立足教材 靈活拓展

林淑金

[摘 要]以教材為根本，結合歷年中考真題，重視教材中相關知識點和重要幾何模型的梳理，是教師在上每節新課前要做的功課.教師應重視挖掘教材，并靈活拓展，讓學生真正進行深度學習.教師教學，既立足教材，又靈活拓展，能有效提高學生發現問題和解決問題的能力.

[關鍵詞]角平分線;性質定理;教材

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0018-03

一、學情分析

《角平分線》是北師大版教材八年級下冊《三角形的證明》中的內容，學生已經在七年級探索并認識了角平分線的性質定理，在八年級上冊學習了“互逆命題”“互逆定理”的概念，具備了一定的幾何推理能力，基本掌握了幾何圖形研究的一般思路和方法，但是對定理間的內在聯系及定理的應用缺乏深入的研究.我們借助引導學生學習角平分線性質的逆定理（在一個角的內部，到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），讓學生厘清定理間的內在聯系，以達到學以致用的目的.

二、教學重難點

重點：證明角平分線的性質定理，探索并證明角平分線的判定定理（性質的逆定理）;能運用角平分線的性質定理和判定定理解決問題.

難點：命題中的條件對命題的影響;歸納整理出幾何模型.

三、教學目標

（1）引導學生分析角平分線性質定理中包含的條件和結論，并合理調換條件和結論的位置產生新的命題，展開對新命題的研究.落實學生的主體地位，提高課堂教學效率.

（2）通過對新命題的深入研究，提煉歸納對角互補的幾何模型，加強幾何模型歸納和應用的意識.

四、教學過程

1.理解角平分線的性質定理

角平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.

問題1：“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”這個命題的條件和結論分別是什么？

學生回答：條件是角平分線上的點到兩邊的距離，結論是相等.

問題2：你能結合圖形用幾何語言正確表達出來嗎？

學生動手畫圖，書寫已知和求證.

已知：如圖1，點[P]在[∠AOB]的平分線[OC]上（改成[OC]平分[∠AOB]，點[P]在[OC]上），[PD⊥OA]，[PE⊥OB]，垂足分別為[D]，[E].

求證：[PD=PE].

問題3：這個命題證明的主要思路是什么？

學生：兩角一邊的條件可以證明兩個三角形全等，進而證明對應線段相等.

問題4：你能用幾何語言表達這個定理嗎？

學生：可以.∵[OP]平分[∠AOB]，[PD⊥OA]，[PE⊥OB]

∴[PD=PE].

師：標注條件①②③.

角平分線的性質定理就是①②?③.

①[OP]平分[∠AOB];② [PD⊥OA]，[PE⊥OB];③ [PD=PE].

設計意圖：教材中對這個定理的證明有完整的過程，教師的作用是引導學生分析定理中的條件和結論并正確表達出來.通過畫圖（如圖2）、標注條件、編朗朗上口的句子、畫完整的圖形等教學細節，使學生加深對定理的理解.

2.角平分線判定定理的探索

問題5：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.這個定理的逆命題是什么？是真命題嗎？

學生：到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.（其實學生不太懂，課本上寫著就照念了）

問題6：標注條件角平分線的性質是①②?③，性質的逆命題大多數是它的判定定理.例如兩直線平行，內錯角相等;內錯角相等，兩直線平行.前者是平行線的性質定理，后者是平行線的判定定理.那么角平分線的性質定理的逆命題是①③?②還是②③?①？

學生回答：②③?①.

問題7：你能結合圖形（如圖3）寫出條件和結論嗎？

學生：可以.

已知：（補充“點[P]為[∠AOB]內一點”）如圖4，[PD⊥OA]，[PE⊥OB]，垂足為[D]，[E]，[PD=PE].

求證：[OP]平分[∠AOB].

問題8：這個命題證明的主要思路是什么？

學生：一角兩邊的條件可以證明兩個三角形全等，進而證明對應角相等.

師：不夠準確，這里的兩邊一角并不是[SAS].應該是直角三角形的[HL]證明兩個三角形全等，進而證明對應角相等，得角平分線.

問題9：你能用幾何語言表達這個定理嗎？

學生：可以.

∵如圖4，[PD⊥OA]，[PE⊥OB]， [PD=PE]，

∴[OP]平分[∠AOB].

師：標注條件①②③.

①[OP]平分[∠AOB];②[PD⊥OA]，[PE⊥OB];③[PD=PE].

角平分線的性質定理就是①②?③.

角平分線的判定定理就是②③?①.

設計意圖：在幾何教學中，我們會遇到很多的互逆定理，這些定理很多時候都是圖形的性質定理和判定定理.教學時，教師可以不斷地使用“同位角相等，兩直線平行;兩直線平行，同位角相等”這兩個最初的互逆定理來啟發學生，讓學生在學習幾何的過程中能夠厘清知識點之間的關系.

3.對條件和結論調換位置產生的新命題

問題10：上面的標注條件①②③，有①②?③，還有②③?①，那么有沒有①③?②，大家動手畫圖試看看.

學生：應該有吧.

師：根據已知條件，邊演示邊講解.

問題11：如圖5：這個作圖過程說明了什么問題？

師生：已知[OP]平分[∠AOB]，[PD=PE]（以[P]為圓心，[PE]的長度為半徑畫圓，交[OA]于[D]點），但不能保證 [PD⊥OA]，[PE⊥OB]，也就是①③?②這個命題是假命題.這也說明了條件②是研究角平分線定理的前提條件，標注條件①③分別作為條件和結論構成了互逆定理，這樣也符合互逆命題的概念.

問題12：如圖6、圖7，已知[OP]平分[∠AOB]，[D]，[E]分別在[OA]，[OB]上，且[PD=PE].

師：大家分組看看，針對這樣的已知，可能會提什么問題呢？（設計題目）

生1：如圖8，若[PE=PD=5]，[OE=8]，點[P]到[OB]邊的距離等于4，[OD=]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

師：出題者上臺講題.

針對已知題設可能會出現的兩種情況，根據尺規作圖很容易分類討論.

這類填空題是有區分度的好題.

生2：如圖9，求證[△ODP≌△OEP].

師：很好，我們分析一下條件.[∠DOP=∠EOP]，[OP=OP]，[PD=PE]能直接證明嗎？

生2：（上臺講題）先根據角平分線的性質定理作輔助線[PN]，[PM]得[PN=PM];再根據[HL]證明[△PDN≌△PEM]，間接得到[∠ODP=∠OEP];最后根據[∠ODP=∠OEP]，[∠DOP=∠EOP]，[OP=OP]，證明[△ODP≌△OEP].

師：非常好.根據圖形直觀判斷，我們肯定可以證明兩個三角形全等.在條件不滿足全等判定條件時，我們通過二次全等得以證明，生2思路很清楚.

生3：如圖6，求證[∠ODP=∠OEP]，[OD=OE].

師：根據上面問題的解答，這個問題就很顯然了吧？延續生2的全等三角形思路，對應角、對應邊相等就沒有問題了.大家再想想如圖7的情況可以求證什么？兩個三角形全等？[∠ODP=∠OEP]？

生：不可能，看著就不相等.

師：角不能相等可能會有什么其他數量關系？

生4：如圖10，求證[∠ODP+∠OEP=180°].

師：非常合理的猜測，證明看看.

生4：（上臺講題）先根據角平分線的性質定理作輔助線[PN]，[PM]得[PN=PM];再根據[HL]證明[△PDN≌△PEM]，得到[∠ODP=∠PEM]，間接可以得到[∠ODP+∠OEP=180°].

師：好棒！思路清晰，講解完整！點C在角平分線上的位置不同，圖形也不一樣，如圖11、圖12、圖13.

問題13：應用我們這節課所學，大家能否解下面的題目？

已知：如圖14，在四邊形[ABCD]中，[∠ADC+∠ABC=180°]，[AC]平分[∠BAD].求證：[BC=CD].

問題14：角平分線，對角互補，線段相等，三條件解題的關鍵是：角平分線基本圖形輔助線是什么？

學生：兩垂直.

師：非常棒！動手試看看，誰可以上臺來講題？

生：作兩垂直線段如圖15，根據對角互補可以得到[∠ABC=∠CDM]，根據角平分線的性質可以得到[CN=CM].還有直角這個條件，就可以證明[△BCN≌△DCM].

師：看來大家都非常熟練掌握了角平分線的性質定理，對于它的基本圖形中的兩垂直也是印象深刻.對角互補的模型應用值得我們繼續研究，將它整理成一個專題，希望你們在課后查有關對角互補模型的資料，我們下節課再來一起分享和展示.

設計意圖：對于初中階段出現的幾何模型，學生一直是一知半解，大多是在解題時教師才提及這個就是對角互補的模型.但是對于各個幾何模型的根源及原生形態，很少有人提及.筆者認為在數學教學中注重拓展知識的自然性，有助于學生在解決問題時能聯想到最原始的基本圖形，分解圖形，降低難度.

4.課后作業

（1）如圖16，[∠AOB=∠DCE=90°]，[OC]平分[∠AOB]，求證：[CD=CE]，[OD+OE=2OC].

（2）如圖16，[∠AOB=∠DCE=90°]，[CD=CE]，求證：[OC]平分[∠AOB].

以教材為根本，結合歷年中考真題，重視教材中相關知識點和重要幾何模型的梳理，是教師在上每節新課前要做的功課.教師應重視挖掘教材，并靈活拓展，讓學生真正進行深度學習.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 佩利格里諾，希爾頓，沈學珺.運用深度學習提高21世紀能力[J].上海教育科研，2015（2）：1.

[2]? 朱紹志.中學數學教學要追求“五精”[J].中學數學教學參考，2018（35）：46-49.

[3]? 李軍.重視互逆命題教學，提高解題教學品位[J].中學教學，2014（14）：32-33.

（責任編輯 黃桂堅）