引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的階梯式題組教學(xué)初探
——以高中數(shù)學(xué)新教材“2.2 基本不等式”一節(jié)為例

黃清鈿

（大田縣第五中學(xué)，福建 大田 366100）

學(xué)好高中數(shù)學(xué)，學(xué)生需要閱讀課本，嘗試練習(xí)，上課聽講，獨立思考，順利解題.但并不是每個學(xué)生都能自覺進(jìn)行這五個方面的學(xué)習(xí)，在教學(xué)實踐中，教師往往會有以下問題需要解決：1.有什么辦法能讓學(xué)生自覺去閱讀課本？2.有什么辦法能讓學(xué)生自覺去嘗試完成課本或練習(xí)冊中的練習(xí)？3.有什么辦法能讓學(xué)生專心聽課、獨立思考？4.有什么辦法能讓學(xué)生用所學(xué)知識順利解題？這些問題的解決能有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率.而解決這些問題需要一個載體，教師通過這個載體促使學(xué)生自覺進(jìn)入深度學(xué)習(xí).階梯式題組便是解決上述問題的一個載體，它是由從簡單到綜合、從易到難形成梯度的幾個問題或習(xí)題組成的一個題組.教師通過階梯式題組教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生自主閱讀課本，自覺嘗試練習(xí)，主動聽課思考，實現(xiàn)學(xué)生順利地運用所學(xué)知識解題的目標(biāo).

一、課前預(yù)習(xí)的階梯式題組設(shè)計

閱讀課文是學(xué)生理解教材的基礎(chǔ)，而學(xué)生閱讀的重點在于概念、原理及其應(yīng)用.課前預(yù)習(xí)的階梯式題組設(shè)計要有利于引導(dǎo)學(xué)生閱讀分析教材中的概念、原理及應(yīng)用，常用方法可從以下幾方面進(jìn)行設(shè)計：

1.設(shè)計導(dǎo)入問題，引導(dǎo)學(xué)生了解本節(jié)知識的背景，為學(xué)習(xí)新概念、新知識作鋪墊

設(shè)計導(dǎo)入問題要依托教材中的導(dǎo)入內(nèi)容和探究內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計，有時也可選擇教材外的材料，但以教材導(dǎo)入內(nèi)容和探究內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計更有利于學(xué)生對教材的閱讀.設(shè)計的問題要有層次性，只要學(xué)生認(rèn)真閱讀教材就能找到問題的答案.例如，新教材高中數(shù)學(xué)必修1 第二章P44“2.2 基本不等式”（下同）導(dǎo)入問題可以進(jìn)行如下設(shè)計：

（1）對?a，b∈R，有（a－b）2≥0，比較a2＋b2 與2ab的大小（用“≥”表示）.在這個不等式中何時等號成立？

（3）如圖，AB 是圓的直徑，點C 是AB 上一點，AC=a，BC=b，過點C 作垂直于AB 的弦DE，連接AD，BD.利用此圖說明a、b 幾何平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的不等關(guān)系.

這一題組從易到難，基礎(chǔ)好的學(xué)生不看教材就能解決，基礎(chǔ)一般的學(xué)生通過閱讀教材也能順利完成.學(xué)生完成這一題組對本節(jié)的核心內(nèi)容就形成了初步的印象：兩正數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于其算術(shù)平均數(shù).

2.設(shè)計嘗試練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生讀懂關(guān)鍵知識點，關(guān)注課本例題在知識點應(yīng)用中的示范作用

嘗試練習(xí)題是檢測學(xué)生閱讀教材成效的一把尺子，它的設(shè)計要“好量”“可量”“量準(zhǔn)”.所以嘗試練習(xí)題的設(shè)計要緊扣概念、公式原理和例題并形成梯度，從易到難.例如“基本不等式”一節(jié)，可設(shè)計如下嘗試題，讓學(xué)生在預(yù)習(xí)時能獨立完成.

（2）已知ab=1，a＞0，b＞0，求a+b 的最小值.

（3）已知a+b=1，a＞0，b＞0，求ab 的最大值.

（4）課本P46 練習(xí)的1-5 題，P48 的小練習(xí)1-4.

這一題組的前三題是基礎(chǔ)題，幫助學(xué)生鞏固和理解基本不等式，學(xué)生一般能較順利地完成.第（4）題是教材的課后練習(xí)題，重點檢測學(xué)生對基本不等式的應(yīng)用，有一定的綜合性.學(xué)生在完成嘗試練習(xí)過程可能會碰到一些問題，但這些問題可讓學(xué)生在課堂上產(chǎn)生“求解欲望”，是教師課堂解惑的重要素材.

3.設(shè)計總結(jié)式問題，引導(dǎo)學(xué)生讀懂教材的核心內(nèi)容

學(xué)生預(yù)習(xí)一節(jié)課的內(nèi)容可能會泛泛而讀，抓不到重點，因此教師在布置預(yù)習(xí)內(nèi)容時要為學(xué)生提出總結(jié)式問題，學(xué)生可以按照這些問題在教材中尋找答案，這些問題解決了，本節(jié)內(nèi)容的核心就抓住了.例如“基本不等式”一節(jié)，教師可為學(xué)生設(shè)計如下總結(jié)式問題：

（1）什么是基本不等式？怎樣用兩正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)來表示基本不等式？

（2）怎樣直接利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式？

（3）從你所解的題型中總結(jié)出基本不等式的常見用途（不少于2 種）.

（4）運用基本不等式解決數(shù)學(xué)問題時需注意哪些運用條件？

這一題組可引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀課文，還能促使學(xué)生認(rèn)真完成嘗試練習(xí)并進(jìn)行思考總結(jié).特別是對知識點的應(yīng)用，學(xué)生可能總結(jié)得不完善、不全面，但學(xué)生通過獨立思考和研究便能加深對本節(jié)核心內(nèi)容的理解，為教師的課堂解惑環(huán)節(jié)打下較好的基礎(chǔ).

二、課堂解惑的階梯式題組教學(xué)

有了學(xué)生的課前預(yù)習(xí)，學(xué)生對所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容已有了初步的了解，知道這節(jié)課的主要內(nèi)容是什么，但也存在一些不能消化的問題.因此課堂教學(xué)要為學(xué)生答疑解惑，用啟發(fā)式教學(xué)幫助學(xué)生解決預(yù)習(xí)過程中存在的問題.如果只讓學(xué)生自己提出存在的問題進(jìn)行教學(xué)，那么這節(jié)課可能無法實現(xiàn)既定的教學(xué)目標(biāo)，因為學(xué)生在預(yù)習(xí)過程所碰到的問題多數(shù)是“這題不會做”“這題不會答”，缺乏深層的思考性.教師要用設(shè)問的形式設(shè)計若干問題形成階梯式問題組，引導(dǎo)學(xué)生提出問題并找到解決問題的辦法.課堂提問的階梯式題組教學(xué)主要從以下兩個方面提問并引導(dǎo)學(xué)生提出問題和解決問題.

1.關(guān)于概念、公式、定理理解的提問

由于高中數(shù)學(xué)抽象性較強(qiáng)，一些學(xué)生對數(shù)學(xué)概念定義、公式定理的理解存在障礙.教師的提問要有利于引導(dǎo)學(xué)生清除這些障礙.提問時可用階梯式問題組，一步步使學(xué)生在回答中理解概念、公式、定理.例如，“基本不等式”一節(jié)，正確理解基本不等式這個公式是本節(jié)課的關(guān)鍵，如何讓學(xué)生更好地理解這個公式并用好這個公式，教師可以進(jìn)行如下提問引導(dǎo)：

師：怎樣表示基本不等式？

師：大家說對嗎？是否缺點什么？你能補(bǔ)完整嗎？

生1：其中a，b 均為正數(shù).

師：基本不等式有哪些變式？公式變形后，a、b 的取值范圍有什么變化？

師：還有嗎？課本P46 的小練習(xí)第2 題（1）：x，y 都是正數(shù)，且x≠y，求證：.從中你可以得到什么啟發(fā)？

師：很好，同學(xué)們可以再總結(jié)一些其它的常用變形，匯總在一起備用.下面，誰來說說如何推導(dǎo)基本不等式？

生7：直接利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)，可見課本P44.

師：兩位同學(xué)回答得很好.再問：基本不等式這個公式中的a，b 代表什么？舉例說明.

生8：基本不等式中的a，b 可以代表兩個正數(shù)，也可以代表兩個大于 0 的代數(shù)式，例如+27.3；xy為正數(shù)，則.

師：很好.能否從課本例1、例2 中總結(jié)一下，基本不等式中的a，b 還可以代表什么樣的代數(shù)式？

眾生：和或積為定值的代數(shù)式.

師：沒有條件要求嗎？

眾生：和或積為定值的兩個代數(shù)式都必須大于0.

通過以上的啟發(fā)式教學(xué)，學(xué)生對基本不等式的內(nèi)容、條件、應(yīng)用便有了較深刻的認(rèn)識.

2.關(guān)于重要知識點應(yīng)用方法的提問

學(xué)生學(xué)習(xí)的效率關(guān)鍵在于能否順利應(yīng)用所學(xué)的內(nèi)容解題，因此課堂上教師要充分了解學(xué)生對例題的理解和嘗試練習(xí)完成的情況，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)新知識點應(yīng)用的方法.由于學(xué)生總結(jié)概括的能力不同，而且通過預(yù)習(xí)只是初步了解一節(jié)課的主要內(nèi)容，所以教師要有針對性地提出一些路徑，讓學(xué)生的總結(jié)有立足點，概括有參照點.教師可從知識應(yīng)用的題型種類引導(dǎo)學(xué)生概括知識應(yīng)用的方法，從例題、嘗試題、教師講評題的解法分析引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)知識應(yīng)用的方法.例如，“基本不等式”一節(jié)可以從以下幾個方面提問講解，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)概括知識點的應(yīng)用.

（1）從課本例題和嘗試練習(xí)中，你認(rèn)為用基本不等式求最值這類題目的主要特點是什么？怎樣求得這個最值？

（2）用基本不等式求最值需要注意三個條件：“一正、二定、三相等”，如何理解這句話？

（3）基本不等式的應(yīng)用有哪些題型？借助教材的例題習(xí)題、練習(xí)冊或輔導(dǎo)用書為以下四種題型配上一至二道習(xí)題并進(jìn)行解答，總結(jié)其解題方法：①利用基本不等式比較代數(shù)式的大小；②用基本不等式求代數(shù)式或函數(shù)的最值；③利用基本不等式證明不等式；④用基本不等式解實際應(yīng)用題.

這三個問題出示給學(xué)生后，可留一定時間讓學(xué)生思考，然后引導(dǎo)學(xué)生回答，學(xué)生回答不出來的，教師補(bǔ)充講解.其中第（3）個問題可讓學(xué)生前后桌討論交流，最后請個別學(xué)生總結(jié)回答，教師補(bǔ)充完善.

三、知識應(yīng)用的階梯式題組練習(xí)

數(shù)學(xué)是一門實踐性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)生每學(xué)一個知識點都少不了進(jìn)行一定量的應(yīng)用練習(xí).由于學(xué)生的基礎(chǔ)不同，學(xué)習(xí)成果各異，所以組織學(xué)生進(jìn)行課堂練習(xí)或課后作業(yè)，所提供的習(xí)題必須面向全體學(xué)生，讓每個學(xué)生都練有所得，并且通過練習(xí)能促進(jìn)學(xué)生鉆研教材或輔助用書，對一時難以完成的題目能按題索法，從教材或輔導(dǎo)書中尋找相似例題，分析其解法，并遷移解決教師布置的練習(xí)題中.這一過程是學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的有效體現(xiàn)，學(xué)生為解決眼前的問題必然翻動教材和相關(guān)的輔導(dǎo)書或者和同學(xué)討論研究，一旦問題得到解決，既可增強(qiáng)學(xué)生的愉悅感，又能讓學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用記憶深刻.要讓學(xué)生產(chǎn)生這種效果，設(shè)計練習(xí)題是關(guān)鍵，所出示的題目既不能讓學(xué)生無從下手，耗費大量時間，也不能讓學(xué)生輕松完成，沒有絲毫挑戰(zhàn)性.因此需要設(shè)計階梯式題組，同一類題型至少出兩題，先易后難.容易題是指絕大多數(shù)學(xué)生都能順利完成的題目，目的是讓中下生也能嘗到自主學(xué)習(xí)成功的甜頭；較難的題是只有一半左右的學(xué)生不能順利完成，需要借助教材或輔導(dǎo)用書的相關(guān)例題示范才能完成，目的是讓多數(shù)學(xué)生自主深度閱讀教材或輔導(dǎo)用書，培養(yǎng)學(xué)生自主解決問題的能力.例如，“基本不等式”一節(jié)，可按題型分類設(shè)計階梯式題組，其中用基本不等式求最值這一題型，可設(shè)計以下階梯式題組：

A.最小值6 B.最小值8 C 最大值8 D.最大值3

（2）容易題，添項變式后直接用公式：已知x＞2，函數(shù)+x的最小值是___.

（3）中檔題，公式變形后的應(yīng)用：已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab 的最大值等于（）.

A.4 B.8 C.16 D.32

（4）中檔題變式，結(jié)合“1”的性質(zhì)應(yīng)用公式的變形：若正數(shù)a，b 滿足a+b=1，則的最小值為__.

（5）較難題，添項變式及公式變形后的應(yīng)用：已知a＞0，b＞0，a+b=5，則的最大值為____.

這種從易到難的階梯式題組要結(jié)合學(xué)情設(shè)置，其中的容易題、中檔題、較難題是相對而言的，不能一概而論.只要能使多數(shù)學(xué)生較順利地完成三分之二的題目，且三分之一的題目通過進(jìn)一步閱讀教材或教輔書也能解決，則這樣的階梯式題組就是好題組.

四、階梯式題組教學(xué)中需注意的問題

如前所述，階梯式題組教學(xué)包含課前預(yù)習(xí)的問題題組，課內(nèi)的問題題組所進(jìn)行的啟發(fā)式教學(xué)，課堂應(yīng)用或課后作業(yè)的階梯式題組練習(xí)，每個環(huán)節(jié)都需要學(xué)生花一定的時間進(jìn)行自主學(xué)習(xí)思考實踐.因為高中數(shù)學(xué)的邏輯性較強(qiáng)，前后知識的聯(lián)系密切，一個小章節(jié)往往需要幾個課時才能完成，如果第一課時或單獨的某一個課時要進(jìn)行階梯式題組教學(xué)，有時在操作上有一定的難度，甚至無法進(jìn)行，因此需要將幾個課時的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，進(jìn)行小單元教學(xué)設(shè)計.教師在預(yù)習(xí)、課堂、鞏固練習(xí)各環(huán)節(jié)中設(shè)計的階梯式題組可在同一課時發(fā)揮作用，也可在不同課時發(fā)揮作用.根據(jù)一個小章節(jié)內(nèi)容的多少和難易程度，可將整個小章節(jié)作為一個小單元進(jìn)行設(shè)計，也可兩三課時的內(nèi)容作為一個小單元進(jìn)行設(shè)計.例如，“基本不等式”一節(jié)教材安排了兩個課時的內(nèi)容，第一課時介紹基本不等式的內(nèi)容和簡單應(yīng)用，第二課時舉例說明基本不等式在實際問題中的應(yīng)用.階梯式題組教學(xué)可將這兩個課時作為一個小單元進(jìn)行設(shè)計，在預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)就讓學(xué)生閱讀整個小單元的內(nèi)容.要完成本小單元的階梯式題組，學(xué)生可能會碰到比較多的問題，所以在第一節(jié)課堂上教師要結(jié)合學(xué)生的問題進(jìn)行有針對性的啟發(fā)式教學(xué)，讓學(xué)生在第一課時掃清概念、公式、知識點簡單應(yīng)用等方面的基本問題，第二課時再進(jìn)行階梯式題組訓(xùn)練和基本不等式應(yīng)用題型的拓展總結(jié).

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的方法多種多樣，但各種方法的共同點都是要讓學(xué)生動起來.在階梯式題組教學(xué)中只要設(shè)計好題組加上教師的啟發(fā)引導(dǎo)就能較好地讓學(xué)生動腦、動口、動手，從而提高學(xué)習(xí)效率.