一類平面分段線性Hamilton系統(tǒng)在線性擾動下極限環(huán)個數(shù)的估計

趙凌燕，李寶毅，張永康

（1.空軍預(yù)警學(xué)院，武漢430019；2.天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

1 引言和主要結(jié)論

分段光滑動力系統(tǒng)不僅能描述某些自然物理過程，而且在機械工程、航空航天等眾多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用.平面分段線性系統(tǒng)是一類重要的分段光滑動力系統(tǒng)，對其擾動系統(tǒng)極限環(huán)個數(shù)的估計受到相關(guān)學(xué)者的關(guān)注.關(guān)于平面分段線性系統(tǒng)的研究最早見于文獻[1].之后，文獻[2-3]證明了當(dāng)平面被一條直線分為2個區(qū)域時，連續(xù)分段線性系統(tǒng)最多只有1個極限環(huán).文獻[4-8]研究了不連續(xù)平面分段線性系統(tǒng)極限環(huán)個數(shù)的情況.文獻[9]研究了當(dāng)平面被從原點出發(fā)的2條射線分為2個區(qū)域時，一類平面分段線性Hamilton系統(tǒng)在多項式擾動下極限環(huán)的個數(shù).文獻[10]證明了當(dāng)平面被分為4個區(qū)域時，一類平面分段光滑線性系統(tǒng)可以存在5個極限環(huán).文獻[11]研究了平面被分為2個區(qū)域時，Bogdanov-Takens系統(tǒng)在分段n次多項式擾動下極限環(huán)個數(shù)的上確界.文獻[12]研究了一類多項式擾動下分段光滑近Hamilton系統(tǒng)極限環(huán)個數(shù)的上界.此外，也有研究考慮了一些二次分段系統(tǒng)的擾動問題[13-14].

本文考慮從原點出發(fā)的2m-1（m≥2）條射線l0，l1，…，l2m-2將平面分為2m-1個區(qū)域，射線lk-1與lk所夾的開區(qū)域記為Dk，k=1，2，…，2m-1.令l2m-1=l0，記D1*=D1∪l1，Dk*=Dk∪lk{（0，0）}，k=2，3，…，2m-1.考慮如下平面分段光滑Hamilton系統(tǒng)的擾動系統(tǒng)

其中：0＜ε?1；Hk（x，y）是Dk*上的二次實系數(shù)多項式；Pk（x，y）和Qk（x，y）是Dk*上的一次實系數(shù)多項式，

當(dāng)k=0，1，…，m-1時，射線lk的參數(shù)方程為

當(dāng)k=m，m+1，…，2m-2時，射線lk的參數(shù)方程為

其中τ∈[0，+∞）.

其中：a、b∈R+，x0＜0.

當(dāng)ε=0時，系統(tǒng)（1）0存在2種周期閉軌族，一種是左半平面內(nèi)的周期閉軌族，另一種是圍繞原點的周期閉軌族.當(dāng)m=2時，2種周期閉軌族的示意圖分別見圖1和圖2.

圖1 左半平面內(nèi)的周期閉軌族Fig.1 Periodic closed orbits in the left half plane

圖2 圍繞原點的周期閉軌族Fig.2 Periodic closed orbits around the origin

本文考慮圍繞原點的周期閉軌族Γh.設(shè)

本文得到如下結(jié)論.

定理存在一次實系數(shù)多項式Pk（x，y）和Qk（x，y），使得分段線性系統(tǒng)（1）ε至少存在3m個極限環(huán)，其中：m≥2，k=1，2，…，2m-1.

2 一階Melnikov函數(shù)

由文獻[10]，利用數(shù)學(xué)歸納法可證明引理1成立.

引理1系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)為

則Γhk的參數(shù)方程可寫為

引理2對于系統(tǒng)（1）ε，當(dāng)k=1，2，…，m-1時，

其中：

且ak，2k-1、ak，2k、ak，2k+1、bk對于qk，0、qk，1、qk，2、pk，0、pk，1、pk，2相互獨立，

證明當(dāng)k=1，2，…，m-1時，

計算得

利用Γhk的參數(shù)方程可得

將式（4）~式（6）代入式（3），經(jīng)化簡可得式（2）成立.

其中：α為Γhm位于Am-1（0，u2m-1）時所對應(yīng)的角，即cosα=為Γhm位于Am（0，-u2m-1）時所對應(yīng)的角，即

引理3對于系統(tǒng)（1）ε，

其中：am，2m-1=x0qm，2+2pm，0+x0pm，1，bm=-qm，2-pm，1，且am，2m-1、bm對于qm，0、qm，1、qm，2、pm，0、pm，1、pm，2相互獨立.

證明

計算得

利用Γhm的參數(shù)方程可得

將式（9）~式（10）代入式（8）可得式（7）成立.

則Γhk的參數(shù)方程可寫為

引理4對于系統(tǒng)（1）ε，當(dāng)k=m+1，m+2，…，2m-1時，

其中：

且ak，22m-k-1、ak，22m-k、ak，22m-k+1、ak，3×22m-k-1對于qk，0、qk，1、qk，2、pk，0、pk，1、pk，2相互獨立.

證明當(dāng)k=m+1，m+2，…，2m-1時，

計算得

利用Γhk的參數(shù)方程可得

將式（13）~式（15）代入式（12）可得式（11）成立.

3 一階Melnikov函數(shù)變號零點的個數(shù)

引理5[9]設(shè)f（u）和g（u）是R+上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)0＜u?1時，

其中fm·gl≠0.若f（u）在R+上存在k個變號零點，且l＜m，則存在實數(shù)C，使得F（u）=f（u）+Cg（u）在R+上至少存在k+1個變號零點.

由引理5可得如下推論.

推論[9]設(shè)φi（u）是R+上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)0＜u?1時，φi（u）=Aiuαi+o（uαi），Ai≠0，α1＜α2＜…＜αk，則存在實數(shù)Ci，i=1，2，…，k，使得上至少存在k-1個變號零點.

定理的證明當(dāng)k=1，2，…，m-2時，計算得

當(dāng)k=m+1，m+2，…，2m-2時，計算得

由μk，k=1，2，…，2m-1的計算結(jié)果及引理1~引理4可得系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)為

當(dāng)i=m+1，m+2，…，2m-1時，因為

因此有

其中：多項式中u的次數(shù)模3同余1或0，

當(dāng)i=1，2，…，m-1時，由Taylor展開式可得

則Φ3×2i-1+2（u），i=1，2，…，m-1中u的最低次數(shù)模3同余2.

當(dāng)u→0+時，因為0+，所以α→0+，故π-α→π-，此時有

綜上可得

其中：

故M1（h）=0等價于

由推論可知，M1（h）至少存在3m個變號零點，即系統(tǒng)（1）ε至少存在3 m個極限環(huán).定理證畢.