遙測振動信號單通道盲源分離自適應濾波幅度校正方法

肖 瑛，馬藝偉，劉 學

(1.大連民族大學 信息與通信工程學院，遼寧 大連 116600；2.中國人民解放軍91550部隊94分隊，遼寧 大連 116023)

隨著盲源分離理論和算法的發展，盲分離技術在語音信號處理、醫學信號處理、機械故障檢測等領域得到了廣泛應用[1]。單通道盲源分離作為欠定盲源分離的一個特例，除利用信號的稀疏特性或將信號通過一定變換轉化為具有稀疏特性的稀疏化盲源分離方法[2]，利用信號分解擴維將單通道盲源分離轉化為正定分離問題的方法也得到了較好的效果，典型的如結合經驗模態分解的單通道盲源分離(empirical mode decomposition and independent component analysis，EMD-ICA)[3]、結合變分模態分解的單通道盲源分離[4]和結合小波變換的單通道盲源分離[5]。在盲源分離算法的研究過程中，幅度不確定性和順序不確定性目前仍然是難以解決的技術瓶頸問題[6]。盡管在很多工程上，幅度不確定性并不影響盲源分離技術的應用，但是，在故障檢測中，信號的幅度有時是不可忽略的一個重要因素。如在飛行器試驗遙測振動信號處理中，在準確獲得信號所包含分量的時間頻率信息之外，各分量的能量也是檢測和診斷時的一個重要依據。此時，利用盲源分離技術來處理遙測振動信號，對各分離分量信號進行幅度校正就成為一個關鍵問題。

盲源分離幅度不確定性的校正目前主要有兩種方法，最小失真法和分離矩陣歸一化方法[7]。最小失真法是以分離信號與觀測信號的能量方差最小為準則，隱含的約束條件是混合矩陣具有單位方差，即在混合過程中不改變源信號的能量。分離矩陣歸一化方法以每個頻率段能量為依據，強制每個頻率段上的分離信號以單位陣為標準進行伸縮，完成幅度校正，但是對于非平穩信號，以傅里葉變換為基礎的頻率能量估計是不準確的，這一方法的適用范圍受限。文中基于EMD-ICA的單通道盲源分離過程，在最小失真準則基礎上提出了一種基于自適應濾波的單通道盲源分離幅度不確定性校正方法。利用經驗模態分解(empirical mode decomposition,EMD)得到一系列本征模態函數(intrinsic mode function,IMF)分量，在對數坐標下依據邊際譜分布確定單通道信號所包含的獨立分量數目，并以對應的IMF組合作為獨立分量分析(independent component analysis,ICA)的觀測信號分量實現盲源分離。根據分離信號數目確定橫向濾波器階數，并將分離信號作為濾波器的輸入信號分量，以濾波器輸出和原始單通道信號設計自適應濾波算法的目標函數，通過自適應訓練使算法達到收斂，并將算法收斂后的濾波器權系數作為對應分離信號分量的幅度校正系數。仿真信號和某次飛行器試驗中某傳感器采集得到的遙測振動信號處理結果證明了文中提出方法的有效性。

1 EMD-ICA單通道盲源分離

1.1 EMD基本原理

希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang transform,HHT)是非平穩信號的一種有效處理方法，EMD是HHT的核心內容[8]，利用EMD可以將多分量非平穩信號分解為具有內蘊物理意義的一系列IMF。與小波變換相比，EMD不需要基函數，分解過程具有自適應性，并且已證明，EMD分解滿足局部正交性。EMD分解過程是首先找到待分解信號的所有極值點，利用插值方法擬合最大極值點和最小極值點的包絡線，計算得到上下包絡線的均值m(t)，從原始信號x(t)中減去m(t)，得到h1(t)[9]。

h1(t)=x(t)-m(t)

(1)

對h1(t)重復上述過程，直到h1(t)滿足IMF的條件，即極值點的個數和過零點數目相同或最多相差一個，且上下包絡線關于時間軸局部對稱。這樣，得到信號x(t)的第一個IMF分量h1(t)，記作c1(t)。在原信號中減去c1(t)得到一個新的信號x1(t)。

x1(t)=x(t)-c1(t)

(2)

將x1(t)作為新的待分解信號重復上述過程繼續得到第二個IMF分量c2(t)，直到x(t)中所有的滿足IMF條件分量被分解出來達到分解結束條件時，原始信號x(t)可以表示為

(3)

式中:m為分解得到的IMF的個數;r(t)為分解殘余分量，通常r(t)為信號中的長周期趨勢成分，不具有實際的物理意義。

由于EMD結果僅滿足局部正交性，因此分解得到的IMF由于能量泄露、模態混疊、端點效應等因素，會產生個別虛假分量，虛假分量也可以看作是數學計算插值過程中的產物。在實際進行信號處理和分析中，對虛假分量需要進行識別并剔除，常用的虛假分量識別方法為相關法[10]，即設定一個較小閾值，當某一IMF分量與原信號相關系數小于該閾值時，認為該IMF分量為虛假分量。

1.2 EMD-ICA實現流程

EMD-ICA單通道盲源分離的實現過程，如圖1所示。其中x(t)作為待分解的單通道多分量非平穩信號，經EMD后得到一系列IMF分量，采用適當的方法進行虛假分量剔除得到剔除虛假分量后的IMF組合，文中利用相關法進行IMF虛假分量的檢測和剔除。IMF分量組合作為ICA的觀測信號進行盲源分離，從而得到分離信號sj(t),j=1,2,…,n，實現單通道盲分離。

圖1 EMD-ICA實現流程Fig.1 EMD-ICA implementation flow

ICA的目的是在源信號和混合矩陣未知的條件下，僅僅依靠觀測信號實現對源信號的估計。設源信號為S(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T，混合矩陣為Am×n，觀測信號為X(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]T，那么混合模型[11]可以表示為

X(t)=AS(t)

(4)

如果混合矩陣的維數滿足m=n，由式(4)給出的盲源分離模型稱為正定分離問題。此時約束混合矩陣A滿足非奇異且時不變，即混合矩陣A滿秩可逆，那么必然存在一個可逆矩陣W使式(5)成立。

(5)

在采用EMD-ICA進行單通道遙測振動信號處理中，首先要確定信號中所包含獨立分量的數目。由于遙測振動信號具有非平穩特征，因此根據頻譜峰值判別的方法不嚴謹。相對于頻譜，邊際譜能反映信號某一頻率成分在信號周期中是否出現，因此邊際譜更適用于非平穩信號的分析[13]。由于EMD分解在對數頻率坐標下具有帶通特性，因此可以在對數頻率坐標下依據邊際譜峰值來確定構成原信號的獨立分量數目，并基于獨立分量數目檢測結果來組合IMF構成ICA的觀測信號分量。

對EMD分解得到IMF分量作希爾伯特變換可以得到

(6)

從而得到對應的解析信號

(7)

其中幅值函數為

(8)

相位函數為

(9)

對相位函數求導可以得到瞬時頻率為

(10)

這樣原信號就可以表示成為時間t和瞬時頻率ωi(t)的函數，稱為Hilbert譜

(11)

如果將Hilbert譜沿時間t進行積分，就得到了邊際譜

(12)

因此可知，邊際譜表示的是每個頻率成分在全局上的幅度貢獻，代表了在統計意義上的全部幅度數據的累加，或者說邊際譜表示的是某一頻率成分在信號的整個時間歷程中出現過。Wu等[14]利用高斯白噪聲的EMD分解證明了EMD在對數頻率上具有帶通特性，因此，可以根據對數頻率坐標下邊際譜的分布來確定單通道信號中所包含的獨立分量數目。

2 自適應濾波幅度不確定性校正

根據信號的混合過程式(4)可知，由于源信號和混合矩陣均是未知的，如果對源信號乘以任意一個不為0的標量ai，同時在混合矩陣對應的列上乘以1/ai，那么觀測信號X(t)的幅值不會發生變化，即無法確定源信號為si(t)還是aisi(t)，從而導致盲源分離幅度不確定性問題的產生。目前，最小失真法和分離矩陣歸一化方法是解決盲源分離幅度不確定性問題的兩種有效方法，最小失真法以分離后信號與觀測信號方差最小為依據，通過矩陣變換來確定最優分離矩陣，隱含的約束條件是混合矩陣具有單位方差，即混合矩陣不改變源信號的幅度，但是這一約束條件具有很大的局限性。分離矩陣歸一化方法以分離信號和觀測信號在不同頻率段上的能量為依據，強制每個頻率段上的分離信號以單位陣為標準進行伸縮，完成幅度校正。設某一頻段上分離矩陣為W(f)，則最優分離矩陣為

(13)

對于非平穩信號而言，以傅里葉變換為基礎的頻譜分析本身就是不完善的，典型的是如果某一頻率成分間歇性出現在信號的時間歷程中，如果該頻率成分持續時間很短，則該頻率成分在頻譜中體現的能量與信號本身實際的能量相比將被衰減，極端條件下會出現檢測失效的情況。因此在對非平穩信號處理中，分離矩陣歸一化方法并不可靠。

根據單通道EMD-ICA的過程可知，觀測信號由EMD產生的IMF組合構成，而EMD過程中的能量泄露有限，即EMD不會對單通道信號中的各獨立分量幅度產生影響。那么為了消除盲源分離過程中的幅度不確定性，使分離信號的和逼近原單通道信號即可。這里給出一種自適應濾波幅度不確定性校正方法，如圖2所示。

圖2 自適應濾波幅度校正原理框圖Fig.2 Block diagram of adaptive filter amplitude correction

(14)

根據最小失真準則，利用濾波器輸出與單通道信號x(i)設計目標函數為

J(i)=[y(i)-x(i)]2

(15)

利用隨機梯度下降算法對濾波器系數進行更新[15]。

(16)

式中,μ為學習步長，控制算法的收斂速度和精度。

(17)

e(i)=2[y(i)-x(i)]

(18)

則濾波器的更新公式可以寫為

(19)

當算法收斂后，可以得到最優的濾波器系數fopt，利用fopt對分離信號進行幅度校正可以消除盲源分離的幅度不確定性問題。

(20)

算法流程可歸納如表1所示。

表1 自適應濾波幅度校正算法流程Tab.1 Algorithm flow of adaptive filter amplitude correction

3 仿真分析與試驗數據處理

3.1 仿真分析

仿真中利用3個中心頻率不同的正弦信號疊加構成單通道信號，采樣頻率fs=2 048 Hz，3個正弦信號的中心頻率分別為f1=5 Hz、f2=20 Hz、f3=100 Hz。

(21)

式中,幅值幅度系數bi分別設置為b1=1、b2=2、b3=4。仿真信號的時域波形及其EMD分解結果，如圖3所示，其中圖3(a)為仿真信號的時域波形，圖3(b)～圖3(g)依次為EMD分解得到的從高到低各階次的IMF分量。

(a)

(a)

(a)

(a)

(a)

(a)

仿真信號對應的邊際譜,如圖4所示。在對數頻率坐標下可以清晰的分辨出信號x(t)包含3個獨立分量。對x(t)分解所得到的IMF利用相關法進行虛假分量判別和剔除，在相關法虛假分量判別中設置相關系數閾值為0.01，檢測結果顯示第5階和第6階IMF與原信號的相關系數分別為0.008 2，0.003 4，因此將第5階和第6階IMF進行剔除。

圖4 仿真信號的邊際譜Fig.4 The marginal spectrum of simulation signal

根據邊際譜檢測結果，將第3階和第4階IMF組合構成一路觀測信號，并與第1階和第2階IMF共同構成ICA的三路觀測信號，采用FastICA算法進行盲源分離，分離結果，如圖5所示，從圖5可以看出，得到的分離信號與源信號在幅度上具有較大差異。如果不對幅度進行校正，則會對時域中統計參數的求取和時頻分析中能量的分析產生嚴重影響。

采用文中提出的自適應濾波算法對分離信號進行幅度校正，濾波器階數為3，學習步長μ=0.001。幅度校正后的分離信號，如圖6所示。自適應濾波均方誤差收斂曲線，如圖7所示。從圖6中可以看出，經過自適應濾波幅度校正，各分離信號的幅度基本與仿真信號的幅度一致。

圖7 自適應濾波均方誤差收斂曲線Fig.7 MSE convergence curve of adaptive filtering

為量化說明自適應濾波幅度校正有效性，利用幅度校正后的分離信號與仿真信號的方差殘差來評價幅度校正精度。

(22)

(23)

從圖8可以看出:在信噪比較低的條件下(SNR<20 dB)，分離矩陣歸一化方法幅度校正精度很差;當信噪比較高時(SNR>20 dB)，分離矩陣歸一化方法幅度校正精度要優于最小失真法。而在不同信噪比條件下，本文提出的自適應濾波幅度校正方法精度均優于分離矩陣歸一化法和最小失真法。

圖8 不同信噪比(SNR)條件下的幅度校正結果Fig.8 Amplitude correction results under different signal-noise ratio(SNR)conditions

3.2 試驗數據處理

利用某次飛行器試驗中某一傳感器采集的高頻振動信號處理為例來說明文中算法的有效性，采樣頻率fs=5 kHz，經過降噪和趨勢項剔除的信號時域波形，如圖9所示。信號的邊際譜，如圖10所示，從圖10中可以看出，該信號包含3個獨立分量成分。對信號進行EMD分解并利用相關法(相關系數閾值設置為0.05)剔除虛假分量，得到的IMF結果，如圖11所示。對IMF分別根據各自邊際譜與原信號邊際譜的臨近關系進行組合，獲得三路觀測信號，利用FastICA進行盲分離，得到的結果，如圖12所示。從圖12可以看出，由于盲源分離的幅度不確定性，分離后信號的幅值與原信號差距很大。

圖9 某次試驗某傳感器采集的高頻振動信號Fig.9 High-frequency vibration signal collected by a sensor in a test

圖10 實測高頻振動信號的邊際譜Fig.10 The marginal spectrum of measured high frequency vibration signal

在自適應濾波算法中，濾波器階數為3，設置學習步長μ=0.001，經過幅度校正后的分離信號，如圖13所示。幅度校正后分離信號與源信號方差的殘差平均值為0.26，證明了自適應濾波幅度校正方法具有較高精度。

在對試驗數據處理結果中可知，利用對數頻率坐標下的邊際譜能夠更加清晰的分辨出信號中包含的獨立分量數目，自適應濾波幅度校正方法能夠有效消除盲源分離的幅度不確定性。雖然在大多數據處理分析中，更為關心的是信號的時間頻率關系，但是信號能量也是數據分析中不可忽略的一個重要因素，圖9給出的高頻振動信號中，包含低頻弱沖擊成分，低頻弱沖擊成分常是結構損失觸發的原因，是飛行器試驗中振動信號處理必須給予高度重視的分析檢測內容之一，而準確獲取該成分的能量量級具有實際意義。

4 結 論

單通道盲源分離在非平穩信號處理和分析中具有廣泛應用前景，消除盲源分離幅度不確定性在很多工程應用上具有實際意義。文中在EMD-ICA的基礎上，提出了利用對數頻率坐標下邊際譜來確定單通道信號包含獨立分量數目的方法，進一步提高了獨立分量數目判別的準確性。依據最小失真準則提出了一種自適應濾波幅度校正方法，該方法在單通道盲源分離中不需約束條件，仿真結果證明與最小失真法和分離矩陣歸一化方法相比，自適應濾波幅度校正方法具有更高精度，實測振動信號處理結果進一步證明了方法的有效性。