光學諧振腔的傳輸特性*

王雅君 王俊萍 張文慧 李瑞鑫 田龍 鄭耀輝?

1) (山西大學光電研究所, 量子光學與光量子器件國家重點實驗室, 太原 030006)

2) (山西大學, 極端光學協同創新中心, 太原 030006)

(2021 年2 月1 日收到; 2021 年5 月11 日收到修改稿)

1 引 言

光學諧振腔作為現代光學應用中的一種重要光學器件, 可實現光學空間與頻率模式過濾、噪聲轉換、增強激光輻射、非線性相互作用和光譜吸收等物理過程[1-13], 在激光物理學、量子光學、激光光譜學、精密測量等研究領域有著廣泛的應用價值. 從幾何光學的角度來講, 關于光學諧振腔的基本特性, 如穩定性、幾何損耗、諧振腔模模式等的研究已經比較透徹, 作為一種重要器件已實現了激光選模、波長調諧、高靈敏傳感等應用. 然而, 關于光學諧振腔的基本功能特性, 如光學濾波、能量傳輸、噪聲轉換等特性的研究較少.

在實際應用中, 腔長、鏡面參數與內腔損耗決定了光學諧振腔的光學頻率帶寬—線寬[8], 因此,其透射場可作為光學低通濾波器, 抑制超出線寬范圍的光場高頻噪聲; 而反射場與透射場相位相差180°, 可作為高通濾波器, 抑制線寬內的光場低頻噪聲. 例如, 在激光陀螺儀應用中, 利用超窄線寬光學諧振腔, 結合超低熱膨脹系數材料可制作超穩腔, 利用其輸出場大幅壓窄激光線寬, 實現超穩窄線寬激光輸出[14-16]. 在引力波探測中, 利用光學諧振腔反射場的高通濾波特性可實現低頻強度噪聲的抑制[17-20]; 通過濾波腔反射場實現壓縮光噪聲方位角的操控, 實現頻率依賴的壓縮真空態制備,迎合干涉儀量子噪聲譜, 實現全頻段量子噪聲抑制[21,22]. 以上關于光學諧振腔的應用均與光學諧振腔的相位傳輸特性相關. 因此, 從應用的功能特性來講, 光學諧振腔是一種高精度的相敏檢測器件,通過相位可實現激光場強度、相位、頻率的操控.同時, 作為一種操控量子噪聲的重要光學器件, 其損耗特性—能量傳輸特性(損耗等效于引入真空噪聲)將決定量子噪聲的抑制水平[23]. 然而, 目前針對激光束經過光學諧振腔后的傳輸過程的詳細研究較少, 有必要進行詳細討論, 相關研究將提升光學諧振腔在微弱信號測量應用中的測量精度和靈敏度.

本文介紹了光學諧振腔的傳輸函數理論, 包括相位、能量和噪聲傳輸特性. 依據諧振腔參數的不同, 對比分析了欠耦合腔、阻抗匹配腔和過耦合腔三種類型諧振腔的幅度與位相傳輸特性, 由此分析三種腔型的頻譜與噪聲傳輸特性, 為光學諧振腔在精密測量中的應用提供研究基礎.

2 光學諧振腔的傳輸函數

阻抗匹配因子a是光學諧振腔的一個重要參數, 與輸入耦合鏡的反射率r1以及內腔附加損耗1?有關, 如反射鏡的吸收、散射損耗以及輸出耦合鏡的傳輸損耗 1?.a的表達示為[24]

圖1 兩鏡腔結構簡圖Fig. 1. Structure diagram of two-mirror cavity.

2.1 光學諧振腔的能量傳輸特性

為了研究各種腔型的能量傳輸特性, 保持腔的輸入、輸出耦合鏡的反射率之和R1+R2=1.988不變, 改變耦合鏡反射率R1和R2相對大小, 可以使腔分別處于欠耦合、阻抗匹配和過耦合狀態. 腔輸出的光強變化情況如圖2(a)所示, 其中內腔損耗系數設為δ=0.5‰ , 此時內腔損耗為1?rl2oss=0.001, 紅色曲線表示腔的光強反射率, 綠色曲線表示腔的光強透射率, 藍色曲線表示腔的光強反射率與透射率之和. 可以看出, 當腔處于欠耦合, 即r1>r2e?δ時, 隨著輸出耦合鏡反射率R2的增大,腔的反射率逐漸減小, 透射率逐漸增加; 當腔處于阻抗匹配, 即r1=r2e?δ時, 腔的反射率到達最小值0, 透射最大; 當腔為過耦合腔, 即r1

圖2 不同腔型的特性 (a)能量傳輸特性; (b)循環功率特性Fig. 2. Characteristics of different cavity types: (a) Energy transfer characteristic; (b) cyclic power characteristic.

2.2 光學諧振腔的傳輸函數

傳輸函數G(f) 可以表征光學諧振腔輸入場到反射場在頻率f處的相對功率波動[24], 表示為

其中g(a)=1/a. 參量h(f)=1/(1+if/f0) 表示腔的功率起伏的濾波效應,f為入射光的邊帶頻率,f0為腔的線寬. 假設腔的輸入鏡反射率R1=0.99 ,內腔損耗 1?=0.001 , 輸出鏡的反射率R2=0.99 ,由(1)式計算獲得a=0.0474 , 則g=21 . 圖3 為該諧振腔傳輸函數G(f) 模的大小和位相的變化, 橫坐標為分析頻率f, 歸一化到諧振腔的線寬f0. 綠色曲線表示傳輸函數的模 |G(f)| 隨f的變化情況.在f較小時, 傳輸函數 |G(f →0)|=1 . 隨f的增大,傳輸函數 |G(f)| 不斷增加.f較大時, 傳輸函數|G(f →∞)|→21, 即 |G(f →∞)|→g, 增益因子|g|限制了傳輸函數 |G(f)| 在高頻處的最大值. 如果要獲得高的增益, 可以使諧振腔處于近阻抗匹配(即 |a|?1 , 但是a=0 ). 圖3 中的紅色和藍色曲線分別為在諧振腔處于欠耦合(a=0.0474 ,g=21 )和過耦合(a=?0.0474 ,g=?21 )時的傳輸函數G(f)的相位隨頻率的變化趨勢. 對于欠耦合諧振腔, 傳輸函數G(f) 的相位為正相位, 隨著頻率的增加, 相位先從0°增加到65.4° (f=0.22 ), 然后減小到0°; 對于過耦合諧振腔, 傳輸函數G(f) 的相位為負相位, 隨著頻率的增加, 相位從0°到–180°單調變化. 通過以上討論可知, 可以將諧振腔看作是一個與分析頻率f有關的分束器或濾波器.

圖3 傳輸函數G(f) 隨頻率f 的變化Fig. 3. Diagram of the transfer function G(f) with respect to frequency f.

3 光學諧振腔的噪聲傳遞

3.1 反射場的強度與位相

上面討論的是光學諧振腔滿足諧振條件的情況, 當考慮諧振腔存在一定的失諧量時, 其反射場的振幅可以表示為[9]

下面討論各類腔型的光強反射率隨Δ的變化情況. 圖4 為腔的光強反射率和反射位相θR與失諧量Δ的關系圖, 藍線表示腔的光強反射率, 紅線表示位相θR, 橫坐標為腔的失諧量Δ, 圖4(a)為過耦合腔時的光強反射率和位相隨Δ的變化關系,其輸入鏡的反射率R1=0.99 , 輸出鏡的反射率R2=0.998. 腔在遠失諧 |Δ|?0 時, 輸入腔的光場幾乎被全部反射, 此時反射率近似為1. 腔在逐漸向共振條件靠近時, 部分光場進入腔內, 并透出腔體, 腔的光強反射率逐漸減小. 在滿足光場與腔諧振條件Δ=0 時, 腔的光強反射率達到最小值. 同時, 過耦合腔的反射位相θR變化范圍較大, 從諧振點到遠失諧狀態, 對應位相由0 逐漸過渡到2π. 當腔處于負的遠失諧時, 位相θR接近于0. 當腔完全滿足諧振條件時, 位相θR=π ; 處于半失諧時,θR=π/2 或 3π/2 ; 腔處于正的遠失諧時, 位相θR則接近2π. 圖4(b)為欠耦合腔時的光強反射率和位相隨Δ的變化關系, 其輸入鏡的反射率R1=0.998 ,輸出鏡的反射率R2=0.99 . 欠耦合腔的光強反射率變化情況與過耦合腔的相同, 而位相θR沒有過耦合腔的變化范圍大, 從接近–0.06π 變化到+0.06π附近. 腔處于遠失諧 |Δ|?0 時, 位相θR→0;Δ=0時, 位相θR=0 . 圖4(c)為阻抗匹配腔的光強反射率和位相隨Δ的變化關系, 其反射率R1=R2=0.994. 腔在遠失諧 |Δ|?0 時, 反射率近似為1. 腔在逐漸向共振條件靠近時, 光強反射率逐漸減小.區別于過耦合和欠耦合腔, 在Δ=0 時, 阻抗匹配腔的光強反射率為0. 而位相θR與欠耦合腔類似, 腔在遠失諧 |Δ|?0 時, 位相θR→0 , 當在接近共振條件Δ →0 時, 位相θR→?π/2 或 π/2 , 即在共振點附近位相變化比較靈敏.

圖4 光學諧振腔光強反射率和反射位相 θR 與失諧量Δ 的關系 (a) 過耦合腔, R1 =0.99 , R2 =0.998 ; (b)欠耦合腔, R1 =0.998 , R2 =0.99 ; (c)阻抗匹配腔,R1 =R2=0.994Fig. 4. Relations between optical intensity reflectivity and reflection phase θR and detuning Δ in optical resonator:(a) Over-coupled cavity, R1=0.99 , R2 =0.998 ; (b) undercoupled cavity, R1 =0.998 , R2 =0.99 ; (c) impedance matched cavity, R1 =R2 =0.994 .

3.2 輸出場的噪聲特性

下面討論光學諧振腔的噪聲傳輸特性, 為了方便分析, 以圖5 三鏡環形諧振腔為例分析噪聲傳遞特性. 三鏡環形諧振腔是當前量子噪聲操控的主要諧振腔器件, 相比兩鏡駐波腔, 三鏡腔更容易實現輸入光場和輸出光場的空間分離, 可有效避免反射光返回上游光路, 引入后向反饋噪聲. 輸入場Ain1由輸入鏡 M1注入腔內, 其反射光場為Aout1. 真空場Ain2從右側的輸出鏡 M2進入腔內, 透射光場為Aout2. 其中腔鏡 M3是鍍有高反膜的凹面鏡, 在這里不考慮真空場. 對于一個諧振腔, 輸出場Aout1,Aout2與輸入場Ain1,Ain2的關系為[24]

圖5 三鏡環形諧振腔的噪聲模型Fig. 5. Noise model of three-mirror annular resonator.

其中f為輸入場Ain1的邊帶頻率,f0為腔的線寬.

在測量振幅較大、波動較小的光場時, 可將算符做線性化處理. 因此算符Ain1和Ain2可寫為

其中,α是與時間無關的載頻振幅,δAin1和δAin2表示光場的小波動,δAin1和δAin2的期望值均為零. 輸入光場Ain1的經典振幅對應于α, 由于輸入光場Ain2為真空場, 它的平均場為零, 只有起伏項δAin2.將其代入(10)式和(11)式可得:

同理, 腔的反射光場Aout1和透射光場Aout2也可以寫為

代入(14)式和(15)式可得

反射光場Aout1和透射光場Aout2的起伏量分別為δAout1和δAout2, 則可推導出方差 Var(δAout1) 和Var(δAout2)分別為

將所有算符轉化為傅里葉空間后, 利用譜方差計算功率噪聲的雙邊功率譜S,

圖6 腔輸出場的量子噪聲限制 (a)阻抗匹配腔中噪聲隨頻率的變化; (b)非阻抗匹配腔中噪聲隨頻率的變化;(c)反射光場噪聲隨阻抗匹配因子a 的變化Fig. 6. Quantum noise limitation of cavity output field:(a) Variation of noise with frequency in impedance matched cavity; (b) variation of noise with frequency in a non-impedance matched cavity; (c) variation of noise of the reflected light field with impedance matching factor a.

為進一步研究腔的反射光場降噪效果與阻抗匹配因子a的關系, 取頻率f/f0=0.01 , 使阻抗匹配因子a從–1 到1 變化, 反射光場的噪聲結果如圖6(c)所示. 可以看出, 只有當腔處于阻抗匹配或近阻抗匹配時, 才能達到較好的降噪效果.

結合以上分析可知, 諧振腔完全滿足諧振條件時, 其輸出場可看作低通濾波器, 高頻噪聲直接被反射, 輸出端高頻噪聲被大幅抑制, 遠大于線寬頻率處的噪聲達到散粒噪聲基準. 因而, 可通過窄線寬的光學諧振腔大幅抑制超出線寬范圍的光場噪聲. 同時, 從三種類型光學諧振腔的位相關系圖中可以發現, 過耦合腔處于半失諧狀態時, 相對于載頻處, 邊帶頻率的位相旋轉 ± 90°, 因而在這種情況下過耦合腔可將光場位相噪聲轉換為振幅噪聲, 可用于位相噪聲的測量[9]或壓縮光壓縮角的旋轉[21,22,27], 對激光噪聲分量的分析和量子噪聲的操控具有重要的應用價值.

4 結 論

本文通過光學諧振腔的傳輸函數、噪聲傳遞模型, 理論分析了過耦合腔、阻抗匹配腔與欠耦合腔三種腔型結構的位相、強度、噪聲的頻譜特性和能量傳輸特性. 依據噪聲的頻譜分析結果, 反射場可等效為高通濾波器, 透射場可等效為低通濾波器;依據相位的頻譜分析結果, 區別于阻抗匹配與欠耦合腔較小的位相變化, 過耦合腔反射場可實現0—2π 范圍內的位相操控, 當處于半失諧時, 位相變化π/2, 輸入場位相噪聲完全轉換為振幅噪聲,可用于位相噪聲的測量與量子噪聲方位角的操控.同時, 在三類腔型結構中, 過耦合腔輸出場能量損耗最大. 本文分析結果為各種光學諧振腔在不同場合的應用提供了依據, 為利用光學諧振腔操控光場量子噪聲, 提升精密測量的精度提供了保障.