從規則的實體化看計算思維

陳凱

有一種數列叫做三角形數列，數列由三角形數組成，它們是1、3、6、10、15、21、28……關于三角形數之名的來歷，看圖1便可知曉。很顯然，第n項三角形數即是前n項自然數之和。對于大部分人來說，通過在頭腦中想象一個三角形點陣的構建過程來計算前n項自然數之和，還是比較容易的。那么，如何讓某個自動裝置也能夠計算出第n項三角形數，或者說計算出前n項自然數的數列和？上一期本欄目的《從數據的空間結構看計算思維——以數列求和為例》這篇文章中提到，為了培養計算思維，需要讓學生體驗到，在自動計算的任務實現的過程中，既要考慮人的需求，同時也要從機器運作的可能性、可行性和效率方面來考慮構建一個自動計算模型的問題。為了達成此目標，方法可能有多種，本文設計方案將體驗過程展開為兩步：第一步是針對計算任務的目標創設出一種自動變換規則，然后將變換過程實體化;第二步是將變換規則本身也實體化。

● 第一步：創設自動變換規則，并將變換過程實體化

如果要設計一個生成三角形數的裝置，那么它的基本結構如圖2所示。

應該如何設定變換規則？傳統的數學方法很簡單，如從1、2、3開始累加，直到判斷加到n時停止;又如為求得n項三角形數，則先遞歸求n-1項三角形數;再如直接應用n（n+1）/2的通項公式。但對于一個簡單的自動變換裝置來說，這些方法中的數字符號本身的變換和處理是非常困難的，為了更容易將變換過程實體化，可以暫時先避免使用數字符號，而用某種實體的數量來代表某個數。

例如，在畫圖軟件里玩圖形變換，即便是簡單的畫圖軟件，也可以是培養計算思維的好工具，張勤堅老師在《教學設計：畫圖里的計算思維》一文中提到，通過復制、翻轉和拼接，就可以實施有思維含量的實踐操作，筆者深以為然。如何設定畫圖規則用以實現三角形數的計算呢？能簡單想到的方法如：第一行畫n個點，第二行畫n-1個點，第三行畫n-2個點……每新加一層就少畫一個點，等到不再有點可畫時，則數一下所有點的數量。這樣，就將第n項三角形數的生成過程同構為圖形變換的過程。這里給出一個有趣的謎題，如何在畫圖軟件中，在不觀看屏幕的情況下，只用鍵盤操作來實現n，n-1，n-2……個點累加的效果，也就是說，通過某種機械化重復鍵盤操作動作的方式，實現如下頁圖3所示的圖形變換。

雖然說圖形變換操作是在畫圖軟件中進行的，但換成實物來代替那些點，效果是類似的（如摞瓶子）。然而，這些規則還是需要依靠人來執行的，大家不妨先行思考一下，如何設定規則，讓一個簡單的裝置自動實現圖形變換操作？

這里再舉一個用類似于用跳棋游戲的方法實現三角形數計算的例子，假設要計算的是第4項三角形數，則可以在初始時放置一排4個“*”號棋。從最左面的棋子開始，“*”號棋可以用它右面的棋子當跳板跳到整排棋子的末尾，如果它右面的棋子也是“*”號棋，則當它跳躍到末尾時變為“#”號棋，如果它右面是“#”號棋，則它跳躍到末尾時自動消失。當這一排棋子最左面是“#”號棋時，它的跳躍規則和“*”號棋類似，它可以用右面的棋子當跳板跳到末尾，如果它右面的棋子也是“#”號棋，則當它跳躍到末尾時變為“*”號棋，如果它右面是“*”號棋，則它跳躍到末尾時自動消失。棋子具體跳躍的過程演示如圖4所示，演示中用點來代表跳躍后空出的位置：

當無法再找到可跳躍的棋子時，最后一個棋子處在第10個字符的位置，這就對應了第4項的三角形數是10。

用這兩種形狀的跳棋，按預設規則跳躍和落子，就可以計算出第n項三角形數。不過，與剛才的分層畫點的方法同樣存的問題是：棋子跳躍和落子的規則是由人的頭腦來監督的，能否制作出一個裝置，讓這個跳棋裝置按規則自動運行起來？

● 第二步：將變換規則也實體化

為了制作出一個自動實現變換的裝置，不僅要考慮變換對象和過程的實體化，還要考慮變換規則本身的實體化。

對于分層畫點的方案，存在這樣的問題：怎樣自動實現后一層畫的點比前一層畫的點恰好少一個？下面給出一種思路：設計出一種拼插板，每個拼插板均是數字1，規定必須將拼插板左右兩端同時插入拼插槽內，可以想象最上面一排拼插板是懸掛在空中的，新一層的拼插板如果只有一端插入拼插槽，仍然會因為重力作用掉落。按此規則拼接就能解決剛才的問題（如圖5）。例如，為了計算第3項三角形數，可以排列好三個拼插板，然后陸續將其他拼插板插入拼插槽內，最后拼接過程會自動停止（想象一下，雖然用于執行自動拼接任務的裝置始終在運轉，但拼接的圖案卻不會再發生變化），用到的拼插板的數量就是第3項三角形數6。

這樣，就在一定程度上將頭腦中的拼圖規則實體化了，可以讓學習者認識到，非實體化的規則是依賴于語言的，是靠人腦的規定而使得圖形產生變化，就好像下棋的雙方都必須遵守該種棋的規則那樣。而實體化的規則依賴于某種具體的結構，圖形的變換方式是在結構上被限定的。關于實體化，計算機科學中考慮的重點與通用技術學科中考慮的重點不同，在通用技術學科中，是考慮如何將設計圖樣轉換為實體，在計算機科學中，是考慮如何用實體的變換來同構狀態的變換過程。但這個方法的實體化還很不徹底，“必須將拼插板左右兩端同時插入拼插槽內”這一步還是需要人來實施。對比上面的拼插板，一個更傳統的實體化的規則轉換系統可能是這樣實現的：首先，用一個樹狀結構來對應先前的拼圖，樹的節點處是可以存儲狀態的，在第一行，按希望計算的項數連續畫點，在后續行中，只有當左前方并且右前方的節點的狀態是點時，前節點的狀態才是點，否則就是空，如上頁圖6所示。這個變換規則比先前的“每新加一層就少畫一個點”更明確，它解釋了“少畫一個點”在結構上到底是如何做到的。

接下來的任務，是將“只有當左前方并且右前方是點時，則當前格子里才是點”這一規則進一步還原為更實體的形式，那就是邏輯門之間的連接結構，圖7所示是一個可用于計算第n項三角形數的數字邏輯原理圖，它仿佛是橫過來擺放的樹，其基本原理是依靠用與門獲得鄰近兩個存儲單元的數據并實現邏輯運算的工作，這個可以互動的原理圖是在DigitalJS在線軟件中借助Verilog語言制作的，圖示展現的是計算第3項三角形數為6的情況。這個裝置實現了規則的“相對”實體化。為什么說“相對”呢？所謂的實體常常是相對于某個更實體的襯底而顯現出來的，而這個更實體的襯底，本身很可能也只是相對于其他襯底而相對顯現為實體，通常來說，只有最底層的電路和機械裝置才能算是絕對的物質實體。關于實體和襯底的關系，大家可以參考侯世達的《哥德爾艾舍爾巴赫：集異璧之大成》一書，限于篇幅這里不再展開。如果要將數字邏輯結構的層次進一步還原為更實體的裝置，就要將邏輯門展開為場效應管或晶體管電路了。

看完分層畫點的例子，再來看跳棋的例子，顯然，跳棋規則的實體化看上去更加困難，因為棋子不僅要跳過若干個未知數量的其他棋子，還要根據當作跳板的棋子的狀態來決定自己跳躍后落子時的狀態。這看上去很難仿照分層畫點的例子直接用邏輯原理圖來完成。所以需要引入一個相對實體化的中間裝置，來實現棋子的跳動。這里給出一種方案：設定某個檢測、匹配和替換裝置，它可以將檢測到的以某種模式鄰近的兩種棋子替換成另外一些棋子。實現整個自動化跳棋裝置的規則設定相當復雜，限于篇幅這里只給出局部的規則示例，圖8中所列的規則，就可以實現部分跳躍動作。

為了實現自動跳棋裝置，需要引入一些輔助的棋子，分別用“a”“b”“c”“d”“.”“_”等符號代表。“a*-->.b”的意思是，把“a*”棋子替換成“.b”棋子。單獨看這個替換規則，是難以發現其中的意義的，但這些規則組合起來使用，就能產生出類似程序變量賦值和分支語句判斷的效果（必須試一下才能體會到）。

接下來，還要思考這個裝置可能是怎樣制造出來的：假設有i1和i2兩個檢測器，當i1檢測器檢測到“a”，并且i2檢測器檢測到“b”時，則把檢測到的棋子替換成“.b”，在所有匹配和替換操作完成后，檢測器右移到新的位置重復剛才的操作。可以發現，這里用到了與的邏輯運算。

假設初始時，棋子按“a****_”的方式擺放，那么只要反復地按以上匹配替換序列操作，棋子的狀態就會成為“.....###_.”。

可見，這個自動裝置完成了兩項任務，一是“*”號跳棋在跳過“*”號跳棋后變成了“#”號跳棋，二是“*”號跳棋在跳過“#”號跳棋后消失。按類似的思路，將替換規則加以擴展，就可以實現完整的自動跳棋了。為了測試方便，可使用帶宏功能的文字編輯器，如WPS、Notepad++等來進行實驗。當然，這個自動匹配替換規則的裝置并非最底層的實體裝置，可以使用存儲器和邏輯門使其進一步實體化。在借助跳棋游戲來實現計算三角形數或自然數數列和的過程中，展現出一個相互依賴的層次系統，如圖9所示。

從計算思維培養的目標看，是希望學習者能夠認識到變換規則實體化過程中層次的存在，并從中領會到當前實現某種計算的變換規則系統，是如何依賴更底層的某個系統的變換規則來實現的。最后需要說明的是，雖然借助變換規則的實體化，可以實現并體驗某個特定的計算任務進行的過程，但如果目標不是為了實現某特定的計算任務，而是要創造出一個具有通用計算能力的裝置，必然需要設計一個特殊的實體化的裝置，這個裝置擁有能將各種實現特定計算任務的實體化裝置同構為一個虛擬裝置的能力，顯然，對這個問題的理解還依賴更高階、更綜合的思維。