復(fù)合圓曲線散索鞍設(shè)計位置的改進算法

鄧小康，鄧恒耀

(武漢科技大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，湖北 武漢 430081)

0 引 言

索鞍是懸索橋的重要構(gòu)件，分為主索鞍和散索鞍。其中：散索鞍是主纜進入錨碇之前的最后一個支承構(gòu)件，設(shè)置在錨碇支架處，主要起支承轉(zhuǎn)向和分散主纜束股使之便于錨固的作用[1-3]。對地錨式懸索橋而言，為更好適應(yīng)主纜在錨跨的受力，其散索鞍的鞍座多設(shè)計為復(fù)合圓曲線。散索鞍位置的安放準確度對懸索橋線形和結(jié)構(gòu)受力會產(chǎn)生重大影響[4-7]。同時索鞍設(shè)計位置的確定，也是索鞍處主纜無應(yīng)力長度進行修正的必要前提[8-10]。

對懸索橋鞍座設(shè)計位置的計算，學(xué)界進行了大量的研究。文獻[11]利用主纜與索鞍的力學(xué)特性和幾何特性進行求解分析，得出單圓曲線索鞍的計算方法，但未提出復(fù)合圓曲線索鞍位置的算法；文獻[12]將單圓曲線索鞍位置計算推廣到復(fù)合圓曲線索鞍，但需通過牛頓-拉斐森法求解方程組且對鞍座設(shè)計位置約束條件和迭代初值有較高要求，求解過程較為繁瑣。

基于此，筆者提出了一種復(fù)合圓曲線散索鞍設(shè)計位置的改進算法。該算法從索鞍與主纜力學(xué)和幾何關(guān)系出發(fā)，利用索鞍和主纜幾何條件建立方程，采用二分法求解即可得到復(fù)合圓曲線散索鞍的位置，該算法具有計算過程簡便，收斂性好等特點。

1 坐標系建立及主纜線形分析

筆者在前期研究過程中，提出了以全橋主纜線形為基礎(chǔ)的坐標系Ⅰ和以索段線形為基礎(chǔ)的坐標系Ⅱ，并由此重新推導(dǎo)了懸索橋主纜線形的統(tǒng)一懸鏈線方程[13]。

1.1 坐標系建立

坐標系Ⅰ下的索段示意如圖1。圖1中：最低點A將跨徑為L的主纜劃分為左、右兩部分，左邊s-1個吊桿將主纜分為s個索段，右邊t-1個吊桿將主纜分為t個索段。任意索段i承受沿索長均布的自重荷載q和兩端吊桿傳來的集中力P[14]。取最低點A為原點建立坐標系Ⅰ，其中左半邊x軸水平指向左邊，右半邊x軸水平指向右邊，y軸豎直向上。

圖1 坐標系Ⅰ下的索段劃分示意Fig. 1 Schematic diagram of cable section division in system Ⅰ

坐標系Ⅱ下的索段示意如圖2。圖2中：對任意索段i，取索段曲線上斜率等于0的點為原點，并建立坐標系Ⅱ，x、y軸的方向同坐標系Ⅰ。此時，索段i將發(fā)生平移，平移大小取決于吊桿力引起的主纜斜率改變量。

圖2 坐標系Ⅱ下的索段示意Fig. 2 Schematic diagram of cable section in system Ⅱ

1.2 主纜線形分析

對索段i進行線形分析。定義其上任一點斜率為z，無應(yīng)力狀態(tài)下沿索長均布的自重荷載為q，主纜截面面積為A，彈性模量為E，主纜索力的水平分力為H。

筆者推導(dǎo)出坐標系Ⅱ下的索段線形方程[13]如式(1)、(2)：

(1)

(2)

2 復(fù)合圓曲線散索鞍設(shè)計位置計算

筆者將設(shè)計基準溫度下成橋狀態(tài)索鞍兩側(cè)主纜切點順延懸鏈線的交點定義為懸索橋理論頂點(IP點)[15]，并以此為基礎(chǔ)討論復(fù)合圓曲線散索鞍設(shè)計位置確定的問題。

復(fù)合圓曲線散索鞍示意如圖3。復(fù)合圓曲線散索鞍的鞍座由半徑為R1、R2、…、Rn的n段圓曲線組成，各段圓弧對應(yīng)的圓心角分別為α1、α2、…、αn，索鞍首段圓曲線起始點與該段圓心連線水平角為α0。(為方便描述，圖3取復(fù)合圓曲線的段數(shù)為3段，即n=3)。坐標系Ⅰ(見圖1，即實橋成橋狀態(tài)下)中：已知主纜在散索鞍處IP點的坐標為(x0，y0)，錨跨(右側(cè))主纜索力的水平分力為H1，邊跨(左側(cè))主纜索力的水平分力為H2，錨跨側(cè)主纜在IP點的斜率為z′0，邊跨側(cè)主纜在IP點的斜率為z″0，要求主纜曲線與索鞍在錨跨側(cè)的切點(記為右切點)坐標(x1，y1)，邊跨側(cè)的切點(記為左切點)坐標(x2，y2)，鞍座與主纜在錨跨邊切點所在圓弧段圓心的坐標(x3，y3)。主纜的橫截面面積為A，彈性模量為E，主纜沿索長均布的自重集度為q。

圖3 復(fù)合圓曲線散索鞍示意Fig. 3 Schematic diagram of composite circular curve splay saddle

記右切點位于第m段圓曲線上，左切點位于第k段圓曲線上，此時應(yīng)有k≥m。記從右切點到所在圓曲線段圓心的水平距離為Lm，第m段圓曲線圓心到第m+1段圓曲線圓心的水平距離為為Lm+1，第m+1段圓曲線圓心到第m+2段圓曲線圓心的水平距離為為Lm+2；以此類推，直至第k-2段圓曲線圓心到第k-1段圓曲線圓心的水平距離為為Lk-1，第k-1段圓曲線圓心到第k段圓曲線圓心的水平距離記為Lk。

記從左切點到第k段圓曲線圓心的豎直距離為hk，第k段圓曲線圓心到第k-1段圓曲線圓心的豎直距離記為hk-1；以此類推，直至第m+2段圓曲線圓心到第m+1段圓曲線圓心的豎直距離記為hm+1，第m+1段圓曲線圓心到第m段圓曲線圓心的豎直距離記為hm。

記首段圓曲線起始點與該段圓心連線同過該圓心的鉛垂線夾角為β1，第2段圓曲線起始點與該段圓心連線同過該圓心的鉛垂線夾角為β2；以此類推，第n段圓曲線起始點與該段圓心連線同過該圓心的鉛垂線夾角為βn。

記右切點與所在圓曲線圓心連線同過該圓心的鉛垂線的夾角為θ1，左切點與所在圓曲線圓心連線同過該圓心的鉛垂線的夾角為θ2。

計算第一步應(yīng)為確定左、右切點分別位于哪一圓弧段上，考慮到懸索橋復(fù)合圓曲線索鞍圓弧段并不會太多，筆者采取對所有圓弧段試算的方法來確定左、右切點位置。分成m=1：k=3，2，1；m=2：k=3，2；m=3：k=3共6種情況，計算出左、右切點斜率后再看其是否包含在假定圓弧段內(nèi)，若滿足即為真解，在主纜下方的真解有且只有一組[7]。

筆者以n=3時，m=1：k=3的計算為例來說明其計算過程。

由左、右切點與所在圓弧曲線的關(guān)系有式(3)：

tanθ1=z1，tanθ2=z2

(3)

由三角運算得式(4)、(5)：

(4)

(5)

對角度之間的幾何關(guān)系有式(6)～(8)：

β1=90°-α0

(6)

β2=90°-α0-α1

(7)

β3=90°-α0-α1-α2

(8)

由三角函數(shù)關(guān)系可得式(9)～(11)：

L1=R1sinθ1

(9)

L2=(R2-R1)sinβ2

(10)

L3=(R3-R2)sinβ3

(11)

將z1代入式(6)可得右切點在右邊坐標系Ⅱ下的橫坐標，如式(12)：

(12)

則IP點到右切點的水平距離如式(13)：

(13)

將z2代入式(6)可得左切點在左邊坐標系Ⅱ下的橫坐標，如式(14)：

(14)

則IP點到左切點的水平距離如式(15)：

(15)

有幾何關(guān)系可得式(16)：

Δx1+Δx2=L1+L2+L3-R3·sinθ2

(16)

將式(4)、(7)～(11)、(13)、(15)代入式(16)可得式(17)：

(17)

分析式(17)可知：其中僅z1、z2為未知數(shù)，對給出的z1(給出的z1應(yīng)大于錨跨最低點斜率，并小于z′0)，取z2的求解區(qū)間為[邊跨主纜最低點的斜率，邊跨主纜最高點的斜率]，二分法求式(17)即可得z2。

上述式(17)是由水平方向幾何條件得到的，筆者接下來對豎直方向進行分析。

由三角函數(shù)關(guān)系可得式(18)～(20)：

h3=R3cosθ2

(18)

h2=(R3-R2)cosβ3

(19)

h1=(R2-R1)cosβ2

(20)

將z1代入式(7)可得右切點在右邊坐標系Ⅱ下的縱坐標，有式(21)：

(21)

IP點和右切點的高差有式(22)：

(22)

將z2代入式(7)可得左切點在左邊坐標系Ⅱ下的縱坐標，如式(23)：

(23)

IP點和左切點的高差有式(24)：

(24)

有幾何關(guān)系可得式(25)：

Δy1+Δy2=h3-h2-h1-R1cosθ1

(25)

將式(5)、(7)、(8)、(18)～(22)代入式(24)可得式(26)：

(26)

式(26)中z2可用z1來表示，如式(17)。其余參數(shù)均為常數(shù)，故式(26)可看為關(guān)于z1的一元非線性方程。前面已經(jīng)求出錨跨主纜最高點和最低點斜率，采用二分法求解式(26)時z1的求解范圍，可取為[錨跨主纜最低點斜率，錨跨主纜最高點斜率即z′0]。

求出z1、z2后，由式(3)計算θ1、θ2，判斷右切點是否位于第1個圓弧段，左切點是否位于第3個圓弧段，如滿足則說明假設(shè)正確，求得的z1、z2即為準確值。若不滿足，則進入下一工況計算，計算過程和上面類似，僅計算起始位置和終止位置不同，筆者不再贅述。

上述方法最后一次的迭代過程還求出了理論頂點(IP點)到左切點的水平距離為Δx2，垂直距離為Δy2；到右切點的水平距離為Δx1，垂直距離為Δy1，則左切點的坐標為(x0-Δx2,y0+Δy2)，右切點的坐標為(x0+Δx1,y0-Δy1)。

索鞍與主纜在錨跨邊切點所在圓弧段圓心的坐標如式(27)、(28)：

(27)

(28)

如此復(fù)合圓曲線散索鞍的鞍座位置即已求出。

3 算 例

3.1 算例1

某懸索橋散索鞍的理論頂點(IP點)坐標為(0.0 m，27.0 m)，主纜橫截面面積A1=A2=0.152 1 m2，主纜自重集度q1=q2=39 kN/m，彈性模量E=190 000 MPa。在成橋狀態(tài)線形計算中已計算出索鞍左、右兩邊主纜索力水平分力H1=38 590.080 15 kN，H2=51 788.210 58 kN，V1=42 537.129 89 kN，V2=24 831.088 38 kN。設(shè)索鞍圓弧段N=4，半徑R1=6.0 m，R2=5.0 m，R3=4.0 m，R4=3.0 m，α0=60°，α1=30°，α2=30°，α3=30°，α4=30°。

由z=V/H得，z′0=1.102 28(錨跨)，z″0=0.479 49(邊跨)。將H和z分別代入式(1)、(2)，可得理論頂點在錨跨坐標系Ⅱ下的坐標為(943.331 18 m，483.965 09 m)，在邊跨坐標系Ⅱ下的坐標為(615.684 20 m，145.032 65 m)。

采用筆者的方法計算出索鞍位置與文獻[12]進行比較，如表1。

表1 算例1的索鞍位置計算結(jié)果Table 1 Calculation results of saddle position in example 1 m

3.2 算例2

某懸索橋散索鞍的理論頂點(IP點)坐標為(9 670.0 m， 39.0 m)，主纜橫截面面積A1=A2=0.744 156 m2，主纜自重集度q1=q2= 116.02 kN/m，彈性模量E=200 000 MPa。在成橋狀態(tài)線形計算中已計算出索鞍左、右兩邊主纜索力水平分力H1= 833 210.26 kN，H2=994 935.83 kN，V1=42 537.129 89 kN，V2=24 831.088 38 kN。設(shè)索鞍圓弧段N=2，半徑R1=7.5 m，R2=10.0 m，α0=60°，α1=9°，α2=9°。

由z=V得，z′0=0.841 380 59(錨跨)，z″0= 0.444 093 49(邊跨)。將H和z分別代入式(1)、(2)，可得理論頂點在錨跨坐標系Ⅱ下的坐標為(943.331 18 m，483.965 09 m)，在邊跨坐標系Ⅱ下的坐標為(615.684 20 m，145.032 65 m)。

采用筆者的方法計算出索鞍位置與文獻[12]進行比較，如表2。

表2 算例2的索鞍位置計算結(jié)果Table 2 Calculation results of saddle position in example 2 m

通過算例1、2的結(jié)果可看出：筆者提出改進算法具有較高計算精度，同時整個計算過程無需任何初值，均可保證求解收斂。

4 結(jié) 語

對復(fù)合圓曲線散索鞍設(shè)計位置計算進行深入研究，提出了一種改進算法。算法以索鞍與主纜的力學(xué)、幾何關(guān)系研究為基礎(chǔ)，利用索鞍和主纜幾何相容條件建立方程，求解方程即可得到復(fù)合圓曲線鞍座設(shè)計位置的坐標，算例表明文中的改進算法具有較高的準確性。

文中改進算法計算復(fù)合圓曲線散索鞍設(shè)計位置時僅需采用二分法求解一元非線性方程即可得到精確解，筆者還給出了二分法求解非線性方程的求解區(qū)間，方法對于復(fù)合圓曲線散索鞍設(shè)計位置的求解均能保證收斂且無需任何初值。文中算法在求解復(fù)合圓曲線散索鞍設(shè)計位置的同時，還求出了主纜與索鞍切點的位置和斜率。