復合跟蹤微分器在電容式位移傳感器中的應用

吳 昊，陳 豫

(1.上海交通大學 自動化系，上海 200240；2.上海維宏電子科技股份有限公司，上海 200241)

電容式位移傳感器是一種基于電容極板效應的間接測距裝置。由于其具有結構簡單、檢測精度高、靈敏度高、非接觸式等優點[1]，廣泛應用于激光隨動控制系統測量切割頭與加工工件距離。加工過程中，由于噴渣、極板接地不良、氣體擾動、工件表面不平整、電容邊緣效應等原因，導致電容傳感器獲取的位置信息中存在較大隨機擾動。為獲得良好控制品質，在進行控制系統設計過程中，需要對位置微分信號進行有效提取[2-3]。采用直接微分(差分)方法進行微分信號提取，由于噪聲擾動導致不能有效提取微分信號[4]，嚴重情況下引發震顫，機械異響等問題。因此獲取高質量原始信號逼近和準確的微分信號對于控制品質的提高有重要意義。

跟蹤微分器(DT, differential tracker)，由韓京清提出一種從不連續或者帶有隨機噪聲信號中提取連續信號以及微分信號技術[5]。通過對其頻域分析，表明其在含有隨機噪聲、不連續原始信號逼近、微分信號提取具有較好性能[6]，相較于廣泛應用的卡爾曼濾波器[7]計算復雜度更小。跟蹤微分器應用于自抗擾控制[2]、信號處理[8]、模式識別等領域。

跟蹤微分器中的作用函數對濾波特性、跟蹤相位滯后、微分信號估計準確度起決定性作用，因此作用函數被作為重點研究內容。現有文獻中，在解決相位滯后，微分信號提取方面許多學者提出了不同形式跟蹤函數。文獻[9]中提出非線性冪次項形式跟蹤函數，在平衡點附近為線性，遠離平衡點為非線性，避免抖振現象發生。文獻[10]在非線性滑模跟蹤微分器分析基礎上,提出一種結構簡單、易于實現的非線性微分器。文獻[11]在綜合分析綜合控制器屬性基礎上提出雙曲正切形式的跟蹤微分器，文獻[12]對采用此形式的跟蹤微分器進行相位分析。此外不乏基于sigmoid函數[13]，反正切[14]等其他形式的跟蹤微分器。文獻[15]提出一種通過使用原始信號進行補償方式改進跟蹤微分器，該方法中將通過低通濾波器濾波的原始信號作為補償量，但由于低通濾波器本質是一階慣性環節，自身存在響應及時性和噪聲抑制的矛盾，導致在輸入信號噪聲較大情況下，不能兼顧相位補償和輸出噪聲問題。實踐中發現，雖然基于不同形式作用函數的跟蹤微分器都能有較好效果，但存在參數調試繁瑣，不能很好平衡跟蹤相位滯后和微分信號噪聲放大問題。將前饋補償思路引進跟蹤微分器，針對跟蹤微分器由于二階串聯積分系統導致跟蹤相位滯后以及降低噪聲影響提出復合跟蹤微分器。在不增大微分信號噪聲情況下，通過前饋補償作用降低跟蹤信號相位滯后。在等效線性分析基礎上[16]，跟蹤微分器等效于二階環節，可以將二階環節固有頻率和阻尼比對系統性能影響作為參考。最后將復合跟蹤微分器應用于電容式位移傳感器中，通過仿真及實測結果表明，復合跟蹤微分器在相位滯后、微分信號提取方面具有更好效果，且方便調試。

1 電容式位移傳感器原理分析

實驗平臺所采用的傳感器類型為變間隙式平行板電容傳感器，電容極板由感應極板和固定極板2部分構成，感應極板安裝于電容傳感器下端，待加工工件作為固定極板。感應極板形狀為激光切割系統中普遍使用的圓形極板。加工過程中，安裝在切割頭底部的電容極板隨著切割頭運動，通過檢測固定極板和感應極板間電容信號，并由電容放大電路對信號進行初步處理，實現切割頭相對于加工工件位置的實時測量。電容式位移傳感器激光切割頭示意圖如圖1所示，變間隙式平行板感應極板端截面如圖2所示。

圖1 切割頭示意Fig. 1 Schematic of cutting head

圖2 電容極板截面圖Fig. 2 Sectional view of capacitor plate

測距原理

(1)

其中：C為極板電容；S為極板面積；d為極板間距；ε1,ε0為真空介電常數、相對介電常數。

由于極板之間為空氣，一般情況下ε1=1，上式可表述為

(2)

極板間距變化量Δd與電容變化量ΔC對應關系

(3)

從式(2)可以看出，電容傳感器位置和電容值對應關系和介電常數有關，介電常數通常不是固定值，且非線性和靈敏度之間存在矛盾。因此，實驗中采用離線查表的方式實現位置檢測。在進行查表前，需完成標定動作以生成電容—位置高度對應表。加工過程中根據實時電容查表獲取對應高度。上述根據電容查表獲取高度的方法相較于通過電容值計算得到高度方法具有計算機資源消耗低、精度高等優勢。

2 復合跟蹤微分器

2.1 經典跟蹤微分器

跟蹤微分器具有較好的濾波特性,不僅能在含有噪聲的測量信號中獲取良好的原始信號逼近，還兼具微分信號的估計作用[17]。研究限于二階跟蹤微分器在原始信號濾波，及一階微分信號提取中的使用。

經典跟蹤微分器的基本原理如下

二階系統

(4)

其中：x1，x2是系統的狀態變量；f(.)是系統的作用函數。

定理1：

對上述二階系統，按菲利波夫意義所有解x1(t),x2(t)有界且滿足

(5)

(6)

結論表明，構造適當的作用函數f(.)，使得式(4)漸進穩定，x1(t)將平均收斂于v(t)，x2(t)收斂于x1(t)的廣義導數，式(6)稱為跟蹤微分器，文獻[18]從收斂性角度對跟蹤微分器給出完整的理論證明。

2.2 復合跟蹤微分器

1)等效線性分析

針對由不同形式跟蹤函數構成的跟蹤微分器在分析以及參數調試等方面存在難點，浙江大學的勞立明[19]等人對跟蹤微分器在平衡點附近和遠離平衡點進行系統性分析并得出結論：跟蹤微分器性能主要由平衡點附近動態特性決定。在忽略高階項時，給出不同形式跟蹤函數的統一形式，并從頻域角度給出理論分析證明。

(7)

α1,α2,β1,β2的參數在設計過程中，需要保證式(4)的收斂性[18]。通過在平衡點附近線性化之后，可進一步將不同形式跟蹤函數寫成如下形式，

(8)

2)復合跟蹤微分器原理

復合跟蹤微分器由2個跟蹤微分器通過串級形式構成，復合跟蹤微分器系統框圖如圖3所示。

圖3 復合跟蹤微分器系統框圖Fig. 3 Block diagram of compound tracking differentiator system

復合跟蹤微分器的微分表達式如下，其中：v是輸入信號；x1,x2為跟蹤微分器(I)的跟蹤輸出和一階微分輸出；R1,k1,k2為跟蹤微分器(I)的系統參數；x3,x4為跟蹤微分器(II)的跟蹤輸出和一階微分輸出；R2,k3,k4為跟蹤微分器(II)的系統參數。

(9)

對上述復合跟蹤微分器在零初始條件下進行拉斯變換，可以得到復合跟蹤微分器中參考信號和跟蹤輸出傳遞函數分別為

(10)

(11)

從傳遞函數可知，使用前饋補償的方式給系統引入了零點，并且可以通過修改系數補償系數α對零點進行配置，修改補償系數就是對零點進行配置的過程，當補償系數為零則為一般形式的跟蹤微分器。對系統而言，零點的配置一方面提升系統的穩定性，另一方面系統的響應速度也相應提高，有利于降低跟蹤信號的相位滯后。

設補償系數α=0 ，則跟蹤微分器傳遞函數變為二階環節形式，

(12)

(13)

對復合跟蹤微分器而言，2個跟蹤器的作用不相同。跟蹤微分器(I)主要作用是從原始信號中提取光滑跟蹤信號作為跟蹤微分器(II)的補償量，跟蹤微分器(II)在復合跟蹤微分器中起主導作用，在設計過程中，需要根據原始信號特性分別調整相應跟蹤微分器(I)和跟蹤微分器(II)的參數。滿足濾波和微分信號提取要求。

3 仿真及實驗結果分析

為驗證復合跟蹤微分器在原始信號逼近，以及微分信號提取的有效性，搭建Simulink仿真模型，仿真模型框圖如圖4所示，復合跟蹤微分器使用跟蹤微分器(I)和跟蹤微分器(II)串聯形式，跟蹤微分器輸入帶高斯白噪聲(均值：0，方差0.001)頻率1 Hz，幅值1的正弦信號。實驗平臺通過控制工件進行正弦(頻率1 Hz，幅值1 mm)運動，模擬實際加工過程。

圖4 Simulink仿真圖Fig. 4 Simulink simulation diagram

分別對上述跟蹤微分器在MATLAB/SIMULINK平臺上進行仿真，并在測試平臺上進行實際測試，從仿真和實驗平臺上的結果看，復合跟蹤微分器在電容式位移傳感器中，提取原始位置信號以及速度信號估計中優異性能，圖5、圖6分別為仿真和實際測試結果。

圖5 仿真結果Fig. 5 Simulation results

圖6 實驗平臺測試Fig. 6 Experimental platform test

從仿真和實測結果可以看出，在相同原始信號輸入的條件下，復合跟蹤器在相位滯后和微分信號提取準確性上有更好效果。復合跟蹤微分器是由2個等效線性形式跟蹤微分器組成，2個跟蹤微分器的作用不同，決定其在參數上的差異。通過跟蹤微分器在零點附近進行等效線性變換可知，跟蹤微分器為二階環節，二階環節的性能由系統的固有頻率和阻尼系數決定。降低系統的阻尼系數、增大固有頻率，可減小跟蹤信號相位滯后，但阻尼系數過小會降低抑制噪聲能力導致振蕩。為保證復合跟蹤微分器既能以較小相位滯后跟蹤原始信號，又能很好抑制噪聲保證微分估計信號的品質。通過跟蹤器(I)對原始信號進行濾波，并將經過濾波之后的跟蹤輸出作為跟蹤微分器(II)補償量。將跟蹤微分器(I)阻尼系數設置小于0.5，以實現光滑跟蹤輸出。跟蹤微分器(II)在復合跟蹤微分器中起主導作用，其阻尼系數和固有頻率設置比跟蹤微分器(I)大，具有較好濾波性能，在跟蹤微分器(I)的光滑補償作用下，保證復合跟蹤微分器跟蹤輸出相位滯后小的同時能對噪聲有很好的抑制作用。因此，與經典跟蹤微分器比較，復合跟蹤微分器具有更靈活結構，更好兼顧跟蹤輸出相位滯后和微分信號的提取。

4 結 語

主要討論了跟蹤微分器的等效線性形式，以及復合跟蹤微分器原理，將復合跟蹤微分器使用在電容式位移傳感器中，通過MATLAB/SIMULINK仿真以及實際測試，驗證了復合跟蹤微分器相較于經典跟蹤微分器在原始信號逼近及微分信號提取相位滯后更小。通過輸入幅值 1、頻率1 Hz的含噪正弦測試信號，結果表明復合跟蹤微分器和經典跟蹤微分器均能光滑逼近原始信號、提取微分信號，復合跟蹤微分器相比于經典微分跟蹤器，相位滯后小0.03 rad，兼顧了相位滯后和噪聲放大。跟蹤微分器作為自抗擾控制的重要組成部分，在對含噪原始信號處理過程中，保證光滑逼近的同時降低相位滯后，對于提高激光隨動控制系統性能具有重要意義。