行走的彩色圖像加密方案有效且切實可行,表明將量子相關理論技術引入經典圖像處理中具有廣闊的應用前景;此外將DNA 編碼應用于加密方案中更是為圖像加密技術前景提供了一種可能.在此次加密方案中,量子隨機行走生成的隨機概率分布矩陣作為重要工具參與加密過程,在之后的研究中希望能夠更大程度地應用,發揮其優勢作用.此外DNA 編碼所具備的重要生物特性也具有更加深度的應用意義.