由“一道題”的說課引發的思考

許柱 陳生茹

[摘 要]說課在一定程度上能夠反映授課教師的教育教學理論素養和教科研水平.文章由“一道題”的說課引發了思考：尺規作圖也需要“守規矩”，并以有限次運用標準中規定的尺規作圖的五個基本方法進行解法展示.

[關鍵詞]說課;試題;尺規作圖

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0010-03

說課，是指授課教師面對同行或評委，在充分備課的基礎上，系統地說出自己的教學設計及其理論依據.說課在一定程度上能夠反映授課教師的教育教學理論素養和教科研水平.2021年4月，筆者有幸成為泗洪縣第七屆（兩年一次）“推新人”大賽活動第四輪（即說課）的評委，此次說課的重點是說解題，即從給定的六道數學題中抽取一道進行說課.以下是筆者對“一道題”的說課的觀察與思考.

一、 試題呈現

已知：⊙[O1]的半徑[r=3]，⊙[O2]的半徑[R=8]，[O1O2=13].

（1）如圖1，若直線[l]與⊙[O1]相切于點A，與⊙[O2]相切于點B，求[AB]的長;

（2）尺規作圖：在圖2中作一條直線[l]，使它與⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]都在直線[l]的同一側.（保留作圖痕跡，簡要寫出作法，不需證明）

二、解法展示

本次活動中，“說解題”主要是由授課教師在相對封閉的環境中限時獨立思考，展示解題思路.以下是部分參賽選手給出的第（2）小題的幾種解題思路.

作法一：（如圖3）

1.以[O1]為圓心，12為半徑作弧.

2.以[O2]為圓心，5為半徑作弧，交前弧于點[B].

3.作射線[O2B]交圓[O2]于點[D].

4.過點[D]作[O2D]的垂線，交圓[O1]于點[E].

直線[DE]就是所求作的直線.（同理可以作出符合條件的另一條直線）

作法二：（如圖4）

1.以[O1][O2]為直徑作圓A.

2.以[O2]為圓心，以5為半徑作弧，交圓A于點B.

3.作射線[O2B]交圓[O2]于點[D].

4.過點[D]作[O2D]的垂線，交圓[O1]于點[E].（以下步驟同作法一）

作法三：（如圖5）

1.以[O1][O2]為直徑作圓[A].

2.以[O2]為圓心，以5為半徑作弧，交圓[A]于點[B].

3.作射線[O2B]交圓[O2]于點[D].

4.過點[D]作[O1B]的平行線，交圓[O1]于點[E].（以下步驟同作法一）

作法四：（如圖6）

1.以[O1]為圓心，[395]為半徑作弧，交射線[O2][O1]于點[B].

2.以[O1B]為直徑作圓，交圓[O1]于點[C]、[D].

3.作射線[BC]、[BD]交圓[O2]于點[E]、[F].

直線[BE]、[BF]就是所求作的直線.

作法五：（如圖7）

1.以[O1][O2]為直徑作圓[A].

2.以[O2]為圓心，[R-r]為半徑作弧，交圓[A]于點[B].

3.作射線[O2B]交圓[O2]于點[D].

4.過點[D]作[O2D]的垂線，交圓[O1]于點[E].（以下步驟同作法一）

三、“說解題”活動的思考

1.尺規作圖需要“守規矩”

習近平總書記曾提出“治理一個國家、一個社會，關鍵是要立規矩、講規矩、守規矩”.尺規作圖是指用無刻度的直尺和圓規作圖，顯然，尺規作圖也需要“守規矩”——有限次運用標準中規定的尺規作圖的五個基本作圖法.

作法一：在利用第（1）小題中的數據的基礎上，結合題目條件逆向使用數據進行作圖，類比得出分別以[O1]、[O2]為圓心，12、5為半徑作弧.12和5容易計算出來，難點是尺規作圖需使用“標準”中規定的五個基本作圖法，顯然5可以利用作同心圓得出，那么直接用12為半徑作弧是不“守規矩”的作法.作法四：看似簡單，但線段[395]不容易用尺規作圖去獲得，故以[395]為半徑作弧也是不“守規矩”的作法.

既然5可以通過作同心圓得出，那么作法二和作法一、作法四比較，作法二更趨于合理，所有的步驟都使用“標準”中的五個基本作圖法.作法三和作法二比較，只有最后一步不同，作法三是過點[D]作[O1B]的平行線，交圓[O1]于點[E]，作法二是過點[D]作[O2D]的垂線，交圓[O1]于點[E]，這一步方法的不同，更能考查參賽選手對于“標準”的課程內容的設置要求的了解程度.過一點作已知直線的垂線是“標準”中規定的五個基本作圖法之一.對于過直線外一點作已知直線的平行線，“標準”要求較低，不屬于尺規作圖規定的五個基本作圖法.由此可以看出，展示作法三的參賽選手沒有弄清“標準”中規定的五個基本作圖法.從這個角度來看，作法二優于作法三.作法五更具有一般性，從第一步到最后一步，每一步都嚴格按照五個基本作圖法去找點，與前面幾種方法相比較是最“守規矩”的通用作圖法，這種通用作圖法的獲得是建立在對“不守規矩”的作法一、作法三、作法四以及“守規矩”的作法二的總結反思、歸納思辨基礎上的.

2.講解題不等于說解題

“說解題”是說課的一種特殊形式，比賽中，很多參賽選手只說解題的過程，沒有說試題命制背景、考查目的、學法指導（解題思路、題目滲透的思想方法）等.解題固然重要，但它只是“說解題”的一個環節，所以“說解題”還應與說一節完整課的形式一樣.

3.教學預設需要“再創造”

教學“預設”指的是教師對給定教學內容的理解、鉆研和再創造，說課也體現了教師對教學過程的“預設”.本次說課多數參賽選手能說出1～2種解法，但很少有參賽選手對解法中“不守規矩”的作圖進行辨析，由此可見，參賽選手沒有對所給內容進行充分理解和鉆研，因此無法對所給內容進行“再創造”，從而顯得教學“預設”不充分.教師在“說解題”的過程中“預設”找到“守規矩”的作法五的通法后，再引導學生進行反思或猜想：可否作一條直線l，使它與⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]在直線[l]的兩側？類比作法五可得到作法六（如圖8）：

1.以[O1][O2]為直徑作圓[A].

2.以[O2]為圓心，[R+r]為半徑作弧，交圓[A]于點[B].

3.連接[O2B]，交圓[O2]于點[D].

4.過點[D]作[O2B]的垂線，交圓[O1]于點[E].（以下步驟同作法一）

以上，通過類比第（2）小題，即作一條直線[l]，使它與⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]都在直線[l]的同一側，“預設”是否能作一條直線[l]，使它與⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]都在直線[l]的兩側，引導學生思考，培養學生的創新意識，這樣才能體現教師對教學內容的“再創造”.

四、試題命制的反思

1.試題命制要呈現已有數學現實

在不斷學習中，學生前面所積累的數學知識和方法就成為學生的“數學現實”.這些數學現實，主要包含學生已有的知識、技能和經驗方法，它們應當成為學生進一步學習和解決新問題的基礎和素材.教材中呈現的內容也是試題命制的“數學現實”.人教版教材九年級上冊第103頁《圓和圓的位置關系》以實驗與探究的形式呈現，蘇科版教材九年級上冊第75頁和華師版教材第57頁以閱讀材料的形式呈現，而在該試題中解決第（1）小題的知識和方法成為學生解決第（2）小題的“數學現實”，體現了試題命制從熟悉問題（教材）到關聯問題（試題第（1）小題）再到綜合問題第（2）小題的思路.

2.試題命制要引導教學關注教材

好題源于教材，教材是把頂層設計的“標準”落地生根的載體，是各類考題、說課的最大資源庫，各類中考、高考試題的命制都是“源于教材，高于教材”.本題也是蘇科版教材第75頁《圓與圓的位置關系》的選學內容的一個延續.通過平時的課堂教學觀察可以發現，很多初中數學教師對課本例題、習題的教學不夠重視，而例題是習題的基礎示范，習題則是例題的遷移、鞏固、變式.數學教材中的例題、習題都是專家經過多次修訂、反復打磨而成的，其中的每一道例題、習題都具有代表性，體現了一定的數學思想方法.那么如何通過試題的命制，引導師生關注教材？試題第（1）小題考查學生基礎知識、技能的掌握和運用，相對應教材中的例題，解第（1）小題時能自然地聯想到遇切點連半徑的基本思路，構造出直角梯形，過點[O1]作[O2B]垂線，化未知（直角梯形）為已知（直角三角形和矩形）進行研究，最終使問題得以解決.試題中的第（2）小題則是第（1）小題的遷移、鞏固、變式，相當于教材中的習題.在理解第（1）小題的基礎上逆向思考第（2）小題的解題思路，先要構造直角三角形，根據直徑[O1][O2]所對的圓周角是90°作圓和以[O2]為圓心，[R-r]為半徑作弧找到[O2]上的關鍵點[D]，根據兩平行線之間的距離相等，作[O2D]的垂線，再依據圓心[O1]到直線的距離[d]等于半徑[r]，直線與圓相切，最后作出滿足條件的兩條直線.

3.試題命制要考查學生核心素養

喻平教授曾提出：從知識的理解到知識的遷移，再到知識的創新才能發展學生的數學核心素養.本題從第（1）小題到第（2）小題是知識的理解到知識的遷移的過程，第（2）小題的作法一至作法四利用數據5、12、[395]“不守規矩”作圖，是受第（1）小題負遷移的影響.從解決第（2）小題的思路分析，先構造直角三角形，再構造矩形，最終得到符合條件的直線，體現了知識正遷移.如果從畫圖而非尺規作圖的角度看，第（2）小題的作法一至作法四也體現了知識正遷移，如學生在解題中能夠想到通過數據5、12、13可以構造直角三角形，但數據12卻不容易通過尺規作圖獲得，因為尺規作圖要“講規矩”.最后通過思辨，可知要“講規矩”，只能以[O1][O2]為直徑作圓，以[O2]為圓心，由以8-3為半徑（特殊）到以[R-r]為半徑（一般）作圓，“守規矩”作圖得出作法五，真正實現了培養學生數學核心素養的目標.

新一輪義務教育數學課程標準修訂即將實施，我們的試題命制應實現知識目標到素養目標的轉型，從客觀主義到建構主義的位移，從淺層學習到深度學習的過渡，最終實現對學生知識評價到能力評價的變革.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 刁成海.說解題：一種別開生面的說課[J].中小學教學研究，2012（1）：23-24.

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[4]? 吳立寶，洪夢，王富英.數學教科書例、習題的關系研究[J].中學數學教學參考，2021（8）：75-78.

[5]? 馬小為.“長期主義”與專業成長[J].中學數學教學參考，2021（1）：1-2.

（責任編輯 陳 昕）