浮動基多機協調吊運系統的動力響應仿真分析

王志睿，趙志剛，蘇 程，單子偉

(蘭州交通大學 機電工程學院,蘭州 730070)

海上吊運是海上作業的重要組成部分。在船舶間重型貨物的裝卸、海面補給作業、深水海洋工程作業等任務中，吊運作業都是極其重要的環節。海上特殊的工況為海上吊運作業帶來了很大的挑戰。一方面，類似于地面固定基吊機的吊運作業，負載會在吊機的工作過程中產生擺動，從而影響負載定位精度與運輸效率；另一方面，由于浮動基座不僅會受到風浪的影響，船體上部機構的運動也會引起整個系統復雜的運動響應。這些因素都會威脅海上吊運作業的安全，可能造成嚴重的工作事故。因此，傳統的船用起重機在精度、效率、負載能力和安全性能等方面都無法滿足海上吊運作業日益增長的工作要求。

將柔索并聯機器人與船用起重機結合，提出一種新型浮動基多機器人協調柔索并聯系統，能夠有效彌補傳統船用起重機的缺陷。浮動基多機協調并聯系統不僅具有較高的負載能力，而且通過實時控制柔索并聯系統，可以有效消除被吊運物的晃動，從而提高海面吊運作業的準確性、穩定性、安全性。

目前國內外對多機協調的柔索并聯系統已經進行了深入的研究，并且設計了不同的構型，以滿足復雜的工作要求。Michael等[1-3]通過3臺直升機建立了6自由度協調吊運系統，對系統的運動學、動力學、穩定性進行了系統地分析。Peng等[4]設計了多機器人協調拖拽系統，分析了系統外部所受的摩擦力及內部的拉緊力，建立了系統的運動學模型，分析了不同構型配置時的系統配平。Zi等[5-8]設計了一種混合驅動柔索并聯機器人，并系統地研究了其力學性能與跟蹤控制技術。趙志剛等[9-11]通過3臺直角坐標機器人與3條柔索，協調控制被調運物的位置與姿態，對整個系統的運動學、動力學及穩定性進行了分析，并且通過實體試驗證實了理論分析的準確性。上述系統多為柔索并聯系統應用于地面的工作場景，此時機器人為固定基座，柔索的動張力不會對機器人末端位置的運動軌跡造成影響。本文所提出的浮動基多機器人協調柔索并聯系統在工作過程中柔索的動張力會對機器人末端位置的運動軌跡造成影響，此時系統內會發生復雜的耦合現象。故該系統不僅具有很高的工程應用價值，對于繩牽引并聯機構的相關理論研究也具有新的意義。

對于浮式機器人的研究可以參考海面起重船的相關研究。國內外研究發現起重船作業是非常復雜的非線性運動。Idres等[12]建立了起重船的8自由度動力學模型，并結合仿真與試驗，最終認為負載與船舶之間的耦合是單邊的；董艷秋等[13]分析了船用起重機在波浪狀態下的動力響應；任會禮等[14]建立了浮吊船在波浪作用下的非線性動力學模型；王鵬程等[15]在非慣性系中對船用起重機進行了動力學分析。值得指出的是，現有的研究一般只考慮船體運動對負載運動的影響。對于起重船作業時，上部機構運動與船體運動在力學上的自激運動響應缺乏有效的分析方法。故目前在對船用起重機進行動力學研究及控制器設計時將吊物系統視為一個時刻受到外部激勵的球擺模型。但此時系統各部分運動與受力的對應關系也不明顯，未能突出該系統動力學的重要特點。

本文以靜水面多機協調起吊作業為背景，利用拉格朗日方程聯立了浮基和吊物系統的非線性動力學模型，同時利用數值分析的思想提出一種新的起重船吊物系統雙向動力學耦合分析方法。并結合實例，利用數值仿真分析了負載、浮基、柔索之間力學關系的影響，驗證了分析方法的有效性。

1 系統結構及運動學分析

1.1 多浮式機器人聯合吊運系統結構分析

圖1為浮動基多機協調吊運系統的空間構型簡圖。整個系統由3臺結構相同的浮式機器人、柔索并聯系統以及負載共同構成。其中浮式機器人的下半部分為浮式平臺，上部機構可以按照需求設定。本文中浮式機器人的上部機構選擇為3自由度肘型機械臂。負載通過柔索與機械臂末端執行器相連且懸掛于3臺機械臂末端執行器的下方。3臺浮式機器人的空間相對位置可依據不同的應用場景進行實時設計。

圖1 浮動基多機協調吊運系統空間構型Fig.1 The layout diagram of the floating-base multi-robot lifiting system

在水平面上一點，建立慣性坐標系O-XYZ，在浮基的質心處建立浮基坐標系Osi-XsiYsiZsi，其中Xsi軸正方向指向船頭且平行于甲板，Zsi軸正方向垂直于甲板向上。在機械臂根部中心處建立機械臂坐標系Oi-XiYiZi，Zi軸垂直于甲板平面向上，XiYi平面平行于甲板。Pi、bi為機械臂末端與被調運物之間的連接點，Li為連接點間的柔索矢量。其中i=1,2,3分別對應3臺浮式機器人。

在重物的質心G處建立重物坐標系Og-XgYgZg,則坐標系Og相對于坐標系O的位置(x,y,z)為被吊運物在全局坐標系中的位置矢量，則坐標系Og相對于坐標系O的姿態角(θ1,θ2,θ3)為被吊運物的姿態角。機械臂的臂長為(ai1,ai2,ai3)，機械臂的轉角為(θi1,θi2,θi3)。

上述吊運系統中，系統末端負載自由度為6，而僅有3根柔索作為吊運系統的驅動輸入，系統構型為3T3R(三平動三轉動)，吊運系統為欠約束系統。該類型系統雖然具有較高的靈活性，但僅適用于較慢速度的吊裝作業。因此簡化設計一種具有完整約束的3T(三平動)構型的，該系統即具有較高的靈活性，也具有超確定輸入、快速定位的特點。此類機構在工業、軍事、航天等領域具有較好的應用價值[16]。

當系統構型為3T構型時，可假設3根柔索與負載的連接點為同一點。連接點為P(x,y,z)。

1.2 浮式機器人運動學模型

3臺浮式機器人結構相同，以一臺為例進行運動學建模。如圖2所示，用卡爾丹角來表示浮基的運動，浮基繞Xsi軸的旋轉角αi表示浮基的橫搖，繞Ysi軸的旋轉角βi表示浮基的縱搖，繞Zsi軸的旋轉角γi表示浮基的首尾搖。

圖2 浮基坐標系Fig.2 Floating coordinate system

船體在空間內位置(xsi,ysi,zsi)可表示船體的橫移、縱移和升沉運動。則船體坐標系與慣性系之間的齊次矩陣為

R=

(1)

圖3為浮式機器人結構簡圖，3臺浮式機器人結構相同，機械臂坐標系原點Oi在船體坐標系Osi中的位置為(xi,yi,zi)，機械臂坐標系相對于船體坐標系的轉角為φi，故機械臂坐標系與船體坐標系之間的齊次矩陣為

圖3 浮式機器人結構簡圖Fig.3 Structure diagram of floating robot

(2)

(3)

式中：ci1、ci2、ci3為機器人3個關節角的余弦值；si1、si2、si3為機器人的3個關節角的正弦值。

則慣性坐標系中，機械臂末端點在的齊次坐標(xbi,ybi,zbi,1)為

(4)

將式(4)展開求導即可求出機械臂末端在慣性系中速度、加速度與船體運動之間的關系。根據機械臂末端在慣性坐標系中的期望運動軌跡和浮基的運動規律，利用式(4)可以求出bi在O-XYZ中的運動規律。

1.3 吊運系統運動學建模

負載為剛體，當負載在空間具有6個自由度時，將負載的運動分解為剛體的平動及繞定點轉動。

負載質心G在坐標系O-XYZ中的矢徑為

rG=(x,y,z)T

(5)

則負載的平動速度可以表示為

(6)

利用廣義歐拉角θi(i=1,2,3)來描述負載在空間中的轉動，則引入旋轉矩陣為

RG=Rθ3Rθ2Rθ1=

(7)

根據歐拉定理，利用矢量加法合成負載角速度

(8)

將式(8)，在連體基中分解，得到ω在連體系上的投影為

(9)

在局部坐標系Og-XYZ中，柔索與負載連接點坐標為pi,設連接點在全局坐標系O-XYZ中的坐標為Pi=[xPi,yPi,zPi]T，則可以表示為

Pi=RGpi+rG

(10)

當吊運系統的構型為3T構型時，負載只具有3個平動自由度，此時用式(5)、式(6)即可表示負載的運動狀態。當構型為3T3R時，負載為6自由度，則聯立式(5)～式(9)表示負載的運動狀態。

1.4 吊運系統的運動學約束

如圖1所示，在系統的工作過程中，當吊運系統處于有效工作狀態時，3根柔索處于繃緊狀態。根據矢量三角形法則，在慣性坐標系內，建立如下約束方程

(11)

當已知浮基和機械臂的運動規律時，將式(1)～式(5)、式(7)、式(10)代入式(11)，則可求解在慣性坐標系內機械臂末端坐標(xbi,ybi,zbi)、實時繩長Li、連接點坐標、負載位姿(x,y,z,θ1,θ2,θ3)之間的運動學關系式。

同理，當系統為3T構型時條柔索與負載的連接點為同一點，故可以依據3條柔索約束建立被調運物的空間約束方程組為

i=1,2,3

(12)

當已知浮基和機械臂的運動規律時，將式(1)～式(5)代入式(12)，聯立求解，即可求得負載位移的實時運動學解。

2 系統動力學建模及耦合分析

2.1 浮基動力學模型

浮基處于無波浪的靜水中，且航速為0。在實際工況中，浮動基均為船體，船體內通常都設置有船用渦輪機及自平衡裝置，在靜水工況下可以有效消除浮基的橫搖與縱搖。故為了簡化模型，現著重研究浮基沿Z向的垂蕩運動響應對整體系統的影響。浮基的升沉運動微分方程為

(13)

2.2 吊物系統動力學模型

利用分析力學中的第二類拉格朗日方程，建立吊運系統的動力學方程。

已知負載的線速度矢量，則負載質心的平動能為

(14)

TZ為負載的轉動能，則有

JYZωYωZ+JZXωZωX+JXYωXωY

(15)

負載的總動能為

T=TP+TZ

(16)

取為O-XY零勢能面，V為負載的重力勢能,故

V=Mgz

(17)

式中：M為負載的質量；g為重力加速度。

引入拉格朗日函數L，選取負載在空間位置坐標及負載的姿態角(x,y,z,θ1,θ2,θ3)為廣義坐標qi。負載所受主動力中部分為有勢力，則拉格朗日方程為

(18)

式中，fi為作用于負載的廣義力(矩)。Fi為柔索動張力，利用虛功原理，可以求得廣義力

(19)

產生旋轉的廣義力矩為

(20)

當吊運系統構型為3T3R時，系統為6自由度，吊運系統動能考慮轉動能與平動能，同時考慮廣義力fi=1,2,3與廣義力矩fi=4,5,6。聯立式(10)、式(11)及式(14)～式(20)，共含有9個未知量，方程封閉，構成吊運系統的運動微分方程。

當系統為3T構型時，吊運物系統只具有3個平動自由度，此時系統動能只考慮平動能，故只考慮系統具有廣義力fi=1,2,3。聯立式(12)及式(14)～式(20)，含有6個未知量，方程封閉，構成吊運系統的運動微分方程。

2.3 系統動力學耦合分析

目前主要的研究文獻中，針對于起吊船在水中的研究都假設在時域T內考慮浮基與吊物系統之間的耦合是單向的，即浮基的運動引起吊物系統的強烈擺動，忽略上部機構的作業引起的運動響應。靜水中浮基在時域內的運動狀態由初始時刻所受的外力及外力矩決定。但也提出需要進一步研究上部機構對浮基運動的影響，以及貨物和船舶的質量比。

本文在單向耦合假設的基礎上，引入數值分析的思想，提出一種新的模型來描述浮基運動與上部機構作業之間的雙向耦合動力學響應。

如圖4所示，將作業時域T劃分為N個等距的時間步，任取其中的時間步ΔTn(n

圖4 雙向耦合分析模型Fig.4 Analysis model of bidirectional coupling

2.4 系統雙向動力學耦合求解方法

將時域內求解系統雙向動力學耦合的方法主要分為N+1步。

第一步：給系統內各變量賦初始值

將時域T均勻劃分為N個等距的時間步，則有ΔT1,ΔT2,ΔT3……ΔTn。t1=0為整個時域T的初始時刻也是時間步ΔT1的初始時刻。

t1=0時刻，浮基的運動狀態給定，機械臂的運動狀態給定，求得吊點b1、b2、b3在慣性坐標系中的位置坐標。

設定t=0時刻負載的空間位置及加速度，聯立 求解柔索張力F1。

根據柔索的張力F1，以及柔索的空間位置，求解初始時刻吊運系統作用在對應浮基上的作用力f1及作用力矩M1。

第二步:進入總時域循環,解算第一個時間步

① 在時間步ΔT1內，利用四階龍格庫塔法求解在浮基在外力f1、外力矩M1作用下的運動規律。

② 根據所得浮基運動規律以及機械臂的運動規律，合成t1內機械臂末端吊點b1、b2、b3的運動規律。

③ 根據吊點b1、b2、b3運動規律以及負載的初始運動狀態，在ΔT1內求解吊運系統的運動微分方程，得到吊運物的運動規律及柔所張力變化情況，求解吊運物的運動規律及柔索張力變化情況。在ΔT1時域內，柔索張力由初始時刻的F1變為F2。

④ 根據①～③的計算，聯立浮基在ΔT1的末位時刻的運動狀態，以及柔索張力F2，求解此狀態下柔索的作用于浮基的力f2及力矩M2。

第三步：以f2、M2為浮基的作用力及作用力矩，按照①～④的計算方法，計算下一時間步ΔT2內的系統運動規律。

按照上述計算方法，順次循環至N+1步，直至計算完末位時間步ΔTn。ΔTn的末位時刻tn+1即時域T的末位時刻，tn+1時刻系統的運動狀態即系統在時域內的最終運動狀態。

3 數值仿真分析

3T構型屬于完整約束系統，具有輸入確定，靈活性精準性高的特點，在實際應用中較多。故本節利用MATLAB仿真軟件，以3T構型為例，在指定工況下，分別對系統進行單向耦合和雙向耦合仿真。

3.1 初始條件及工況設置

設定浮式機器人的初始參數，其中浮動基座的構型參數為：L=10 m、W=3 m、H=4 m。機械臂的初始構型參數為：ai1=15 m、ai2=20 m、ai3=20 m、xi=0、yi=0、zi=2 m、φi=0.25π。浮式機器人靜止于水面時浮基吃水深度為2 m，吃水量為6.0×104kg，流體密度ρ=1×103kg/m3。3臺浮式機器人在空間中呈品字形正三角形布置，則表1為3臺浮式機器人各點在慣性坐標系的初始坐標。

表1 浮式機器人初始坐標Tab.1 Initial coordinates of floating robot

吊運系統構型參數：負載質量m=1.5×104kg；柔索長度L1=L2=L3=30 m。負載質心的初始位置為(40,23,22),考慮負載重力的最終影響，負載質心的目標位置為(40,23,29.3)。

整個系統處于靜水中，整個系統的工作狀態分為兩個階段。第一個階段為0～6 s，3條柔索均以0.5 m/s的速度勻速收縮，機械臂轉速均為0；第二個階段為6～60 s，系統自平衡階段，柔索速度及浮式機器人轉角轉速為0。分析雙向耦合時，將T=60 s均分為120個時間步，每個時間步ΔT=0.5 s。

3.2 仿真結果分析

經過對比仿真結果，發現由于系統呈對稱構型布置，3臺浮式機器人及柔索的運動學及動力學變化規律一致，故任取其中一臺浮式機器人與一條柔索為例。

3.2.1 浮基動力響應情況

圖5(a)、圖5(b)分別是考慮單向耦合情況與雙向耦合情況下浮基的位移曲線。在忽略吊物系統對浮基運動的影響時，浮基在整個時域內呈現自平衡衰減運動。在考慮吊物系統對浮基運動的影響時，由于繩索張力的不斷加大，導致浮基的下沉加劇，當柔索停止收縮，此時浮基進入自平衡衰減狀態。

(a)單向耦合

3.2.2 負載動力響應狀況

圖6(a)、圖6(b)分別是考慮單向耦合情況與雙向耦合情況下負載的位移曲線。0～6 s 3條柔索勻速收縮，但由于負載運動受浮基運動的影響，負載變速上升。6～60 s負載隨著浮基的運動而運動，這個階段整個系統處于自平衡階段。在自平衡階段，在忽略吊物系統對浮基的影響時，負載的最終平衡位置為29.3 m，負載基本到達目標位置；在考慮吊物系統對浮基的影響時，由于繩索張力的增大，導致浮基下沉加大，負載最終平衡位置為29.03 m。

(a)單向耦合

3.2.3 柔索動張力

圖7(a)、圖7(b)分別是考慮單向耦合情況與雙向耦合情況下柔索的動張力曲線。考慮單向耦合的情況下，隨著柔索收縮，柔索張力不斷增加，由于在6 s柔索突然停機，此時吊運系統出現失效狀態，導致柔索失去控制。但隨著浮基的運動，柔索被繃直，柔索拉力逐漸穩定。考慮雙向耦合的情況下，由于浮基和吊物系統的相互影響，系統內能量不斷抵消，負載上升的加速度較為平穩，拉力上升曲線更加平穩。當吊運系統停機時，負載加速度較小，吊運系統并未出現失效狀態。

(a)單向耦合

4 結 論

對浮動基多機協調并聯吊運系統的動力響應進行分析。首先依據系統構型情況的不同，將吊運系統分為兩類；然后利用D-H變換及齊次變換矩陣對浮式機器人進行運動學建模，旋轉矩陣對吊運系統進行運動學建模；隨后利用拉格朗日方程建立了系統的動力學模型；并提出一種新的模型來描述浮基與吊運系統在動力學上的雙向耦合，并論述了雙向耦合模型的求解方法。最后以3T構型為例，對單向耦合和雙向耦合下的系統的運動響應進行了數值仿真分析，獲得了雙向耦合情況下浮基位移、負載位移和柔索動張力的變化曲線,并對比了仿真結果。結果表明，在考慮動力學的雙向耦合時，吊運系統會對浮基運動造成很大的影響，同時浮基運動也會消耗負載的動能。研究結果為該機構的進一步理論研究設計及控制系統研究奠定了基礎，同時也為起重船吊物系統的動力響應研究提供了新的思路。