變后掠翼的參變氣動彈性建模與分析1)

張立啟 岳承宇 趙永輝

(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

引言

固定翼飛機一直面臨著高速和低速飛行性能要求的矛盾:后掠翼可以有效降低激波阻力，但在亞音速狀態下飛行效率低;平直機翼在低速飛行時具有較好的飛行性能，但在跨音速區域，受到的激波阻力卻急劇增長.變后掠機翼可同時兼顧高低速兩個方面的要求.從20 世紀30 年代以來，變后掠翼飛機經歷了長達近百年的發展.早期的Pterodactyl IV 驗證機、F-14 戰斗機、Tornado 戰斗機和Tu-160 轟炸機均實現了主動改變機翼后掠角而帶來的飛行性能提升.然而，增加飛機重量和結構復雜度的缺點使變后掠翼在20 世紀70 年代后的發展與應用陷入停滯.2003 年，美國國防部先進研究計劃局(DAPRA)啟動“變體飛行器結構(MAS) ”研究計劃，重新掀起了變體機翼的研究熱潮[1-3].受此計劃的鼓舞，一些關于變后掠翼的新概念性設計浮現出來，比如美國佛羅里達大學研制的獨立多關節變后掠翼，新一代航空技術公司研制的驗證無人機MFX-1 和MFX-2.與早期研究不同，當前變后掠翼的研究重點傾向于高性能材料(比如柔性蒙皮)和驅動裝置(比如智能結構、柔順機構)的設計和使用.

目前，固定翼下的氣動彈性系統建模已經成熟，ZAERO 軟件和NASTRAN 中的氣動彈性分析模塊均可對固定翼飛行器進行顫振速度的計算和動態響應分析.而在可變后掠機翼的氣動彈性建模和分析方面的研究較少.飛行器在變體過程中，系統的動力學特性隨著變體控制參數的變化而變化，相應的氣動彈性方程本質上是隨參數時變的.對于參數慢變情形，可采用時間凍結法，獲得某一變體參數下的氣動彈性模型.

在變體飛機方面，Zhao 和Hu[4]和Huang 等[5]提出了一種利用子結構綜合和偶極子網格法構建折疊翼的參數化氣動彈性建模方法，可對不同構型下的折疊翼實現快速的顫振分析，分析結果發現對于不同折疊角下的機翼其氣動彈性特征將發生顯著改變.Hu 等[6]在此基礎上采用Krigin 代理模型技術對不同后掠角下的空氣動力影響矩陣進行插值，獲得了參數化的氣動彈性模型并研究了折疊翼變形過程中的時變氣動彈性響應.Xu 等[7]利用ADAMS 對折疊翼進行柔性多體動力學建模，將不同后掠角下的非定常氣動力進行插值后與結構進行耦合，計算分析了折疊翼快速展開過程中的瞬態響應.詹玖榆等[8]利用流形插值技術[9]對模態坐標下不同構型折疊翼的剛度矩陣、質量矩陣和振型矩陣進行插值，建立了參數化的結構動力學模型，并將其與偶極子網格法相結合計算了折疊翼的氣動彈性行為.

對可變后掠翼，大量的研究集中在最優變形規律以及變后掠翼氣動布局等方面，對于可變后掠翼的參變氣動彈性系統建模方法和慢時變氣動彈性方面的研究依然匱乏，變后掠過程中準確而高效地計算氣動彈性響應仍是一項具有挑戰性的工作.由于變后掠翼在結構變體過程中參數是變化的，使得參變氣動彈性系統的建模存在一定困難.線性參變系統(linear parameter varying，LPV)[10]模型可以用來描述受時變參數影響的線性系統的動力特征，也可以用一系列當地線性模型來表征非線性系統.一般地，LPV 建模方法有兩種:全局建模方法[11-13]和當地建模方法[14-15].利用全局模型能夠進行全局參變的研究，即任意激勵下結構持續參變過程中的動態響應研究.顯然，這一要求比較苛刻，一般很難實現[16];后者則是利用當地建模技術，采用時間凍結法，在不同固定參數下生成當地的線性時不變(linear time invariant，LTI)模型，然后對這些LTI 模型進行合理的插值來建立線性參變模型.利用當地建模技術建立LPV 模型的方法要求所建立的當地LTI 模型必須具有一致的狀態空間形式.若直接對系統矩陣進行插值可能帶來很大風險甚至得到錯誤的狀態空間模型，這是由于同一系統的狀態空間實現并不唯一，導致不同參數點處的狀態空間表達并不具有一致性.上述研究均未能討論和考慮模型的一致性問題.

Paige[17]和Wassink 等[18]著重強調了不一致的LTI 狀態空間表達式對于當地LPV 模型實際應用的影響和限制.因此，如何有效的解決當地模型之間的不一致問題，便成為了當地LPV 模型能否成功運用的關鍵.Paijmans 等[19]提出了一種依賴于仿射參數空間實現的LPV 建模技術，該方法需要對當地模型的極點和零點的軌跡進行排序和擬合.Caigy 等[20]提出了一種單輸入單輸出(single input single output，SISO)的LPV 建模方法，該方法需要劃分多個子模型.Caigy 等[21]將當地LTI 模型劃分為一系列當地子模型[19-20]的方法推廣到多輸入多輸出(multiple input multiple output，MIMO)情況，對當地模型的極點和零點進行排序，將原始的當地模型分解為一個增益與一階和二階子模型狀態空間串聯的形式，得到了一致的狀態空間表達式.Krolick 等[22]提出了一種基于數據驅動的模型降階方法，并探討了不同參數下模型的一致性問題，發現利用自回歸(autoregressive exogenous，ARX)方法建立的參數化模型一致性較好.Goizueta 等[23]利用Krylov 子空間來構造線性轉換矩陣，解決了LTI 模型不一致問題.

以上方法均是從已知的、參數空間中離散點處的、不一致的狀態空間方程出發，通過對狀態空間方程的一致性處理來獲得參變系統狀態空間模型的.本文則從另一種角度出發:即在構造參變空間內離散點處的狀態空間模型之前就解決可能存在的不一致性問題.因而后續所建立的、離散點處的狀態空間模型就是一致的，參變空間內任意點處的狀態空間模型便可通過對一致的當地模型進行插值得到.可通過數值結果驗證了本文方法的正確性和有效性.本文采用當地氣動彈性建模技術，深入研究了如何建立一致的當地氣動彈性狀態方程的可靠方法，以期為MIMO 的參變氣動彈性系統建模提供參考數據.

1 變后掠翼的參數化結構動力學建模

變后掠翼如圖1 所示.機翼采用旋轉-剪切變后掠設計，翼肋在變后掠過程中保持順氣流翼型不變.機翼的結構設計參數為:翼根弦長758.3 mm，翼尖弦長283.3 mm，平均弦長346.4 mm，半展長1718.0 mm，機翼面積0.595 7 m2，重量20.23 kg.機翼的前緣后掠角χ可在 0°(完全平直狀態)到 60 °(大后掠角狀態)范圍內變化.

圖1 變后掠翼的幾何模型Fig.1 Geometric model of the variable-sweep wing

后掠翼的運動方程依賴于后掠角χ這一控制參數.常規有限元建模方法只適用于固定構型情形.如需獲得不同后掠角下的有限元模型則需要進行大量的重復性建模工作，過程十分繁瑣，效率低下.本文采用如下參數化自動建模方案:僅在χ=8 °下建立原始結構的有限元模型(如圖2 所示)，使用自編程序讀取該結構結點和單元數據;給定任意后掠角后，該角度下的有限元結點位置可由原始模型中的結點位置經過坐標旋轉獲得，進而直接生成BDF 數據文件并提交至NASTRAN，自動進行結構固有振動分析，為參變氣動彈性系統的建模提供結構固有振動特性數據.如圖2 所示，機翼共劃分為 3 369 個單元，結構采用板、桿、梁和集中質量單元構建，翼梁和翼肋采用板單元和桿單元相結合的方式建模，蒙皮采用板單元.

圖2 變后掠翼的有限元模型(χ =8°)Fig.2 Finite element model of the variable-sweep wing (χ =8°)

機翼結構的邊界條件為翼根固支.表1 給出了χ=8°時結構的前6 階固有頻率，圖3 為相應的固有振型.由于機翼展弦比較大，前6 階模態中包含面內運動模態(第2 階).

表1 變后掠翼的前6 階固有模態(χ =8°)Table 1 The first six natural modes (χ =8°)

圖3 變后掠翼的前6 階固有振型(χ=8°)Fig.3 The first six mode shapes of the variable-sweep wing (χ=8°)

根據前述的結構參數化建模方案，任意后掠角下的有限元模型都可以方便地利用NASTRAN 生成.建模的結果包含結構整體質量矩陣、剛度矩陣、固有模態矩陣以及結點坐標等模型信息.這些數據將在自編程序中進一步處理生成機翼的氣動彈性模型.在后掠角0°～ 60°的變化范圍內，每隔 5 °計算出機翼的固有振動特性，機翼的前6 階固有頻率如表2 所示.

表2 不同后掠角下機翼的前6 階固有頻率Table 2 The first six order natural frequencies of the wing at different swept angles

2 固定后掠角下的氣動彈性模型

采用基于偶極子網格法(doublet lattice method，DLM)的非定常氣動力模型[24].DLM 將機翼視為無厚度升力面，并將升力面劃分為若干個與來流方向平行的空氣動力網格，如圖4 所示.與結構有限元模型的參數化建模方法類似，在建立非定常氣動模型時，僅在χ=8 °下劃分氣動網格，共計799 個網格單元，其他任意后掠角下的氣動網格均可根據原始網格通過坐標旋轉獲得.

圖4 變后掠翼在不同后掠角下的空氣動力網格Fig.4 Aerodynamic boxes on the lifting surface of the variable-sweep wing

根據DLM 模型計算得到升力面的空氣動力影響系數(aerodynamic influence coefficient，AIC)矩陣，根據非穿透邊界條件建立簡諧運動情況下全部氣動網格上的壓力系數與網格控制點處無量綱下洗速度之間的關系.然后通過樣條插值將非定常氣動力等效到結構結點上.變后掠翼的氣動彈性方程可寫為如下形式

式中，xs為結點位移向量，Ms，Cs和Ks分別為質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣.fs，fg分別為結構運動與突風擾動引起的非定常氣動力，具有如下形式[25]

式中，U∞為來流流速度，q∞為來流動壓，Gks為樣條矩陣.Skj為氣動網格積分矩陣，Djk為物質導數矩陣. Φjg為突風模態向量，包含簡諧突風激勵對各氣動網格的作用比值.Aaic為AIC 矩陣，與減縮頻率k與馬赫數M∞相關.wg為參考點處的突風速度擾動.

引入模態坐標變換xs=Φhξ，將式(1)轉換至模態坐標中，表示如下

式中，Φh為結構模態矩陣，ξ 為相應的結構模態位移.Mhh，Chh和Khh分別為模態質量、模態阻尼和模態剛度矩陣.Qhh，Qhg分別與結構運動和突風擾動有關的廣義空氣動力(generalize aerodynamics force，GAF)矩陣.以上各矩陣的具體表達式為

式(4)中的GAF 矩陣為頻域形式，如果進行時域氣動彈性分析，可以通過有理函數擬合(rational functional approximation，RFA)技術將GAF 矩陣轉換至拉氏域，然后再轉化到時域.然而，當前固定后掠角下的氣動彈性模型并不適合在時變角度下做仿真計算，因為對每個時間步，在線計算結構模態矩陣和非定常氣動力矩陣是非常低效的.下一節將提出一種基于當地氣動彈性模型的插值建模技術，其優點是能夠快速獲得參數空間內任意一點的氣動彈性模型.

3 基于當地模型插值的參變系統建模方法

變后掠翼的氣動彈性分析和響應計算均可在LPV 系統的框架內進行，當地建模技術是構造LPV系統的一種實用且高效的建模手段[26].首先對參數變化空間進行離散處理，然后在各離散參數點處分別建立一系列線性時不變(LTI)系統模型，最后對這些LTI 模型進行插值，從而快速獲得參數空間內任意一點處的LTI 模型.在參數慢變的假設下，LTI 模型中缺少的動態參數依賴部分可以忽略不計[27]，本文采用此假設.將插值步驟融入仿真過程，即可對可變后掠翼進行慢時變響應計算.

然而，使用當地建模技術時，各當地模型必須事先處理為一致的形式，否則將得到錯誤的插值后系統.考察式(4)給出的氣動彈性方程，各矩陣均與結構模態矩陣 Φh有關，而 Φh是隨后掠角變化的.一方面，對于參變系統來說，隨著參數的變化，可能存在所謂的“模態交叉”現象，此時交叉點前后同一模態分支(相似的振動形態)的階次將發生變化，具體表現為矩陣 Φh的數值上的跳躍，此時不經處理直接按照默認模態階次進行插值是錯誤的;另一方面，RFA 的近似過程中需迭代求解非線性最小二乘問題，算法具有數值不穩定的特點，非常容易造成連續變化的后掠角對應不連續的擬合系數矩陣的情況，在這種情形下生成的當地模型同樣不能進行直接插值.本文分別針對結構和氣動這兩方面可能存在的不一致性問題給出了相應的一致性處理方法.該方法能夠保證在參數空間內生成一致的當地氣動彈性模型.

3.1 模態匹配和對齊

為獲得后掠翼模態數據，在nt個離散的后掠角χ1，χ2，···，χnt處建立后掠翼的結構動力學模型，求解以下廣義特征值問題

式中，Ωh，l為結構固有頻率構成的對角陣，矩陣Φh，l的列向量為按模態質量歸一化的結構固有振型.

一般情況下，特征值和特征向量通常簡單地按照大小排列順序.當存在模態交叉時，同一階次的模態振型由于模態性質不同而不能直接用來插值.插值應該在同一條模態分支上進行，而同一條模態分支上的模態具有相似的振動形態，因此對相鄰參數點下的固有頻率和振型進行比較，有望將 Φh，l中的振型調整為匹配的順序.考察兩個相鄰的后掠角χl-1和χl，定義如下距離度量來衡量相鄰的兩個角度下模態之間的接近程度

式中，ωi，l-1和 ωj，l分別為l-1和l點處的第i個和第j個固有頻率，nh為保留的結構模態數量，MAC為模態置信準則，按照下式計算

式中，φi，l-1和 φj，l分別為l-1和l點處的第i個和第j個固有振型向量.

距離度量式(9)使用了兩個固有頻率之間的直線距離，并用MAC 加權.MAC 在區間[0，1]之間取值，其值越大則表明固有振型之間的線性相關性越高.假設l-1 點處的模態數據具有正確的順序，模態匹配的任務是將l點處的模態數據與l-1 點進行配對，正確的配對應使總的距離度量最小.基于圖論，將待考察的模態劃分成以下兩組頂點

定義邊集El=Vl-1×Vl，即任意兩個Vl-1和Vl中的頂點都有唯一的邊相連，從而構成一個完全二分圖Gl=(Vl-1，Vl;El).距離度量式(9) 給出了每條邊對應的費用.模態匹配問題可轉換為尋找圖Gl的一個完美匹配使費用總和最小，這個問題又稱為線性求和分配問題(linear sum assignment problem，LSAP)[28].匈牙利算法是求解LSAP 的標準方法，該算法由Kuhn 首先提出.目前廣泛采用Jonker 和Volgennant 開發的基于最短增廣路徑技術的改進算法[29]，使線性求和分配問題的求解達到O() 的最壞情況時間復雜度.

為了保證數值連續變化，固有振型向量的正負符號問題也應順帶處理.將重新排列后的固有振型向量調整為ci，jφj，l，其中符號系數ci，j按照下式計算

通過模態匹配與對齊，能夠保證式(4)中建立的氣動彈性模型在全部后掠角下都有一致的形式.

3.2 一致的有理函數表達式

另一可能引起模型不一致的因素是非定常氣動力的有理函數近似.為獲得時域的氣動彈性方程，需要通過RFA 技術將頻域氣動力擴展至Laplace 域.RFA 技術利用一系列減縮頻率下的GAF 數據擬合特定形式的有理函數，其中最常用是下式給出的最小狀態近似(minimum state approximation，MSA)

式中，p為復減縮頻率，Q為GAF 矩陣Qhh和Qhg的組合，R為由空氣動力滯后根組成的對角陣.其余矩陣通過迭代求解非線性最小二乘問題獲得.雖然求解過程得到了確定的有理函數表達式，但是滯后項中D和E矩陣是不唯一的.一般地，對于任意可逆矩陣T，下式始終成立

在建立可變后掠角氣動彈性系統模型時，擬合后的系數矩陣的不唯一性會造成當地氣動力模型之間的不一致，從而導致插值得到的系統是錯誤的.由于R矩陣事先給定且為對角陣，為保證R矩陣不變，易知T矩陣也必須限制為對角陣.因此，有理函數擬合的不唯一性表現在對D和E矩陣的列向量和行向量的任意縮放.假設R矩陣不隨參數變化或者隨參數連續變化，那么可以根據相鄰參數下的有理函數擬合結果構造出唯一的縮放矩陣T，從而得到唯一且連續的有理函數表達式.

考慮相鄰兩個后掠角χl-1和χl，以l-1點處的Dl矩陣為標準參照，l點處的對角陣Tl根據下式進行構造

式中，na為空氣動力滯后根的數量，對角元ti，l的計算方法如下

式中，di，l-1和di，l分別為矩陣Dl-1和Dl的第i列.得到Ti后根據式(14)調整矩陣Dl和El，調整后的矩陣Dl與參照矩陣Dl-1的列向量有相同的2 范數和一致的方向.

如后掠角和馬赫數均為可變參數，此時RFA 原始數據在二維參數網格上生成.這種情況下一致性處理方法應該是:首先固定第一個馬赫數，按照后掠角順序依次調整系數矩陣;隨后固定各個后掠角，再按照馬赫數的順序使用相同的方法依次調整系數矩陣.

經過模態匹配的氣動彈性方程式(4)與使用一致RFA 表達的式(13)相結合，再按照傳統氣動伺服彈性系統的構造方式，最終生成如下時域狀態空間系統方程[25]

式中，參數向量 ρ 包括后掠角χ和飛行參數.狀態變量xae包含結構模態位移 ξ 和模態速度，以及有理函數近似的引入的空氣動力狀態變量.突風擾動為突風速度wg及其時間導數構成的向量，多種突風模型可用于生成標準化的突風擾動信號[30].系統輸出yae可以是結構某監控結點的響應或內載荷響應，輸出矩陣以及狀態空間矩陣具體的構造方法參考文獻[31].

利用本文給出的模態匹配和RFA 系數處理方法，可解決變后掠翼當地氣動彈性模型中可能出現的不一致性問題.不論是后掠角還是飛行參數的改變，各當地系統矩陣都能保證隨參數連續變化.圖5 總結了本文提出了基于當地建模技術的變后掠翼參變氣動彈性系統的建模流程.對一致的當地模型進行插值，能夠快速獲取任意后掠角下的狀態空間矩陣，大大提高時變氣動彈性分析與響應計算的效率.

圖5 變后掠翼的參數化氣動彈性系統建模流程圖Fig.5 The flow chat of the parameter-varying aeroelastic modeling for a variable-sweep wing

4 參變氣動彈性建模方法的驗證

4.1 一致性驗證

為了利用當地建模技術建立變后掠翼的參變氣動彈性模型，首先在0°～ 60°的后掠角范圍內每間隔5°選取13 個離散的后掠角參數點，在這些參數點上分別建立當地氣動彈性模型.初始的氣動彈性模型包含式(4)中的結構矩陣和GAF 矩陣，由于不同后掠角之間的結構模態可能不匹配，因此原始當地系統的一致性無法保證.根據本文一致性處理方法，選取前6 階結構模態，隨后按照3.1 節給出的算法進行結構模態匹配.

圖6 給出了經過模態匹配與排序后，變后掠翼的前6 階固有頻率隨后掠角的變化規律.可以看出，在 55°～ 60 °后掠角之間，第5 階和第6 階結構模態發生了交叉現象.模態匹配過程中，這兩個角度之間的具體MAC 數值如圖7 所示，圖中清晰地顯示出在 60°下的第5 階和第6 階模態應與 55 °下的第6 階和第5 階模態相匹配.模態匹配算法給出了正確的匹配結果，確保每一個模態分支都隨參數連續變化.

圖6 前6 階固有頻率隨后掠角的變化規律Fig.6 The first six natural frequencies vs.the swept angles

圖7 MAC 值(55°和60°后掠角)Fig.7 The MAC values for 55° and 60° swept angles

為了建立時域狀態空間模型，接下來對式(4)中的GAF 矩陣進行有理函數擬合.假設來流為不可壓流動，GAF 矩陣在0.0～ 1.5 范圍內的16 個減縮頻率處計算.使用MS 方法擬合得到式(13)所示的RFA表達式，氣動力滯后根由以下經驗公式[32]得到

式中，kmax為減縮頻率的最大值.

生成GAF 矩陣時使用了相匹配的結構模態，然而MS 算法并不保證各參數點下的RFA 系數矩陣具有一致性.如圖8 所示，初始的RFA 系數矩陣D和E在參數變化時數值的跳躍現象非常顯著.計算結果顯示離散參數點處的RFA 擬合結果是具有足夠精度的，然而跳躍的數值變化使參數點之間的插值無法進行.按照3.2 節給出的方法將系數矩陣處理為一致的形式后得到的結果如圖9 所示.可以看出，處理后的系數矩陣D和E隨著后掠角平滑、連續變化，具有一致性.需要強調的是，本文給出的處理方法不改變RFA 擬合結果，然而能夠將RFA 表達式轉化成為適合插值的形式.

圖8 不一致的RFA 系數矩陣隨后掠角的變化Fig.8 The incoherent RFA coefficients vs.the swept angles

圖9 一致性處理后RFA 系數矩陣隨后掠角的變化Fig.9 The coherent RFA coefficients vs.the swept angles

匹配的結構模態和一致的RFA 表達式確保在構建狀態空間模型時，各當地系統矩陣能夠隨參數連續變化，因此整個參數空間內任意點處的時域方程都能通過對當地系統模型的插值得到.為了驗證插值模型的準確性，對后掠翼在突風擾動下的氣動彈性響應進行計算.1-cos 離散突風是工程中常用的標準模型，當飛行器以速度U∞穿過突風場，突風參考點處受到的垂直擾動速度為

式中，為設計突風速度幅值，Lg為突風尺度，fg=U∞/Lg為突風激勵頻率.

在海平面大氣環境下，來流速度為 120 m/s，1-cos突風頻率為 3Hz，突風速度幅值為5 m/s.圖10 和圖11分別給出了后掠角為 28°和 48 °時后掠翼的時域動態響應，圖中展示了翼梢加速度和翼根彎矩的計算結果. 28°后掠角下的系統模型通過對 25°和 30 °的當地模型線性插值得到，48°的模型通過對 45°和 50 °的當地模型插值得到，圖中一并給出了各后掠角下精確的建模結果作為對比.結果顯示，由一致系統矩陣得到的插值模型與精確模型計算出的結果相同，驗證了對一致當地模型進行插值的方法是準確可靠的，而根據不一致系統矩陣建立的插值模型誤差很大，動態響應與精確結果相比相去甚遠.在 48 °時，不一致模型的響應是發散的，插值得到了不穩定的氣動彈性模型.

圖10 后掠翼的1-cos 離散突風響應(χ=28°)Fig.10 1-cos gust response of wing at the swept angleχ=28°

圖11 后掠翼的1-cos 離散突風響應(χ=48°)Fig.11 1-cos gust response of wing at the swept angleχ=48°

4.2 顫振分析

圖12 給出了固定馬赫數、不同后掠角下的顫振速度分布，隨著后掠角的增加，機翼的顫振速度不斷增加.當機翼后掠角大于 18 °時，機翼顫振速度迅速增加，而當后掠角超過21°時顫振速度增加減緩.顫振速度在20°和21°之間發生了跳躍現象.利用p-k法，計算了機翼在20°和21°后掠角下的顫振特性，如圖13 所示.發現當后掠角為20°時，隨著來流速度的增加，第4 階模態分支率先達到零點，系統發生顫振;而當后掠角增加到21°時，第1 階模態分支首先穿越零點，失穩模態轉為第1 階模態.失穩模態的轉換導致了顫振速度的跳躍現象.

圖12 可變后掠翼顫振速度隨后掠角的變化Fig.12 Flutter speed vs.swept angle

圖13 不同后掠角下機翼的顫振分析Fig.13 Flutter analyses of the wing at different swept angle

為研究不同后掠角下系統特征值的變化規律，進行了固定馬赫數(M∞=0.6)和來流速度(U∞=200 m/s)下不同后掠角處氣動彈性系統的根軌跡分析，如圖14 所示，圖中箭頭的方向是后掠角增加的方向.隨著后掠角的增加，系統由失穩狀態逐漸演變為穩定狀態，這是結構和氣動相互耦合作用的結果.由圖6可以看出，當機翼的后掠角小于20°時，結構的第3 階模態(第二階彎曲模態)與第4 階模態(第一階扭轉模態)的振動頻率比較接近，容易誘發顫振.事實上，從圖14 不同后掠角下氣動彈性系統的根軌跡中也能看出，當后掠角小于18°時，系統失穩均發生在第4 階模態處，而當后掠角較大時，結構的第3 階與第4 階固有頻率相距較遠，機翼不容易發生顫振.

圖14 可變后掠翼在不同后掠角下的根軌跡Fig.14 Root locus of the wing at various swept angles

4.3 時域仿真

為進一步分析可變后掠翼在變后掠過程中的時變動態特性，假定機翼后掠角的變化遵循如下規律

式中，χm=60°為最大后掠角，Tm=12 s 為從初始狀態到最大后掠角所需要的總時間.

以Dryden 連續突風作為擾動激勵，圖15 給出了飛行馬赫數為0.35，巡航速度為120 m/s 時，機翼連續改變后掠角過程中翼尖加速度和翼根彎矩的時間歷程，其中連續突風尺度Lw=267 m，均方根值σw=2 m/s.

圖15 機翼變后掠過程中的突風響應Fig.15 Gust responses of the variable-sweep wing during the morphing process

由圖12 可以看出可變后掠翼的最小顫振速度發生在后掠角為 0 °時，其值為123.95 m/s.圖15 可以看出，機翼以120 m/s 巡航速度飛行時，其速度已接近顫振速度，整個氣動彈性系統的阻尼水平很低，所以開始遇到突風時，結構響應較大，但隨著后掠角的不斷增加，系統的阻尼水平增加，翼尖加速度與翼根彎矩響應變減弱.

選取了飛行馬赫數為0.35 以及130 m/s 的巡航速度來研究變后掠翼變形過程中的時變氣動彈性響應.如圖16 所示.當后掠角小于8.27°時機翼處于氣動彈性失穩狀態，在一個較小的擾動下結構便發生了諧振蕩，且不斷從來流中獲取能量導致振幅不斷變大;而當后掠角大于8.27°時機翼結構的顫振速度增加，穩定性得到提升，結構進入氣動彈性穩定狀態，振幅不斷下降.

圖16 后掠翼變形過程中的氣動彈性響應Fig.16 Aeroelastic responses of the variable-sweep wing during the morphing process

5 結論

本文針對可變后掠翼，提出了一種參變氣動彈性建模的實用方法.通過研究分析，可以得到如下結論.

(1)變后掠翼的氣動彈性建模問題涉及參變系統的建模技術.對已獲得的參變空間內的若干當地氣動彈性模型進行插值，是參變氣動彈性系統建模的高效而實用的方法.

(2)同一系統的狀態空間實現是不唯一的，這導致各當地氣動彈性模型可能存在不一致性，直接對這些不一致的當地氣動彈性模型插值，將得到新參數點下錯誤的氣動彈性模型.因此，對當地模型進行一致性處理至關重要.

(3)當地氣動彈性模型的不一致性來源于結構和氣動兩方面.本文首先利用模態跟蹤技術對結構模態進行匹配和對齊，解決了結構動力學方面的不一致性問題;在氣動方面，在一致的結構模態基礎之上建立非定常空氣動力矩陣，然后對RFA 表達式中的系數矩陣進行合理的縮放處理，解決了空氣動力系數矩陣的不一致問題.這樣，最終的當地狀態空間氣動彈模型便具有良好的一致性，任意參數下的氣動彈性模型可通過當地模型的插值快速獲得，大大提高了系統穩定性分析和慢時變響應計算的效率.

(4)本文研究為采用頻域氣動模型的參變系統的氣動彈性建模，提供了一種有效的解決方案.本文方法不僅使適用于變后掠情形，也適用于其他變體方式，具有一定的普適性.

(5)慢時仿真結果表明，機翼在變后掠過程中，其氣動彈性穩定性和響應特性均發生很大變化，這些變化規律對變后掠翼飛行器的設計具有重要意義.