基于MATLAB與CATIA的漸開線斜齒輪精確快速建模方法研究

葛德，徐飛，林勇

（無錫商業職業技術學院機電技術學院，江蘇無錫 214153）

0 引言

齒輪傳動是近代機器中最常見的一種機械傳動，是傳遞機器動力和運動的一種主要形式。斜齒輪因其在傳動中傳動平穩、噪聲小、承載能力高等特點而被廣泛使用。CAD環節則是整個CAX流程的基礎，對于形狀復雜的斜齒輪精確快速建模及后續方案修改，通過三維設計軟件平臺變量與參數的混合建模可輕松實現，大幅縮短產品設計周期。本文在對斜齒輪深入研究基礎上，指出一種現有建模方法上的錯誤思路，并提出一種基于MATLAB和CATIA多平臺環境下的斜齒輪快速精確建模方法。

1 漸開線齒輪的形成原理

1.1 齒輪漸開線的形成原理

如圖1所示，當一條直線MN沿半徑為rb的圓周作純滾動時，其直線上任意一點M的軌跡PM就是該圓的漸開線。在直角坐標系下，動點M軌跡方程為：

圖1 漸開線生成原理

式中：θ為漸開線發生線的滾動角，θ=θk+αk；θk為漸開線展角；αk為漸開線壓力角。

1.2 斜齒輪齒面的形成原理

圖2所示為斜齒齒輪形成原理圖，由圖可知，當發生面BB″T′t沿半徑為rb的基圓柱作純滾動時，發生面上直線BB′所展出的漸開面BB″A′A為直齒輪齒廓曲面。斜齒輪齒廓曲面的形成與直齒輪類似，只是發生面上的直線與軸線不再平行，而是與基圓柱軸線成一角度βb，即斜直線BB″的運動所展出的曲面BB″A″A為斜齒輪的齒廓曲面。漸開曲面BB″A″A與基圓柱的交線AA″是一條螺旋線，螺旋角為βb，故斜齒輪的齒廓曲面為漸開螺旋面。

圖2 斜齒齒輪面形成原理

2 基于CATIA建模分析

2.1 建模方法分析

國內部分學者基于CATIA進行漸開線斜齒輪參數化建模時，一般是以直齒輪齒廓為基礎，按照螺旋角β進行三維拉伸，在CATIA中建立基本參數連接相關公式繪制若干點對應坐標[1-3]。其中在β的定義過程中有兩種思路：一是以建立螺旋線參數方程生成螺旋曲線為路徑，進而完成斜齒輪實體建模；二是以按照螺旋角β定義通過投影獲得所需螺旋角，生成實體建模。在此過程中主要存在以下幾點問題：

1）在CATIA中，由于漸開線是以樣條曲線聯接參數方程生成若干關鍵控制點所形成，點數數量有限且繪制不精確，樣條曲線與理論廓線差距較大，齒廓精度無法保證，最終影響數值模擬分析。這也是困擾廣大科研工作者的一大核心問題。

2）輪齒齒廓漸開線展角θk沒有固定值，通常選取θk>>[θa]（輪齒齒廓展角），以避免在更改齒輪參數時，因漸開線長度不夠而出現錯誤。在θk取值一定的情況下，所繪制漸開線精度與控制點數成正相關，精度越高所需點數越多，生成數據也就越龐大。

3）在進行實體成形時，有相關技術人員采用的參考β以投影方法，將一平面上的與齒輪軸線夾角成β斜線投影到分度圓圓柱面，這并非按照斜齒輪螺旋角β的定義——展開（純滾動）進行，最終齒輪的螺旋角β′≠β，而應通過建立以螺旋線參數方程生成螺旋曲線做為螺旋角β。

基于上述問題分析，在CATIA進行斜齒輪參數化建模時，輪齒齒廓會產生多元偏差，在進行有限元仿真分析時，會產生較大誤差。

2.2 改進方案

利用MATLAB GUI進行漸開線齒廓的繪制并生成可控關鍵點，通過宏運算將可控關鍵點導入CATIA，進而在CATIA中完成三維實體建模。該方案有如下優勢：

1）漸開線繪制的高效性。通過程序編譯自動生成漸開線關鍵點及相應坐標，利用宏運算將點云數據批量導入CATIA環境中，免去在CATIA中手動輸入并編輯點的工作，同時保證了漸開線的精度。

2）輪齒齒廓最大展角θk具有自適應性。在生成漸開線的程序中通過設置方程約束，確定了θk邊界條件，生成的漸開線即為有效漸開線，且輪齒齒廓展角θa會隨齒輪參數更改而自行更新，實現了漸開線的精確自動繪制，生成的數據簡潔有效。

3）螺旋角β具有較高的可靠性。進行肋特征的參考β按照螺旋角的定義，通過展開特征獲得，并非通過投影獲得（具體內容見下文），這就保證了齒輪螺旋角β的正確性。

3 漸開線斜齒輪參數化建模實例

現以某新型汽車變速箱行星齒輪為例，基于MATLAB進行交互界面程序開發，在CATIA環境下進行斜齒輪的參數化建模，相關參數指標如表1所示。

表1 某新型汽車變速箱行星輪部分參數

3.1 漸開線展角θk邊界條件

由圖1及漸開線方程可知，漸開線在向徑為rk處的展角θk為

由圖3可知，在標準漸開線齒廓當中，齒頂圓與漸開線有且僅有一交點k，OK為標準齒輪齒廓漸開線最大向徑rk，由幾何關系知：

圖3 齒輪齒廓漸開線曲線

式中：α為標準漸開線齒輪壓力角，取定值20°；z為標準漸開線齒輪齒數；[θa]max為最大齒廓展角。

式（3）表明：漸開線標準齒廓展角θa大小僅與齒數z有關，與模數m無關，因此標準齒輪齒廓漸開線展角θk的邊界條件為[0,θa]。

3.2 基于MATLAB GUI及CATIA聯合建模過程

本文利用MATLAB 開發漸開線曲線設計平臺，通過輸入相關參數，生成漸開線曲線圖形，最后導出點云數據。所開發的軟件界面如圖4所示。

圖4 標準齒輪漸開線曲線參數化設計平臺界面

程序主窗口包含方程顯示區、參變量輸入區、圖像顯示區、命令區。預設參變量缺省值為0，通過更改控制取樣點數可以達到控制漸開線精度的目的。以行星齒輪為例，通過輸入表1中相關參數，生成的曲線為二維曲線，在保存點云數據時，軟件會自動填補曲線第三維坐標為0。將保存的三維點云坐標通過宏運算將點云數據批量導入CATIA環境中，生成漸開線曲線如圖5所示，圖中所示取樣點數為100。在CATIA環境下生成一個帶參標準漸開線齒輪的端面幾何圖形，如圖6所示。

圖5 基于MATLAB GUI與CATIA GSD環境下實現漸開線繪制

圖6 全齒端面幾何圖形

3.3 螺旋角β的分析與繪制

通常在CATIA中進行三維特征創建時，所采用的螺旋角β為投影方法得到，而應用此方法所得到的螺旋角β已不是斜齒輪所用的螺旋角β，即采用投影法繪制的圖形是錯誤的。

在一般情形下，已知基圓半徑rb，漸開線上K點處坐標（Kx，Ky）（Kx≠0），建立一般情況下的直角坐標系如圖7（假設圖示點均位于第一象限）所示。

圖7 漸開線通用坐標系

設M、B、A 三點坐標分別為（Mx，My）、（Bx，By）、（Ax，Ay），則有：

如圖8所示，已知rb=10 mm，K點坐標為(4,11)，按照式（4）～式（6），得M、B、A三點坐標分別為M（3.417 436,9.397 934）、B（7.803 677,6.253 208）、A（2.830 540,9.591 037），通過驗證，上述推理完全正確，即論證了投影與展開的區別。圖9為采用展開方法建立的齒輪數模。

圖8 投影與展開驗證

圖9 漸開線斜齒輪三維數模圖

3.4 螺旋角β的驗證

為對所建立的斜齒輪模型準確性進行驗證，按照螺旋線的定義，將生成的三維實體隨機取樣，用于驗證斜齒輪螺旋角β的正確性。如圖10所示，各取樣點處的螺旋角度均為β，所建數模符合要求。圖11為隨機更改齒輪相關參數（z=30、β=8°）獲得的齒輪數模，數模隨參數變化而自動更新，表明建模思路方法是切實可行的。

圖10 行星輪某齒各取樣點下螺旋角β值

圖11 更改齒輪參數后數模及螺旋角β

4 結語

1）分析了在利用CATIA進行斜齒輪數字化建模時，易出現的幾點缺陷及產生原因，并提出相對應解決方案。

2）分析并得出了漸開線齒輪漸開線展角與齒輪基本參數之間函數的關系，并基于上述成果實現了基于MATLAB的可用于生成標準直齒輪漸開線曲線的可執行程序開發，提高了漸開線繪制精度和效率。

3）分析了CATIA曲面建模中，投影與展開命令的原理，得出各點坐標推導關系，指出并糾正了一種斜齒輪螺旋角β的繪制思路方法。

4）實現了基于MATLAB與CATIA的漸開線標準斜（直）齒輪參數化建模方法，為齒輪傳動系統的快速三維實體建模及后續相關仿真分析奠定基礎。