正負電子對產生過程中不同外場寬度下的多光子躍遷效應*

江淼 鄭曉冉 林南省 李英駿

1) (中國礦業大學(北京)理學院,北京 100083)

2) (中國礦業大學(北京),深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室,北京 100083)

3) (首都師范大學,太赫茲光電子學教育部重點實驗室,北京 100048)

在高頻振蕩的外場中,可通過多光子躍遷過程在真空中激發出正負電子對.本文運用計算量子場論的方法數值求解了狄拉克方程,通過觀察產生粒子在能量上的分布,對外場寬度在正負粒子產生過程中的影響進行了分析.當場寬較大時,光子躍遷過程模式較為單一,主要在能量對稱的區域發生,且單光子躍遷的概率遠大于其他多光子過程;而當場寬較小時,雙光子躍遷過程的概率大幅增加至和單光子過程同數量級,并且躍遷能量為外場頻率整數倍的非對稱躍遷都有可能發生.此外,在其他躍遷能量上激發出正負電子對也存在一定概率,粒子躍遷較寬場時呈現出更為復雜的模式.

1 引言

根據量子電動力學的理論可以預測,當外場達到一定強度時,真空將被激發出極化狀態.1951 年,Schwinger[1]計算出了能夠“擊穿”真空的穩恒電場強度,這項開創性的工作吸引了許多學者的注意,從而開展對正負電子對產生過程的深入研究.對于一個空間均勻且不隨時間變化的電場,產生真空極化的閾值為Ec=1.32×1016V/cm,相應的激光強度需要達到 1029W/cm2.在20 世紀80 年代初,實驗上曾嘗試用重離子對撞產生交疊的庫侖場來激發出超臨界電場,并檢測到了正電子的產生[2,3].但是,這里產生的粒子對是由于相對論碰撞過程中不可避免的核躍遷過程,而非單由庫侖場導致.在SLAC 上進行的電子束與強激光脈沖碰撞實驗中也檢測到了由高能電子和激光束相互作用引起的正電子的產生[4,5].目前為止,在現有實驗條件下,由于激光峰值功率尚且不足,僅由激光場直接引起正負粒子的產生還不能實現.但是,隨著近年來激光技術及其相關產業的快速發展,激光強度也將進一步逼近擊穿真空的閾值條件.可以期待在不久的將來,激光強度將接近甚至超過施溫格極限,使得由光對物質的直接轉化過程在實驗室中得以實現.

關于正負粒子對產生過程的理論研究已經開展了數年,并對各種外場情況下的粒子產生過程進行了詳細的研究[6-14].研究表明,在真空中產生正負粒子對通常經過3 種機制.第一種稱為施溫格隧穿效應[15-17].當穩恒電場的強度超過Ec=1.32×1016V/cm 時,這個超強電場就可以在真空引起正負能態的交疊,從而持續不斷地激發出正負粒子對.第二種機制要求外電場隨時間快速變化,當頻率達到一定數值時也可以通過光子躍遷持續地激發出正負粒子對,這種過程被稱作多光子效應[18-21].第三種機制則是通過超臨界勢阱中的束縛態來激發正負粒子[22-26].

在第二種機制中,當一個光子的能量大于能帶間隙 2mc2的時候,真空中的正負能態通過光子躍遷效應發生交疊,從而產生正負粒子對.然而這要求外場超高速振蕩,因此在實驗上較難實現.此外,多個光子的總能量之和如果能夠越過能帶間隙,同樣也可以激發出正負粒子對.本文將對多光子躍遷中外場寬度對產生粒子過程的影響展開深入討論.

2 方法及模型

本文使用計算量子場論的方法來描述強場下真空中正負粒子的產生過程,該方法可實現在全空間和時間上數值求解狄拉克方程[27,28].

將模型簡化至一維.對于一維系統,選取只在z空間上變化的外場,則場算符可寫成

其中up(z) 和vn(z) 分別是初始時刻的正負能態,可通過求解自由態下的狄拉克方程獲得;為產生和湮滅算符,分別作用在正負能態上.再將場算符中正能和負能的部分分開,用正能部分定義粒子概率在真空態中的平均值表達式

最后,將粒子概率在全空間進行積分,再經過推導可得出粒子產生數的表達式為

其中的態函數?n(z,t) 在時間上的演化過程遵循一維下的狄拉克方程:

(4)式及以下均使用原子單位制.下面運用劈裂算符的方法[29,30]對狄拉克方程進行數值求解.先將整個時間演化過程離散化,分成步長為Δt的整數步,再通過對其中一步的演化進行拆分e-ihΔt≈e-iVΔt/2×e-ihOΔt×e-iVΔt/2,其誤差為O(Δt3),其中自由哈密頓量h0只含動量部分,外場V只含空間部分,再運用傅里葉變換,即可對態的演化進行數值求解.

為研究多光子躍遷過程,本文中所取的外場V(z,t)為隨時間振蕩的空間局域場,表達式為V(z,t)=V1S(z)sin(ωt),其中V1表示振蕩場的振幅(即勢高度或場的強度),ω為場的振蕩頻率.式中的S(z) 為空間局域化的Sauter 勢函數[31],其表達式為S(z)={1+tanh[(z-z0)/W]}/2,其中W表示振蕩場的場寬,z0表示勢場的中心.應用劈裂算符方法以及傅里葉變換可對該場下的狄拉克方程進行數值求解,從而得出粒子概率和總產量在時間上的演化過程.

3 外場寬度對多光子躍遷過程的影響

本文對多光子躍遷過程進行深入討論,并研究不同外場寬度對粒子產生過程的影響.首先運用第2節介紹的方法,根據(3)式計算出粒子的產生總數.在多光子躍遷效應中,由于外場振蕩頻率ω直接對應光子的能量,因此粒子的產生數與ω有著密切的關系.圖1給出了t=0.002 時刻,外場頻率在0— 4c2范圍內的粒子產生總數N,其中外場寬度W=5/c.這里為了更加清晰地觀察多光子躍遷效應,所取場強為V1=5.5c2.

圖1 粒子產生數隨外場頻率變化關系圖.其中 t=0.002,外場強度 V1=5.5c2,寬度W=5/cFig.1.Total number of created pairs for different frequencies of the external field.Here t=0.002,the field intensity is V1=5.5c2and width is W=5/c.

圖1中出現多個峰值.其中最大的峰在頻率ω ＞2c2后開始出現,對應的是單光子過程.當一個光子的能量大于能帶間隙 2c2(在原子單位制中m=1),則可實現正負能態的交疊,持續產生正負電子對.該結論與文獻[20]中粒子產生數隨頻率變化規律一致.為了研究多光子躍遷效應的影響,本文中加強了外場強度,因此還可以看到其他峰值.比如,當振蕩場的頻率ω ＞c2,雙光子過程就可實現正負能態的交疊,因此在ω ＞c2的位置也可以觀察到一個小峰.另外,圖中ω ＞0.67c2處的小峰則與三光子過程相對應,這與文獻[21]中粒子產生數隨頻率變化規律一致.

需要注意的是,對于ω ＞2c2的情況,雙光子或者三光子躍遷仍然可以發生,只是相較單光子而言產量較小.為進一步理解多光子躍遷過程,圖2以對稱躍遷為例,給出多光子躍遷過程的示意圖.

圖2 多光子躍遷過程示意圖,外場頻率為ω=2.5c2Fig.2.Schematic diagram of the multiphoton transition,where the frequency of the field is ω=2.5c2.

圖2中的縱軸為態的能量,下方陰影表示負能連續態,上方陰影表示正能連續態,中間則為2mc2的能帶間隙.可以看出,通過光子耦合躍遷的效應,負能態和正能態之間實現交疊從而產生正負電子對.圖中從左到右依次為單、雙、三光子對稱躍遷過程.以下為研究外場寬度對光子躍遷過程的影響,選擇了頻率大于能帶間隙的光子能量ω=2.5c2,以保證單光子躍遷過程可以發生.另外從圖2還可看出,對于三光子躍遷過程,有一個光子是完全在負能態中完成躍遷的,如圖中紅色箭頭所示.對于空間局域化的外場,當外場寬度變化時,該光子對躍遷過程的影響將發生變化.

在只含振動場的情況下,當外場頻率超臨界時可激發光子躍遷效應,正負電子對就會持續產生.其中單光子過程發生的概率最大,因此貢獻了最高的產生率.對于外場頻率超臨界的情況,雖然概率較單光子過程而言相對較小,但雙光子過程和三光子過程也會發生.由于計算粒子產生總數的時候,程序將所有過程的產生概率進行了求和,因此在粒子產生總數中無法區分以上幾種過程.但是,在產生粒子的動量或者能量分布上,不同數量的光子躍遷會對應不同的峰值,可進行區分.因此,下面主要對產生粒子的能量分布進行討論.

在能量分布中,峰值代表具有該能量的能級上發生躍遷的概率最大,產生粒子數量最多.對于頻率確定的外場,峰的位置與外場強度V1無關.場強越大,正負電子對的產生量越多.場強在這里只起到改變躍遷強度的作用,而不能改變躍遷過程的能量.而外場的另一個參數—外場寬度,則會對躍遷過程的能量產生影響,因此多光子躍遷過程也會發生變化.以下分別對場寬較大和較小兩種情況展開討論.

3.1 場寬較大時的粒子能量分布

當外場寬度較大時,多光子躍遷過程將呈現出對稱的形式.這是因為,當場寬W明顯大于康普頓波長λc=1/c時,在正負粒子產生過程中,整個系統可被認為是接近空間均勻的.因此相應地,能夠發生躍遷的過程須滿足動量近似守恒.在產生粒子的能量分布上,則會出現較明顯的與單、雙、三光子過程分別對應的主峰.當然,由于這里使用的是空間局域化的外場,并不是完全均勻的,因此主峰存在一定寬度.也就是說,躍遷過程雖然以對稱躍遷為主,但動量不守恒的非對稱躍遷仍然可以發生.而由于動量守恒的對稱躍遷過程最易發生,則概率最大,與能量分布的峰值相對應.

根據第2節介紹的理論,將(3)式在正能態和負能態上求和可得出產生粒子的總數,而若只對負能態求和,則可得出產生粒子在正能態上的分布.再通過將動量換算成能量,則可得出粒子產生量在能量上的概率分布,如圖3所示.

圖3中設場寬為W=5/c.這里為保證單光子躍遷可以發生,選取的外場頻率為超臨界的ω=2.5c2.這里的時刻為t=0.002,初始時間效應早已結束,粒子的能量分布趨于穩定.另外,為使多光子躍遷過程易于觀察,選取了較大的外場強度V1=8.5c2.在圖3(a)中,由于場寬明顯大于康普頓波長,因此整個系統中對稱躍遷發生的概率最大,在圖中表現為峰的形狀.圖3(a)中3 個峰值分別對應單、雙、三光子躍遷過程中概率最大的對稱躍遷,由豎直虛線標出.左邊第一個峰的峰值在橫軸上對應的能量為 1.25c2,來自于從能量為-1.25c2的負能態到能量為 1.25c2的正能態的單光子對稱躍遷過程,整個躍遷過程的能量為 2.5c2,為所選取的外場頻率.第二個峰則來自從能量-2.5c2到2.5c2的雙光子躍遷,躍遷過程能量為 5c2,是外場頻率的2 倍.第三個峰則來自三光子躍遷過程,從能量-3.75c2到 3.75c2,躍遷過程能量為 7.5c2,是外場頻率的3 倍.以上能量均與圖2對應.圖3(a)中結論與文獻[20]中粒子的能量分布結論一致.

圖3 外場寬度 W=5/c 時粒子產生量在能量上的概率分布圖,外場頻率和強度分別為 ω=2.5c2,V1=8.5c2Fig.3.Energy distribution of the created particles for a wide field width W=5/c,where the frequency and intensity of the field are ω=2.5c2and V1=8.5c2,respectively.

對于單光子和雙光子過程在完成從負能態到正能態的躍遷時,每個光子都是不可或缺的.但對于三光子躍遷過程,如圖2所示,有一個光子是在負能級內完成躍遷的.為觀察這個光子對三光子躍遷過程的影響,在圖3(b)中對負能量的不同數值進行了截斷.也就是說,當不進行截斷時,在計算粒子產生總量時對所有的負能態到達正能態的躍遷過程進行求和.而當截斷能量為Ec時,則只對從Ec到-c2的負能態到正能態的躍遷過程進行求和.為進行對比,圖3(b)中的黑色實線為未進行任何截斷的粒子產量分布,和圖3(a)相同.其他4 條曲線則分別為對能量相應數值的負能態進行截斷后得到的結果.當截斷能量為Ec=-3.75c2時,剛好是與三光子對稱躍遷對應的能量,則第三個峰發生了明顯的變化,有大部分缺失.這說明,在三光子躍遷過程中,全部在負能級內的這個光子是不可或缺的.若將它摘除,就會直接影響到三光子躍遷過程的發生.而由于除對稱躍遷以外,-3.75c2附近的能量也有一定的躍遷概率,因此這個峰并沒有完全消失.若截斷能量進一步增加,如Ec=-3.5c2或-3.25c2時,三光子躍遷過程的峰將進一步缺失.當截斷能量為Ec=-3c2時,三光子躍遷過程的峰則完全消失了.當取截斷能量為Ec=-2.75c2時,已到達雙光子對稱躍遷的能量,因此第二個峰也出現了一定程度的缺失,如圖3所示.

可以看出,對于外場較寬的情況,光子躍遷的過程正如圖2所示,以對稱躍遷為主.且從數量級上來看,單光子躍遷占絕大多數.另外,由于場的空間局域化,非對稱躍遷也存在一定的概率.因此當對-3.75c2到-2.5c2的能量逐漸進行截斷時,與三光子過程對應的峰會逐漸消失.且在截斷能量到達-2.5c2之前,單光子和雙光子躍遷過程都沒有因能量截斷受到任何影響.而當截斷能量到達-2.5c2時,雙光子躍遷過程也受到了一定程度的影響.

3.2 場寬較小時的粒子能量分布

文獻[20]所取外場均為寬場,為進一步討論多光子躍遷過程,本節選取較小的外場場寬W=1/c進行討論.由于高階多光子躍遷過程概率較小,為便于觀察,選擇較強外場強度V1=8.5c2.當場寬接近康普頓波長時,空間的變化更加劇烈,則粒子在躍遷時不受動量守恒的限制,對稱躍遷的機制將被打破.

圖4(a)給出了場寬為W=1/c時粒子產量在能量上的概率分布,其他參數與圖3相同.可以看到,相較于寬場的情況,粒子的能量分布發生了明顯的變化.由于對稱躍遷的機制被打破,圖3(a)中的三峰結構已經完全消失,而分裂成了多個小峰.這里仍然用豎直虛線標出了各種數量的光子對稱躍遷的能量.仔細觀察可以發現,首先,單光子躍遷仍然在對稱躍遷處存在一個主峰,而與三光子躍遷過程對應的峰變得不明顯.其次,雙光子過程以對稱躍遷為中心分裂成了兩個對稱的小峰,圖中A 峰和B 峰的能量分別為 1.85c2和3.15c2,與能量為 2.5c2的雙光子躍遷相對應.另外,在高能部分還出現了C 峰和D 峰,能量分別為4.35c2和5.65c2.

圖4 外場寬度 W=1/c 時粒子產生量在能量上的概率分布圖,外場頻率和強度分別為 ω=2.5c2,V1=8.5c2Fig.4.Energy distribution of the created particles for a narrow field width W=1/c,here the frequency and intensity of the field are ω=2.5c2and V1=8.5c2,respectively.

可以看出,在場寬較窄的情況下,能量分布展現出不同的模式.首先,各級光子躍遷之間的數量級差要小于寬場的情況,也就是說,雙光子和三光子躍遷過程在窄場下的發生概率有所增大.以單光子和雙光子躍遷過程的對比為例,在場寬為W=5/c時,兩者的峰值數值相差兩個數量級以上,而在場寬為W=1/c時則基本為同一個數量級.三光子過程的數量級也有明顯增加.其次,寬場下對稱躍遷的趨勢被完全打破,在不同能量上出現其他峰值.在W=1/c時與三光子躍遷過程對應的峰因受到雙光子躍遷過程分裂出的B 峰的影響而變得不明顯.

為進一步討論躍遷模式如何變化,這里同樣對負能態進行不同數值的截斷.通過觀察能量分布在截斷過程中的變化可以看出,能量截斷對多光子躍遷過程的影響也與場寬時不同.首先,即使是遠離雙光子躍遷過程的截斷能量,也對與雙光子躍遷過程對應的A 峰產生了明顯的影響.其次,除去本身已不明顯的三光子過程,能量截斷僅影響了圖4中的A 峰和C 峰,并且不同能量的截斷對這兩個峰的影響非常相似.最后,當能量截斷為Ec=-3.75c2和-3.5c2時,A 峰和C 峰的改變并不明顯;而當截斷能量為-3.25c2時才發生明顯缺失,并且隨著截斷能量的增大發生進一步的缺失.這些現象都和寬場時的情況有著明顯的差距.

對于這種現象,可通過正負粒子產生過程中發生的光子耦合效應進行解釋.根據在圖3中觀察到的結果,可對窄場下的多光子躍遷過程進行推測.圖5給出了雙光子和三光子躍遷過程在能量上的示意圖,左圖為雙光子躍遷,右圖為三光子躍遷.由于場寬度的減小,整個躍遷過程的動量不再守恒,對稱躍遷的機制被打破,呈現出其他的躍遷模式.其中a和b 與圖4中的A 峰和B 峰相對應;c和d 則對應圖4中的C 峰和D 峰.根據躍遷示意圖可以看出,圖4中的A 峰和B 峰分別是從-3.15c2到 1.85c2和從-1.85c2到 3.15c2的雙光子 躍遷過程產生的,總躍遷能量是外場頻率ω=2.5c2的兩倍 5c2.對于圖4中的C 峰和D 峰,則分別來自從-3.15c2到 4.35c2和從-1.85c2到 5.65c2的躍 遷過程,總躍遷能量為 7.5c2,ω=2.5c2的3 倍.也就是說在之前完成雙光子躍遷的基礎上,再向高能級躍遷一個光子.因此,當在-3.15c2以上進行能量截斷時,就會對a 過程和c 過程產生影響,從而在圖4中表現為A 峰和C 峰的削弱.

圖5 場寬較小時多光子躍遷過程示意圖Fig.5.Multi-photon transition in a narrow field,where the frequency is ω=2.5c2.

3.3 多光子躍遷過程在能譜上的分析

在第2節給出的簡介中,通過對所有的正能態和負能態交疊概率進行求和可得出總的粒子產生數.而在求和之前,可導出某一個能量為En的負能態與另一個能量為Ep的正能態之間的交疊概率,也就是這兩個態上產生粒子的概率.通過觀察各能態之間的交疊概率,可以更深入地討論粒子躍遷過程.圖5給出了外場頻率為ω=2.5c2時,寬場W=5/c和窄場W=1/c兩種情況下的概率分布圖.其中橫軸為負能態能量的絕對值,縱軸為正能態能量.與圖3和圖4相同的,這里用對數坐標給出了躍遷概率,具體數值對應見下方色條.圖中坐標(1.25,1.25)的點表示負能En=-1.25c2到正能Ep=1.25c2的躍遷概率.

從圖6(a)可以看出,寬場情況下,躍遷概率最大的區域主要分布在單光子過程,且以對稱躍遷為主.雙光子過程在對稱躍遷區域也有少量貢獻.而在圖6(b)中的窄場情況下,可明顯觀察出4 條斜線,這4 條斜線從左下到右上分別對應單、雙、三、四光子躍遷過程.與寬場中只在對稱躍遷附近有概率明顯不同,在窄場中只要符合能量守恒的躍遷都可以發生.并且,躍遷概率發生了明顯的變化,高階光子的躍遷概率明顯增大.其中,雙光子躍遷的概率甚至與單光子躍遷達到了同一數量級.而在圖6(b)中,除符合能量守恒的對稱躍遷以外,還激發出了其他躍遷模式.如左下角在從負能-1.85c2＜En＜-c2到正能c2＜Ep＜1.85c2的區域都存在一定躍遷概率.且從負能En＜-c2到 1.85c2的區域以及-1.85c2到正能Ep＞c2的區域也都存在一定躍遷概率,并分別在符合雙光子躍遷能量的 1.85c2和3.15c2處形成加強躍遷,分別對應圖5中的a,b 過程和圖4中的A,B 兩峰.且在此基礎上,還發生了再吸收一個光子的躍遷過程,并在符合三光子躍遷能量的區域產生峰值,其中高能的兩個峰分別對應圖5中的c,d 過程和圖4中的C,D 兩峰.可見,在窄場情況下,多光子躍遷呈現出許多較寬場而言更為復雜的躍遷形式.

圖6 多光子躍遷過程概率在正負能量上的分布圖(a)場寬 W=5/c;(b)場寬 W=1/c.其中外場頻率為ω=2.5c2,強度為V1=8.5c2Fig.6.Probability of transition between the positive and negative energy:(a) Field width W=5/c ;(b) field width W=1/c.The frequency and intensity of the field are ω=2.5c2and V1=8.5c2.

4 結論

本文運用計算量子場論的方法,對真空中產生正負電子對的過程進行了詳細研究.利用劈裂算符的方法和傅里葉變換,對一維模型中的狄拉克方程在全空間和時間上進行數值求解,從而得出粒子的總產生率以及在能量上的概率分布.為研究光子躍遷過程在不同外場參數下的變化,本文選擇的外場模型為隨時間高頻振蕩的電場.在這種外場的激發下,負能態將通過光子躍遷效應與正能態發生交疊,從而產生正電粒子對.

基于研究得出的寬場下多光子躍遷結論,討論了外場較窄情況下的多光子躍遷效應.通過改變外場的寬度可以看出,多光子躍遷過程在寬場和窄場中躍遷模式發生了明顯的變化.首先在寬場模型中,觀察粒子在能量上的分布概率可以看出,單光子躍遷的概率要遠大于其他更高數量的光子躍遷過程,在粒子產量中占主要地位.且由于空間變化緩慢,動量守恒的對稱躍遷更易發生,占主要地位.另外,通過在負能量上對躍遷過程進行截斷可觀察到,對于三光子躍遷過程中,躍遷前后的能量完全在負能連續態中的光子對整個躍遷過程而言是不可或缺的,會直接影響到躍遷過程的發生.而當外場寬度減小到更接近康普頓波長時,雙光子躍遷過程的概率明顯增加,甚至與單光子躍遷概率達到同一量級.而在寬場機制下,單光子躍遷的概率比雙光子躍遷高兩個數量級,可見在窄場中雙光子躍遷的概率明顯提升.這是因為,在寬場下只有近似滿足能量對稱的躍遷才可以發生;而在窄場中,這一限制被打破,符合雙光子能量的躍遷都可以發生.而雙光子過程可發生的能譜范圍大于單光子過程,因此產量明顯增加.可見,在窄場條件下多光子躍遷的數量會明顯增大,這一結論同樣適用于能量較低的多光子躍遷過程.對于頻率無法超越 2c2,只能通過雙光子或者更高階效應產生粒子的激光場,可通過將激光束進一步聚焦,減小場寬來增加產生率.另外,相較于單峰結構的對稱躍遷,窄場下躍遷模式更為復雜,與之對應的產生粒子能量分布也呈現出多峰結構.比如,在雙光子躍遷時分裂出兩個峰,分別對應從不同負能態到正能態的躍遷過程.寬場下的躍遷模式較為單一,而窄場下的躍遷模式則較為多樣化.可見,當外場寬度變窄時,產生正負電子對的躍遷過程與寬場時存在很多不同的效應,有待進一步的探索.