基于MO-RAMP插值模型的阻尼板GCMOC法拓撲減振優化

賀紅林，李洪坤，李 冀，趙偉鵬，余志豪

(南昌航空大學 航空制造工程學院,南昌 330063)

板件是航空航天結構、高鐵車廂、艦船壁板、車輛構架和工程機械重要的基礎結構件。隨著現代機械結構技術日益向功能復合化、輕量化、柔順化方向發展并隨著機械日益高速化、運行環境復雜化，板件振動及其引發的材料疲勞、結構噪聲和機器工作質量下降問題變得更加突出，因此板件減振設計已經成為高速、高精密、重載機械動力學設計的重要問題[1-2]。從抑振方法層面講，可采用主動振動控制、被動式減振或主被動一體化技術降低板的振動，但前者實現起來較困難并會使抑振系統變得復雜，因此為方便實施并提高抑振系統可靠性，工程上多采用被動式方法。在板面敷設一層黏彈阻尼材料而使其成為自由阻尼結構是最簡單板的減振形式，但它已被證明為減振效能不佳，此后在阻尼層外再增設一層薄金屬構成約束阻尼結構并試圖利用阻尼層高效的剪切耗能作用消弭振動，而后者卻成為了阻尼板減振的主流方式。在板面全域敷設阻尼材料理想取得較好減振效果，但它也帶來諸如質量大增、阻尼材料效能低下等系列問題，特別是對于航空器這類須為減少每一克質量而努力的場合，全域鋪設并非理想解決方案。因此保證減振效能基本不下降前提下，充分發掘阻尼材料減振效能并以最少阻尼材料消耗獲得最大結構減振效力，便構成阻尼板設計的基本問題。對此，人們開展了不少有成效的工作，比如文獻[3-4]引入類似于拓撲靜力學優化方法解決阻尼板減振優化問題，文獻[5]用移動漸近線法對建立的拓撲優化模型進行求解，文獻[6]提出增材式漸進拓撲優化法，文獻[7]則以聲壓為優化目標并利用漸進優化算法獲得阻尼材料的最優布局。但漸進法優化效率較低且優化結果易趨局域化。為此人們又研究變密度法在阻尼板中的應用，比如張志飛等[8]基于變密度法求解出自由阻尼結構優化模型并驗證了該方法的有效性；文獻[9]解決了多模態諧振激勵條件下阻尼板優化配置問題；文獻[10]研究了以模態阻尼比最大為目標的變密度阻尼結構優化技術；文獻[11]解算出基于RAMP(rational approxination of material properties)插值模型的阻尼板優化構形；李攀等[12]基于SIMP(solid isotropic material with penalization)模型并采用常規優化準則法優化阻尼板而顯著降低了其頻響幅值。基于變密度的優化準則法數學意義嚴謹、迭代效率較高并且對問題規模并無太多限制，當用于靜力學拓撲迭代時因能確保拓撲變量為正，故優化效果較理想，但當用于動力學優化問題時則因目標函數不一定有嚴格凸性，故不能保證迭代出的拓撲密度非負，從而導致優化結果不一定具全域優化性[13-14]。為提高阻尼板優化質量并發揮變密度法優勢，本文規劃出MO-RAMP(Multi-order RAMP)材料插值模型，根據序列凸規劃理論對常規準則法進行改進，提出采用基于MO-RAMP的改進準則法實現阻尼板拓撲迭代，以解決常規變密度法的優化構型不清晰、迭代效率不高以及優化結果局域化等問題。

1 動力學模型及模態損耗因子

阻尼板振動時因其約束層與阻尼層拉壓變形量不一致，導致阻尼層材料內部產生顯著的剪切應變，從而耗散掉結構大量的有害振動能。由于阻尼材料力學本構復雜，因此若要準確表征剪切耗能效應則難度很大，故為簡化分析，工程上針對求解精度要求不太高的黏彈阻尼結構動力學問題，常引入復值剪切模量模型度量其耗能特性，即

(1)

(2)

考慮到其幾何構型和力邊界的復雜性，故對一般構型阻尼板，采用有限元法求解其動力學參數為宜。為此分別對阻尼板基層、阻尼層、約束層進行網格化離散，并利用最小勢能原理建立單元的動力學平衡方程

(3)

(4)

(5)

當用模態迭加法求解式(4)時可給出其齊次解形式

(6)

(7)

Rao[15]推導出模態損耗因子與復數圓頻率間的關系為

(8)

(9)

將式(9)代入式(8)則得模態損耗因子算式

(10)

3 減振優化的數學模型

模態損耗因子是一個可度量結構耗能抗振特性的綜合指標，且其值愈大則結構抗振性愈佳。但對于以目標函數的梯度作為尋優基礎的優化方法如優化準則法等，卻要求目標函數以最小化形式呈現，故此定義模態損耗因子倒數值為優化目標。根據拓撲優化特點及結合變密度法要求，設定阻尼層單元及其對應約束層單元的相對密度為拓撲變量。就板件而言，對其結構振動響應產生主要貢獻的往往模態頻率處于載荷激勵頻區的少數幾階模態，即便是這些模態，其振動貢獻度也可能大小不一，在優化模型應能體現出其主次。為此，將各階模態損耗因子的倒數值加權求和構成最終的優化目標函數。在阻尼板上全域性敷設阻尼不僅會明顯增加質量并使阻尼層減振效能低下，而且還可能導致板的動力學特性劇變，這意味著在謀求減振效能時還應嚴控阻尼材料使用量及結構頻率等。綜上因素，建立阻尼板減振優化數學模型如下

(11)

3 優化模型的迭代求解

3.1 GCMOC迭代方法

阻尼板優化模型一旦建立便將動力學問題轉換成為數學問題，接下來便須采用適宜方法求解規范化最優化問題，此時優化準則法(optimality criteria method，OC)即成為一個重要的求解方法選項。常規OC法是從力學或物理觀點出發，根據有一定依據的假設，預先規定一組優化設計須滿足的準則，然后根據這些準則構建迭代式，最后通過迭代實現以得到優化結果。其迭代求解分析過程與拓撲變量數量及問題難易程度無關，并具有收斂快、原理簡單、易實現特點，故特別適于設計變量眾多、計算復雜的優化問題，而動力學拓撲優化恰是具有該特征的問題。但OC法也存在一個致命缺陷，即它要求目標函數具有嚴格數學凸性，否則難以迭代出全局性最優解。因此為提高優化迭代質量，本文對常規OC準則法進行改進而引入全域性改進優準則法GCMOC (global extreme point converged by method of optimization criterion)求解減振優化模型。GCMOC的思路是：以序列凸規劃理論為手段，通過引入移動參數構建動力學優化目標函數凸性逼近函數，借助對逼近函數的優解算而得到原目標函數的全域性解。為此，首先基于式(11)構建無約束拉格朗日函數

(12)

式中，Λ、βe、γe均為拉格朗日乘子。然后，引入移動參數c構造逼近ξ的凸性動態函數ξ*，亦即令

ξ=ξ*+cV,Λ=Λ*-c

(13)

接著，借助泰勒級數展開而構建ξ*的無限逼近函數

(14)

綜合式(13)、式(14)并且針對式(12)運用Kuhn-Tucker最小化條件，便可建立ae與c之間關系且得到拉格朗日函數式(12)的改造形式

(15)

(16)

式中，Ω、-Ω、+Ω分別為拓撲變量中間值、最小值、最大值的集合。最后，針對式(15)運用K-T條件，則得GCMOC拓撲設計變量的優化迭代式

(17)

式中，m為設計變量更新移動的極限值。

3.2 拓撲棋盤格問題的處理

針對拓撲迭代中可能出現的棋盤格問題和網絡依賴性，提出采用Sigmund獨立網格濾波技術對單元靈敏度值進行獨立濾波，即直接用過濾半徑rmin之內的各單元靈敏度?ξ/?xi的加權平均值，代替當前單元的靈敏度，則濾波后的單元靈敏度的值為

(18)

(19)

式中:rmin為濾波半徑；dist(i,j)為單元i與計算單元中心的距離。

4 基于MO-RAMP的目標函數靈敏度

4.1 目標函數靈敏度通式推導

解算結構拓撲動力學優化模型時，需使拓撲設計變量在可行性域內動態地沿某個方向迭代。目標函數的靈敏度可表征目標函數的最速下降方向，可為目標函數迭代提供最佳更替方向。特別是，式(15)清晰地表明，要完成拓撲設計變量更迭就須計算目標函數的靈敏度。由式(10)可知，目標函數靈敏度可寫成

(20)

可見為求解式(20)須先計算?ζr/?xe。由式(10)可得

(21)

(22)

式(22)對拓撲設計變量求導，可得到

(23)

(24)

(25)

(26)

將式(24)代入式(26)可得

(27)

根據式(26)可知，對于任意單元e都有

(28)

(29)

同理可得約束層應變能靈敏度以及基層與約束層之組合體的應變能靈敏度

(30)

(31)

4.2 MO-RAMP材料插值模型

4.2.1 MO-RAMP函數形式

拓撲動力學優化與一般優化問題的最大不同在于它必須將拓撲設計變量的優化值盡量推向0或1，盡量避免迭代出處于0.5鄰域內的拓撲變量值。故在針對以單元相對密度為拓撲變量的變密度優化問題時，為實現單元密度值0、1二值化，不僅須在阻尼單元密度與彈性模量之間建立明確的函數關系，而且要求該函數應具明顯迭代懲罰功能，以便據此規避可能迭代出大量中間密度值問題。RAMP插值函數用于靜力學拓撲優化時，能在對處于[0,1] 區間內的單元相對密度值進行較好的懲罰，并通過壓縮中間密度單元而向0～1兩端聚攏，以實現拓撲優化并取得較好優化效果。有鑒于此，它也偶爾引入到拓撲動力學優化領域，該插值函數的數學形式為

(32)

然而常規RAMP模型用于動力學拓撲迭代材料處罰時已證明會帶來較多中間密度值，不利于優化構型實施，并且還使實際優化效果大打折扣。為此，本文基于多階次依序懲罰之思路，構造了基于多階RAMP函數的MO-RAMP(multi-order RAMP)材料插值模型，該模型的實現流程如圖1所示。

圖1 MO-RAMP插值模型計算流程Fig.1 Calculation flow of MO-RAMP interpolation model

由圖1可見，MO-RAMP的基本思想是用RAMP中的f(xe)不斷地代替xe并使該過程重復n次。這樣做的目的是，使插值函數曲線下凹得更多并使函數曲線在1附近的斜率增加加快并使其在0附近增度減慢，以此逼近理想插值函數形態。經推導并簡化后，MO-RAMP插值函數的表達式可寫成如下一般形式

(33)

式中：p為懲罰因子；n為MO-RAMP的階次。

圖2為不同模型階次的插值函數幾何形狀，從圖中看出，隨著模型階次增大，函數曲線的下凹趨勢越明顯，并且這些插值函數能夠較好地使原本相對密度值處在0.65～1.00內的單元迅速推送到1，同時使相對密度在 0～0.65內單元迅速趨近于0。因此，與單階次的RAMP相比，MO-RAMP插值模型對中間密度的懲罰更為強烈而高效，故基本具備理想插值函數的樣態。

圖2 不同階次的MO-RAMP函數形狀Fig.2 Shape of MO-RAMP function

4.2.2 MO-RAMP材料插值模型

基于MO-RAMP插值函數的形式并結合變密度式拓撲動力學優化要求，同時比照SIMP材料插值模型構造方法，不難規劃出阻尼層的MO-RAMP材料插值模型，即為

(34)

(35)

4.2.3 優化目標函數靈敏度

為推導MO-RAMP插值模型下的優化目標函數靈敏度，令式(34)中的質量陣對拓撲變量求導，則得阻尼層質量陣分量靈敏度算式

(36)

將式(34)中剛度陣求導則得阻尼層的剛度陣靈敏度

(37)

式(37)中，χe(p+1)n/{(p+1)n-[(p+1)n-1]xe}同理可得

(38)

將式(36)～式(38)代入式(31)則得MO-RAMP插值意義下的阻尼板單一模態目標函數靈敏度計算式

(39)

5 算例分析及實驗印證

5.1 典型算例分析

為探討算法性能，利用ANSYS APDL編寫了基于MO-RAMP、RAMP、SIMP插值模型的阻尼板優化程序，且先針對某矩形板進行計算，該板的情況：長0.8 m，寬0.4 m；基層厚4 mm，約束層厚1.5 mm，阻尼層厚1 mm；基層和約束層采用相同材料且彈性模量43.2 GPa，密度1 810 kg/m3，泊松比0.33；阻尼層材料彈性模量2.5 MPa，密度1 150 kg/m3，泊松比0.58；阻尼板各層均離散出30×15個網格單元；板的幾何約束：左端固支+右端自由。優化迭代時控制阻尼材料用量不超過初始體積量的50%，濾波半徑取為30 mm，并分別對板的前3階模態及多階模態復合目標(前3階模態加權求和，權重因子則為w1=w2=w3=1/3)進行了優化。優化迭代求解過程中，令懲罰因子p=3，且取定MO-RAMP模型階次n=3；在用3種模型推進迭代時，均采用相同的濾波算法和濾波半徑。圖3給出了3種插值模型的優化構型對比，圖中的深灰色表示相對密度值趨于1，黑色表示密度趨于0，灰白色則表示密度值接近0.5。根據圖中展示的不同階次模態的優化密度分布云情況，不難看出，采用MO-RAMP插值解算出的優化構型最為清晰明快，構型的絕大多數單元密度值或者為1或者為0，并且密度云中密度值接近于0.5的中間密度單元占比明顯比RAMP和SIMP得到結果明顯要少。這說明MO-RAMP對中間密度單元取得了明顯的懲罰效果。當然也看到，即便采用RAMP插值則所求得的中間密度單元也比SIMP要少一些，這說明其對中間密度懲罰效果比SIMP好。此外，還可看到基于MO-RAMP的迭代避免了棋盤格的出現。

(a)MO-RAMP法1階

圖4給出了基于MO-RAMP插值模型的優化構型迭代進程。從圖中看出，當基于MO-RAMP模型分別針對1階模態和多階模態復合目標進行優化時，其迭代進程均在第8步左右開始進入收斂狀態，在此后各迭代步中，構型只出現微小的變化，并且1階模態損耗因子值最終收斂到0.141，而多階模態復合損耗因子值則收斂到0.125。

(a)針對一階模態的構型迭代

圖5給出了分別采用MO-RAMP和RAMP插值模型對阻尼板進行優化時，模態耗損因子的迭代進程。從圖中不難看出，當采用MO-RAMP插值模型推進優化迭代時，所得到的優化構型對應的1階模態損耗因子值比采用RAMP插值模型所得的結果更大，這表明MO-RAMP優化具有更好的減振效能。

圖5 MO-RAMP與RAMP的模態損耗因子迭代Fig.5 Iterations of modal loss factor based on RAMP and MO-RAMP

作為板的優化構形設計，除了必須滿足減振特性要求之外，還要求它具有與原構形接近的頻率特性。圖6給出了前3階模態頻率的迭代過程，從圖中看出，MO-RAMP與RAMP的前2階頻率迭代情況基于趨于一致，而在第3階頻率上則MO-RAMP的結果比RAMP大了且更接近于結構原頻率。可見，MO-RAMP優化出構型可以在基本不改變結構固有特性前提下，對于各階模態具有更好的減振效果。

圖6 基于MO-RAMP 與RAMP模態頻率迭代Fig.6 Iteration of frequency by RAMP and MO-RAMP

表1羅列了基于不同插值模型優化而得的阻尼板優化指標值。表中可見，就模態損耗因子指標而言，能使1階模態損耗因子取得最大值的是基于MO-RAMP模型求得的優化構型，而使多階復合模態損耗因子最大的雖為SIMP但該值與MO-RAMP求得的結果相差不大；從模態頻率指標來看，使一階頻率變化最小的也為MO-RAMP；而從迭代推進情況看，迭代收斂步數最少的仍是 MO-RAMP插值模型。這充分表明：若采用MO-RAMP模型，則能夠保證在結構頻率特性基本不變的條件，更為高效地迭代出更理想的拓撲優化構型。

表1 3種插值模型的優化性能對比Tab.1 Optimal characteristics of interpolation models

5.2 試驗結果印證

為使本文工作得到一定的試驗佐證，本文還專門針對李攀等研究中阻尼板進行了優化計算。該阻尼板的拓撲優化構形是由李攀得到，并且經過試驗驗證是比較合理的。表2列出了該阻尼板的情況。

表2 李攀等研究中的阻尼板基本參數Tab.2 Parameters of damping plate in research on Li Pan et al

該板有限元離散時，將其各層劃分出20×10個網格單元。體積約束仍設定50%，濾波半徑取15 mm，.分別采用SIMP、RAMP、MO-RAMP推進優化迭代。考慮李攀等的研究采用常規OC法，故為便于對比，本文的SIMP插值也采用OC，但針對其他插值模型則用GCMOC算法。圖7給出基于各插值模型迭代出關于1階模態優化的密度云分布，圖中可見，本文基于MO-RAMP求得的優化構型與李攀等的研究展示的優化構型總體上還是比較接近的，這就說明本文得到拓撲構型具有構型優化的特質。至于本文結果與李攀等的研究的結果并非完全相同，這主要是因它們使用了不同的插值模型、采用了不同的迭代算法以乃至于濾波半徑所致。

(a)未優化-全覆蓋

為進一步驗證基于MO-RAMP求得的優化構型的正確性和有效性，本文對具有優化構型的阻尼板進行了諧響應分析，并將其結果與李攀等的試驗結果對比。圖8給出了激振點和振動響應提取點。

圖8 阻尼板的激振點和提取點位置Fig.8 Excitation and test points on damping plate

圖9展示了未經優化的原阻尼板和經SIMP插值優化而得阻尼板的試驗結果，以及分別經MO-RAMP 和RAMP插值優化而得阻尼板諧響應分析結果。圖中可見，在前3階振動模態的峰值響應中，振幅最小的均發生在MO-RAMP模型優化出的阻尼板構型上，同時該構型的頻率變化也最小，并且它還不會出現中間微小振蕩。這就進一步驗證了MO-RAMP插值模型的有效性及其績優性。

圖9 優化阻尼板的幅頻響應對比Fig.9 Harmonic responses of the optimized plate

6 結 論

(1)以模態損耗因子最大化為目標，建立了以阻尼和約束單元相對密度為拓撲變量，以阻尼層材料體積用量為約束，并以模態頻率范圍為控制的約束阻尼板優化數學模型。

(2)構建了優化目標函數的動態凸性逼近函數，通過對逼近函數進行優化求解，改進了OC法。改進準則法可實現阻尼板全域性拓撲尋優。

(3)多階次RAMP插值函數在形狀上具有較理想的可控性幾何下凹特征，據此提出在拓撲動力學優化中利用MO-RAMP材料插值模型對拓撲變量進行懲罰，從而有效地推進優化迭代進程。

(4)基于MO-RAMP的改進準則法，可以將阻尼板拓撲設計變量值迅速推送至0或1，能得到非常清晰的拓撲優化構型；能在大幅減少阻尼材料用量情況下充分發揮其耗能效力；能在保證阻尼板動力學特性基本不變前提下，使阻尼板獲得更佳減振效果，并得到便于實現的阻尼層優化構型。