各向異性ruby 晶格中費米子體系的Mott 相變*

保安

(南昌工學院教育學院,南昌 330108)

本文用哈伯德模型研究各向異性ruby 晶格中費米子行為,在團簇動力學平均場理論框架內將格點模型映射為有效自洽場中的雜質模型后用連續-時間量子蒙特卡羅算法求解雜質模型.基于自洽計算的結果,用最大熵方法得到各向異性ruby 晶格中具有相互作用的費米子體系的單粒子態密度和雙占據數后討論了溫度(T)、相互作用(U)和各向異性參數(λ)對體系的金屬-絕緣相變的影響.最后給出各向異性ruby 晶格中費米子體系的溫度-相互作用相圖,研究結果表明,低溫和弱相互作用范圍體系處在金屬相,而在高溫和強相互作用下體系內出現Mott 絕緣體相.

1 引言

研究和發現二維強關聯體系的拓撲絕緣體、量子霍爾效應、量子反常霍爾效應、玻色-愛因斯坦凝聚等新奇物相是凝聚態物理的重要內容[1-7].拓撲絕緣體材料Bi14Rh3I9[8]的某一特定平面內存在的二維ruby 晶格,由于獨特的晶格結構而引起研究人員興趣.拓撲絕緣體材料Bi14Rh3I9的晶體結構中有周期性交錯堆垛的鉍-銠網格和絕緣層(圖1(a)—(c));由共棱RhBi8立方體覆蓋六角晶格邊所形成的金屬間化合物的某一特定平面構成二維ruby 晶格(圖1(d)).

圖1 拓撲絕緣體材料Bi14Rh3I9的晶格結構示意圖 (a)-(c) Bi14Rh3I9 的晶體結構及其構成單元,絕緣層的zigzag 鏈分離由共棱RhBi8立方體構成的六角網格狀金屬間的 [(Rh4Bi)3I]2+層,六角晶格的邊由共棱RhBi8立方體覆蓋;(d) 二維ruby 晶格與六角晶格結構俯視圖[8]Fig.1.Sketch of crystal structure of topological insulator Bi14Rh3I9:(a)-(c) Triclinic crystal structure of Bi14Rh3I9.Insulating layers of [Bi2I8]2— zigzag chains separate the intermetallic [(RhBi4)3I]2+ layers that consist of hexagonal nets of edge-sharing RhBi8cubes;(d) honeycomb lattice of graphene with the structure of the intermetallic layer [8].

研究人員開展了諸多有關ruby 晶格的研究工作并得到了豐富的成果.文獻[9,10]介紹了用二維Ising 模型描述ruby 晶格和ruby 晶格上二維冰剩余熵的研究.近期研究人員在考慮自旋-軌道耦合效應的情況下用緊束縛模型或哈伯德模型研究二維ruby 晶格后發現了拓撲絕緣體、分數量子霍爾效應和量子自旋液體等更為豐富的結果[11-14].除此之外,用Kitaev 模型研究二維ruby 晶格后發現了拓撲自旋液體相等的有趣結果[15,16].然而,目前為止還沒有研究工作討論各向異性ruby 晶格中費米子間的在位相互作用和溫度對該體系量子相變的影響.

本文以半滿的單帶哈伯德模型描述各向異性ruby 晶格中具有在位相互作用的費米子行為,結合團簇動力學平均場理論和連續-時間量子蒙特卡羅方法求解雜質模型.

2 理論模型與研究方法

2.1 理論模型

二維ruby 晶格是類六角晶格,其結構相當于將六角晶格的頂點用三角晶格替換,六角晶格的棱則用平方格子替換,如圖2(a)所示.用哈伯德模型[17-21]描述各向異性ruby 晶格中具有在位相互作用的費米子行為的哈密頓量為

圖2 (a) Ruby 晶格結構示意圖;(b) ruby 晶格第一布里淵區;(c) 各向異性ruby 晶格(λ=2.0)中費米子體系T=0.2和U=0時的態密度;(d) 各向異性ruby 晶格(λ=2.0)中費米子體系無相互作用情況下色散關系Fig.2.(a) Sketch of ruby lattice;(b) first Brillouin zone of ruby lattice;(c) density of states of anisotropic ruby lattice (λ=2.0)for T=0.2,U=0;(d) energy dispersion of anisotropic ruby lattice (λ=2.0) for T=0.2,U=0.

其中,和cjσ分別表示i格點上自旋為σ 的粒子生成算符和j格點上自旋為σ 的費米子湮滅算符,niσ是粒子數算符,σ 是自旋指標,其值為↑或↓.t1和t2分別代表同一個六角晶格(HL)內最近鄰格點之間的躍遷和緊鄰兩個六角晶格的最近鄰格點之間的躍遷.〈i,j〉∈HL表示同一個六角晶格內所有最近鄰格點,〈i,j〉∈HL→HL表示緊鄰兩個六角晶格之間所有最近鄰的格點.U是在位相互作用,μ是化學勢.計算中定義各向異性參數λ=t1/t2并選定t1=1 來討論ruby 晶格的各向異性程度對體系量子相變的影響.

2.2 研究方法

在解析求解描述強關聯體系的Ising 模型、Heisenberg 模型、t-J模型和哈伯德模型等理論模型時遇到了極大的挑戰,即便處理簡單的哈伯德模型和Kondo 晶格模型的時候也遇到了困難.隨著計算機數據處理能力的提高和儲存空間的擴大,精確對角化[22,23]、蒙特卡羅方法[24,25]、Lanczos 方法[26]及重整化群[27,28]等數值計算方法被應用在強關聯體系的研究中并給出了令人滿意的結果,但以上數值計算方法各有其不足之處.相比上述數值計算方法,動力學平均場理論在強關聯體系的研究中因給出更加令人滿意的結果而得到了研究人員的青睞.動力學平均場理論的建立與發展為強關聯電子體系的研究開辟了新的途徑,主要成果有反鐵磁金屬到反鐵磁絕緣體相變的動力學平均場理論、銅氧化物中反鐵磁和d 波高溫超導的團簇動力學理論研究、六角晶格上半滿哈伯德模型Mott 相變、一維擴展哈伯德模型量子相變的團簇動力學平均場理論研究等[29-35].

式中,i,j是團簇的序號(此處將所選團簇序號標為j=0),μ,υ是每個團簇內格點的指標,Sc包含團簇內的所有項的作用量,Sb包括所選團簇之外所有項的作用量,Sbc則包含連接團簇和其所處自洽場的所有項的作用量.做如下兩個假設:1) 所有超過團簇大小的相互作用不考慮;2) 有效作用量中不考慮四次或更高階的重整化.通過計算在j/=0的所有變量上的路徑積分,可以獲得只包含所選團簇變量的(團簇自由度的)有效作用量:

以方格子為例,進一步說明動力學平均場理論將格點模型映射到有效自洽場雜質模型的基本思想.對圖3所示的 2×2 的超級晶格,其團簇自能是4×4的矩陣,K是超級晶格的簡約布里淵區,I表示 4×4 的單位矩陣,μ為化學勢.t(K)是超級晶格的躍遷矩陣,保留團簇內部的指標,其矩陣元為

圖3 方晶格模型映射到有效自洽場雜質模型的示意圖 (a) 方晶格;(b) 具有四個格點的超級晶格;(c)有效自洽場中團簇雜質模型的示意圖Fig.3.Sketch of mapping square lattice model to impurity model in self-consistent field:(a) Square lattice;(b) sketch of supper lattice consists of 4 lattice point;(c) sketch of cluster impurity in self-consistent field.

r1和r2是超晶格基矢,i,j為團簇內部格點的指標.

將格點模型映射到有效自洽場中雜質模型后需要用雜質求解器解雜質模型.本工作選用的連續-時間量子蒙特卡羅算法[37-40]對具有非局域影響和相互作用依賴時間的體系是有效的和可行的雜質求解器.連續-時間量子蒙特卡羅方法在隨機變量及其分布的計算中所用到的主要數學基礎包括Metropolis 重要抽樣、大數定理和中心極限定理.以本論文所涉及的“用半滿的單帶哈伯德模型描述各向異性ruby 晶格中費米子體系的哈密頓量”為例介紹連續-時間量子蒙特卡羅算法.

其中H0和H1分別為相互作用繪景中不含時間的部分和微擾的部分.相互作用U=0 時,ruby晶格的哈伯德模型轉變為緊束縛模型的哈密頓量,其哈密頓量在動量空間中的表達式則變為其中

對作用量級數展開后體系的配分函數形式如下:

其中Tr 是求矩陣跡的符號,Tτ為編時算符.在不引起誤解的情況下,將(8)式中時間指標、空間指標和級數展開指標可以簡化為κ ≡{k,i,{τi}},則體系配分函數可寫為如下形式:

暫且假定(9)式中被積函數均為正,其中Z0=Tr exp(-βH0).使用維克定理可使配分函數中的被積函數簡化,且任意可觀測量O的平均值為

因此被積函數中自旋向上部分的期望值為(以κ=3的隨機行走為例,如圖4所示):

圖4 κ=3 時一個隨機行走示意圖Fig.4.Sketch of random walk for κ=3.

G0(i,j)為相互作用大小等于0 的情況下體系的格林函數.自旋向下部分的期望值同理可得.

對于κ階的情況,

自旋向下部分的期望值同理可得.

隨機行走的過程中需要考慮減頂點和加頂點兩種情況.Metropolis 重要抽樣算法的細致平衡條件為:

增加一個頂點的Metropolis 重要抽樣的接收率為

具體計算中在0 到1 的區間取均勻分布的隨機數,直到隨機數小于R方可結束隨機行走.減頂點和加頂點概率的計算中對行列式比值的計算非常重要.在已有的κ頂點增加一個頂點時,快速計算的方法如下:

從已有的κ+1 個頂點減去一個頂點的概率為

結合團簇動力學平均場理論和連續-時間量子蒙特卡羅算法進行數值計算的流程如下.

1) 利用微擾論給出一個小的初始團簇自由能.

2) 利用雜質求解器,如:連續-時間量子蒙特卡羅算法進行求解,得到團簇的格林函數.

3) 對團簇格林函數做一次傅里葉變換.

4) 利用Dyson 方程

循環運行上述計算步驟直到前后兩個自能的差值達到所要精度求方可結束自洽計算,自洽計算的具體流程可見圖5.

圖5 自洽計算的流程圖Fig.5.Flow chart of self-consistent calculation.

3 計算結果

態密度(density of state)和雙占據數(double occupancy)是二維強關聯體系Mott 轉變研究中的兩個重要參數.本文用連續-時間量子蒙特卡羅方法求解自洽場中的雜質模型,從虛時格林函數G(τ)出發,用最大熵方法[39]計算得到各向異性ruby 晶格中費米子體系的態密度

其中i是用團簇動力學平均場理論將格點模型映射到自洽場中雜質模型后的團簇內格點的序號.

首先給出各向異性ruby 晶格(λ=2.0)中費米子體系的固定溫度(T=0.2)情況下對應不同相互作用的態密度(圖6(a))和固定相互作用(U=8.0)情況下對應不同溫度的態密度(圖6(b)).之后比較了溫度(T=0.2)和相互作用(U=8.0)都固定的情況下對應不同各向異性參數λ的態密度的演化(圖7).

圖6 各向異性ruby 晶格(λ=2.0)中費米子體系的態密度 (a) T=0.2 時不同相互作用對應的態密度;(b) U=8 時不同溫度對應的態密度Fig.6.Density of states of anisotropic ruby lattice (λ=2.0)with fermions:(a) Density of states for different interaction at T=0.2 ;(b) density of states for different temperature at U=8.0.

如圖7所示,溫度T=0.2和相互作用U=8.0的情況下,隨著各向異性參數λ的增大費米面兩側態密度譜峰逐漸演化到最后在λ≈1 時費米面處出現能隙.λ=2和λ=0.67 時態密度的演化形式類似,不出現近藤峰.λ=1 態密度演化過程中出現準粒子峰,即近藤峰,其特征是松原頻率ω=0 處兩側出現具有類似肩膀的準粒子峰.由態密度演化形式可以推測,在λ=2到λ=1 的過程中,體系中會出現近藤金屬.各向異性參數對態密度的演化發現和贗能隙的形成具有顯著的影響.在固定的排斥相互作用能情況下,通過比較不同各向異性參數所對應的態密度發現,松原頻率ω=0 處態密度隨著各向異性參數的增大而減小.嚴格來說,在有限溫度下由ω=0 處態密度的贗能隙決定的相變,實際上是一個轉變(crossover).

圖7 固定溫度(T=0.2)和固定相互作用(U=8.0)情況下,各向異性參數對ruby 晶格中費米子體系態密度的影響Fig.7.Comparison of the effect of anisotropic parameter λ on the density of states of fermions in ruby lattice on for T=2and U=0.

雙占據數是用半滿的哈伯德模型描述強關聯體系金屬-絕緣相變的另一個重要參數.雙占據數定義為 Docc=?F/?U=,其中F是自由能,U是相互作用.圖8(a),(b)分別給出不同相互作用情況下各向異性ruby 晶格(λ=2)的雙占據數隨溫度的變化和不同溫度情況下各向異性ruby 晶格(λ=2)的雙占據數隨相互作用的變化.如圖8(a)所示,隨著溫度的降低,溫度對于雙占據數的影響趨于不明顯.由圖8(b)可知,隨著相互作用的增加體系的雙占據數趨于0,意味著費米子的局域化程度增強.

圖8 各向異性ruby 晶格中費米子體系的雙占據數 (a) 不同相互作用下體系雙占據數隨溫度的變化;(b) 不同溫度下體系雙占據數隨相互作用的變化Fig.8.Double occupancy of anisotropic ruby lattice with fermions:(a) Comparison between double occupancy for different temperature with the change of interaction;(b) comparison between double occupancy for different interaction with the change of temperature.

圖9所示為各向異性參數對體系雙占據數的影響.在固定溫度(T=0.2)和固定相互作用(T=8.0)情況下,ruby 晶格中費米子體系的雙占據數隨著各向異性參數的增大趨于0,這一趨勢說明費米子局域化加強,即體系趨于Mott 絕緣體相,但趨勢放緩.

圖9 溫度和相互作用固定的情況下,ruby 晶格中費米子體系的雙占據數隨各向異性參數的變化Fig.9.Trend of double occupancy with the change of anisotropic parameter for fixed T and U.

最后,基于體系的態密度和雙占據數,給出了體現溫度和相互作用對各向異性ruby 晶格(λ=2.0)中相互作用費米子體系金屬-絕緣相變的影響,即溫度-相互作用相圖.如圖10所示,相圖被二階Mott 相變線劃分為兩個區域,即低溫和弱相互作用區的金屬相、高溫和強相互作用區域的Mott 絕緣體相.隨著溫度的降低,體系金屬-絕緣相變所對應的相互作用也減小.

圖10 各向異性ruby 晶格中費米子體系的金屬-絕緣相圖Fig.10.Metal-Insulator phase diagram of fermions in anisotropic ruby lattice.

4 結論

本文中用半滿的哈伯德模型描述各向異性ruby 晶格中費米子.結合團簇動力學平均場理論和連續時間量子蒙特卡羅方法求解雜質模型.在自洽計算的基礎上,通過進一步系統的運算后給出體系的單粒子態密度和雙占據數.結合態密度和雙占據數的演變趨勢,最終得到了各向異性ruby 晶格中費米子體系的溫度-相互作用相圖.研究結果發現了體系低溫弱相互作用區的金屬相和高溫強相互作用區的Mott 絕緣相.