多個橢圓柱波浪力的一種解析解1)

趙 密 龍彭振 王丕光，2) 張 超 杜修力

* (北京工業大學城建學部建筑工程學院，北京 100124)

? (福州大學土木工程學院，福州 350116)

引言

近年來，中國的近海工程迅猛增加，如人工島，跨海橋梁等，對近海結構的研究日益受到人們的重視.由于上述工程常年遭受波浪的威脅，其支撐結構可能承受著強度相當大的波浪力，而支撐結構廣泛使用了多柱體，柱體截面形式不再局限于圓形，因此對非圓多柱體體系中波浪力的研究可為實際工程提供一定的理論指導.

近海工程中對波浪力的研究根據結構尺寸，可以劃分為對小尺度結構所受波浪力的研究和對大尺度結構所受波浪力的研究.其中小尺度結構上的波浪力可以通過莫里森方程求解[1];當結構截面尺寸與波長之比大于0.2 時，大尺寸結構阻礙了波浪運動，波浪在結構表面生成不可忽略的散射波，因此波浪力的計算需要考慮波浪散射現象[2-3].MacCamy和Fuchs[4]提出了繞射波浪理論來計算有限水域中大尺寸圓柱線性波浪力.當波陡大時，波浪中的非線性成分增多，用線性波浪理論計算的結果誤差增大，國內外學者就此提出了解決波浪二階作用的方法[5-6].Tao 等[7]和Song 等[8]利用比例邊界元法(SBFEM)分析短峰波在圓柱上繞射以及多個任意截面形狀柱體和線性波浪相互作用，比例邊界元對于解決波浪在柱面繞射問題較高的求解效率.Wang 等[9]利用有限元方法，解決了傾斜圓柱的波浪繞射問題.流場中只存在單個結構的情形很少，大多數情況下近海結構的承重構件由多柱體構成.Linton 和Evans[10]提出了計算多個圓柱附近波浪速度勢的簡化公式.Kagemoto 和Yue[11]提出了一種精確代數方法來分析水波中多個三維物體之間的相互作用問題.Chen 等[12]利用Null-Field 積分方程來解決波浪在多直立圓柱體中散射問題，以免帶來用格林函數分析產生的不規則頻率問題.繆國平等[13]假設柱體表面有若干波動源，就100 根以上的單排圓樁體系在波浪中的響應進行了研究，得到了多柱體對流體干擾的特點.Wang 等[14]將流場分為結構附近的有限域和無限域，用橢圓吸收邊界模擬無限域，最后利用有限元方法求出波浪對群樁的影響，該方法可應用到任意光滑截面的多柱體上.

實際工程中同樣存在非圓形截面柱體，如橢圓形和類橢圓等.Chen 和Mei[15]基于橢圓柱坐標系引入Mathieu 函數，將橢圓形固定平臺表面的波浪力分解為角向分量和徑向分量，分析了結構表面繞射問題，并得到相應解.William[16]簡化了文獻[15]中復雜級數展開，并得到兩種近似方法，第一種適用于小曲率橢圓截面柱體，另一種利用格林函數獲得了柱體表面的流體速度勢.Liu 等[17-18]利用線性繞射理論和傅里葉展開，推導了任意光滑截面的鉛直柱體和截斷柱體表面波浪力.Zhang 和Williams[19]研究了水平剛性橢圓形薄板對入射波浪的繞射效應.Bhatta[20]推導了橢圓截面樁和圓形截面樁的波浪力計算公式，并實現了前者到后者的變換.Wang 等[21-22]首先提出針對單根橢圓柱上地震引起的動水力的解析解，再利用有限元方法改進該發法為適用于工程的附加質量矩陣方法，并且針對短峰波浪下的橢圓柱，推導得到波浪力的解析表達式，比較短峰波和一般線性波下橢圓柱周圍的波爬.

對于多個非圓形截面柱體陣列結構，Chatjigeorgiou等[23-25]利用Bessel 函數和Mathieu 函數的加法定理，依次研究了流體中橢圓截面群樁波浪散射問題，橢圓柱和圓柱間的波浪散射問題和截斷橢圓群樁上的波浪散射問題.Lee[26]則應用Collocation Multipole方法來解決橢圓截面多柱體間散射問題，免除了Mathieu 函數加法定理的繁復.Liu 等[27]利用傅里葉級數將徑向函數展開，以求解任意光滑截面群樁(如余弦形截面、類橢圓截面等)上的波浪力.

上述多個柱體波浪力解析分析方法中，多數考慮了入射波及入射波引起的單柱體散射波，但沒有考慮該散射波入射其他柱體后產生的第二次散射波以及高次散射波[25].本文基于橢圓坐標系和繞射波理論等，推導得到考慮高次散射波的橢圓多柱體波浪力公式，研究波數等參數變化時高次波對總波浪力的貢獻，以期為實際工程中估算波浪力提供參考數據.

1 問題描述

1.1 控制方法和邊界條件

流場中橢圓形截面柱體的陣列如圖1 所示.假設所有柱體剛性，a為橢圓的半長軸，b為橢圓的半短軸，底端固定在深度為h的流體中，流體無旋、無黏性并且不可壓縮.該多柱體體系受到與x軸成α，頻率為 ω，幅值為H/2 的簡諧波浪作用.

圖1 柱體布置和坐標系統Fig.1 Arrangement of bodies and coordinates systems

本文使用的橢圓柱坐標系(ξ，μ，z)中，ξ和μ分別為橢圓柱坐標系的徑向坐標和角向坐標，兩坐標互相正交;坐標原點位于橢圓柱底部，z軸沿柱體軸線向上.橢圓坐標系和笛卡爾直角坐標系轉換關系如下

式中，μ2=a2-b2；ξ，μ和z取值范圍分別為0 ≤ξ＜∞，0≤μ＜2π和0≤z≤h.

簡諧波浪下流場中波浪壓力為

橢圓柱坐標系中，頻域下的波浪壓力p滿足如下流體控制方程

水體自由表面、剛性地面、水體與結構交界面和無窮遠處的邊界條件分別為

式中，波數k滿足 ω2=gktanh(kh) ; ξ0為柱體表面在柱體局部坐標系中的徑向坐標.

1.2 波場分解

根據繞射波浪理論[4]:當波浪入射后，波浪會在大尺寸結構物表面產生散射波，入射波場和散射波場疊加后，形成的新的波場.波浪入射后，多柱體陣列中柱體周圍的波場不同于單柱體周圍的波場，多柱體陣列中柱體上的波浪作用需要考慮入射波和散射波，其中散射波還需考慮其在柱間多次繞射，柱體上總的波浪力可以寫為

式中，pSc不僅考慮了入射波浪在該柱體上引起的散射波，而且考慮了陣列中其他柱產生散射波、該散射波引起的高次散射波，因此pSc可以寫為

對式(3)應用分離變量法，p(ξ，η，z) 可以寫為

因此柱體總的波浪力可以寫為

1.3 入射波浪壓力

如圖1 所示，流場中任意一點Q的入射波浪壓力可以表達為

式中Xi和Yi是i號局部坐標系原點在整體坐標系中的坐標，xi和yi是Q點在i號局部坐標系中的坐標.

本文采用Abramowitz 和Stegun[28]提出的符號記法，因此在橢圓柱坐標系下，入射波浪壓力可以表示為[25]

2 散射波浪壓力求解

2.1 散射波浪壓力

波浪入射到i號柱體后，產生的第一次散射波滿足式(3)～式 (5)和式(7)，其一般表達式可以寫為

將式(15)和式(16)代入式(6)，求得

同一個流場中的其他柱產生的第一次散射波也會入射到i號柱體上，表示為.所有柱產生的散射波再入射到i柱后，波浪壓力可以寫為

根據馬蒂厄函數的加法定理[29-30]，將式(18)中j號局部坐標(ξj，μj)變換到i號局部坐標系(ξi，μi)下，如下所示.馬蒂厄函數的加法定理詳見附錄1

2.2 高次散射波浪壓力

多柱體陣列中低次散射波在柱間傳播，并在柱體表面產生高次散射波.其他柱產生的q-1 次散射波使i號柱體產生第q次散射波，i號柱體q次散射波浪力可以表示為

如式(18)，流場中其他柱產生的q-1 次散射波傳播到i號柱體上產生的波浪壓力可以寫為

將式(21)轉換坐標到i柱局部坐標系下為

為求式(20)中的待定系數，將式(20)和式(22)代入式(6)，得到待定系數如下

2.3 總波浪力

多柱體體系中，i號柱體上總的波浪壓力可以寫為

i號柱體所受的總波浪力可以表示為

3 數值算例

3.1 方法驗證

首先，由于本方法在計算求解時會對式(25)中高次散射波的累加進行截斷，而截斷會引入一定的截斷誤差，所以先討論該截斷誤差對計算結果的影響;其次，通過Wang 等[14]提出的波浪壓力數值解驗證本文提出的橢圓形截面柱體波浪壓力的解析解.四柱體陣列如圖2 所示，圖2 中D為柱體間凈距，定義其與橢圓長軸的比值Dr=1.0，4 個橢圓柱柱體具有相同的尺寸，長軸和短軸比值a/b=1.5.圖3 給出了圖2 布置下不同截斷數q時，隨波數ka變化的曲線，可以看出當q＞ 12 時本方法獲得波浪力計算結果基本穩定，因此為使解析解求解高效且準確，后續計算采用q=15 為高次散射波的截斷數.圖4 為ka=1時，本文解析方法和數值方法得到的柱體上波浪壓力，圖5 為Dr=1 時，本文解析方法和數值方法得到的柱體上波浪力，假設波浪以兩個入射角α入射;圖6 為ka=1 時，本文解析方法和數值方法得到的流場波浪壓力云圖，圖7 為解析方法與數值方法計算得到的C1 和C2 柱上波浪壓力的相對誤差;可以看出本文解和橢圓數值解相對誤差較小，各圖中本文解結果和數值解結果吻合良好.

圖2 四柱體陣列圖Fig.2 Sketch of four bodies arranged in a square form.

圖3 截斷誤差對本文解計算結果的影響Fig.3 Impacts of truncation error on the present method

圖4 不同入射角(α=0° 和 α=90°)下數值解[14]與本文解的對比Fig.4 The wave pressures on bodies Piversus θ with N=4 and ka=1 obtained present method by and the FEM[14]

圖5 不同入射角(α=0° 和 α=90°)下數值解[14]與本文解的對比Fig.5 The wave forces on bodies Fi versus ka with N=4 obtained by the present method and FEM[14]

圖6 入射角 α=0° 時數值解[14]與本文解云圖Fig.6 The wave fields with N=4，α=0° and ka=1 obtained by the FEM[14] and present method

圖7 入射角 α=0° 時數值解與本文解的相對誤差Fig.7 The relative error of the wave pressure between the present method and the FEM with N=4，α=0° and ka=1

3.2 方法應用

本節將討論高次波的影響，根據柱體排列設置了兩種柱體陣列:①雙柱(圖8)、②四柱(圖2).所示各工況中柱體截面尺寸相同，長軸和短軸之比a/b=1.5.q=2 代表的曲線是不考慮高次散射波的解析解，q=15 代表的曲線是考慮高次散射波的解析解.從圖9 可以觀察到，單柱情況下的波浪力和多柱情況下的波浪力是不同的，該現象隨著柱數的增加而顯著，且和橢圓長軸與水流方向的夾角有關.

圖8 雙柱體陣列圖Fig.8 Sketch of arrangement of twin bodies standing side by side

圖10 給出了雙柱陣列中，高次散射波對柱體上波浪作用影響的結果.圖中縱坐標為波浪力比值表示各柱體上考慮高次散射波的總波浪力，表示各柱體上不考慮高次散射波的總波浪力.圖中給出了3 種波浪入射角度下(0°，45°和90°)，ka取值在0.2～2.0 之間的結果.圖9(a)中，因為陣列沿x軸對稱所以C1 和C2 上的波浪力比值相等，高次波的影響不明顯;從圖10 (a)和圖10(b)中可以看出，當ka小于0.5 時，高次波對兩柱體的影響可以忽略，當ka大于0.5 后，高次波的影響增大到不可忽略.圖11 給出了ka=1 時Dr取值在0.5～5.0 之間的結果.圖11(b) 和圖11(c) 表明Dr大于2 后，二柱陣列的柱體受高次波的影響才會趨于減少，但即使凈距為柱體長軸兩倍以上，高次波的影響仍然明顯;圖11(c)中，C1 受到上游柱體C2 的保護，C1 受到高次波的影響比C2 小.

圖9 不同入射角(α=0° 和 α=90°)下兩種陣列的本文解與單柱解的對比Fig.9 The wave forces on bodies Fi versus ka with N=2 and 4 compared with that of an isolated body

圖10 雙柱陣列中各柱體總受力比值Fig.10 Scaling values of total wave force on bodies versus ka as twin bodies standing side by side

圖11 雙柱陣列中各柱體總受力比值Fig.11 Scaling values of total wave force on bodies versus Dr as twin bodies standing side by side

圖12 給出了四柱陣列中，高次散射波對柱體上波浪作用影響的結果.由于對稱性，波浪沿x軸入射時(α=0°)，C1 和C3 計算結果相同，C2 和C4 計算結果相同;同理，波浪沿y軸入射時(α=90°)，C1 和C2 計算結果相同，C3 和C4 計算結果相同.比較兩個入射波浪方向不同的結果，可以發現因為柱體在x軸上的投影面積大于柱體在y軸上的投影面積，所以波浪沿y軸入射時高次波對柱體所受波浪力的影響更大.圖13 給出了ka=1 時Dr取值在0.5～5.0 之間的結果.四柱陣列的下游柱體波浪力比值在0.5 ＜Dr＜ 1.0 間大于上游柱體的比值，在Dr＞ 2.0 之后才小于上游柱體的比值并趨于減小.

圖12 四柱陣列中各柱體總受力比值Fig.12 Scaling values of total wave force on bodies versus ka as four bodies arranged in a square form

圖13 四柱陣列中各柱體總受力比值Fig.13 Scaling values of total wave force on bodies versus Dr as four bodies arranged in a square form

圖14 和圖15 給出了柱體數量不同的情況下，C1 上波浪力比值隨參數(ka，Dr)的變化.綜合來看，隨ka和Dr增加，四柱陣列中C1 波浪力比值變化，比雙柱陣列情況下的比值變化要劇烈;隨著柱體數量的增多，由于疊加效應，高次波影響也隨之增加.

圖14 兩種陣列中C1 柱體總受力比值Fig.14 Scaling values of C1 versus ka in two arrangements

圖15 兩種陣列中C1 柱體總受力比值Fig.15 Scaling values of C1 versus Dr in two arrangements

圖15 兩種陣列中C1 柱體總受力比值(續)Fig.15 Scaling values of C1 versus Dr in two arrangements (continued)

表1 對比了本文解和參考解[14]在ka=1 時，不同柱數，不同柱間距時波浪力計算效率.因為有限元方法計算耗時和網格單元劃分大小以及網格數目成正相關，所以當柱數增加或者柱間距增加后，用來模擬水域的單元也隨之增多，所以本文解比參考解效率高.

表1 計算波浪力的用時 (s)Table 1 The numerical costs for calculating the total wave forces (s)

4 結論

根據繞射波理論等，基于橢圓柱坐標系，首先通過求解馬蒂厄方程，得到橢圓單柱體結構波浪壓力公式，再考慮多柱體體系中高次散射波問題，推導得到多柱體體系中橢圓柱體結構波浪力計算公式.本文方法與已有數值方法對比結果表明，本文解和數值解吻合的較好，而當柱數目增加或柱間距增大時，本文解的計算效率比有限元方法的高.

將本文方法應用于計算雙柱陣列和四柱陣列的波浪力，分析了高次散射波對結構所受波浪作用的影響.結果表明:波數ka＜0.5 時，高次散射波影響較小，大波數的情況下，不能忽略高次波的影響;隨著柱體間距離的增加，高次波的影響有減小的趨勢，但仍存在波動;高次波對上游柱體波浪力的影響比下游柱體大;多柱體體系中，柱體數量增加后，柱體產生的高次散射波會疊加，高次波影響也隨之增加，而結構所受的高次波作用因參數發生的波動會變劇烈.

附錄1

Chatjigeorgiou 等[17]在S?rmar k 等[21]的基礎上化簡了將馬蒂厄函數的加法定理，具體可以表示為

式中，Jm(·) 為第一 類m階貝塞爾函數，Ym(·) 為第二類m階貝塞爾函數，為第一 類m階漢克爾函數，為第二類m階漢克爾函數.當n-p和s-m為奇數時，d′和d為0.