團簇狀缺陷對纖維束斷裂過程的影響*

曹振 郝大鵬 唐剛 尋之朋 夏輝

(中國礦業大學材料與物理學院, 徐州 221116)

(2021 年2 月10 日收到; 2021 年5 月6 日收到修改稿)

1 引 言

材料在受到過度負載作用時, 會發生由微觀裂紋到宏觀斷裂的不可逆演化過程. 在各種工程領域, 經常發生起源于微裂紋或終結于裂紋擴展的災難性斷裂事故, 如地震引起的地質構造開裂或建筑垮塌, 工程結構受到反復負載或者碰撞而損壞, 壓力管道的裂紋或機械構件的斷裂等. 這些損壞或斷裂給生產生活帶來巨大損失[1], 因此研究材料斷裂過程中的斷裂力學性質具有十分重要的理論和實踐意義[2]. 研究材料宏觀斷裂的微觀機制有助于掌握斷裂的臨界現象, 進而避免或者減少材料斷裂造成的危害[3,4], 甚至可以對材料的宏觀斷裂現象進行預測[5]. 材料本身或材料在制備過程中都會存在不同程度的雜質和缺陷, 導致實際非均勻材料的微觀結構屬于一種無序系統[6-8]. 由于無序系統的復雜性, 目前沒有確定的微分方程可以描述和解決無序材料斷裂中復雜的動力學過程. 所以研究無序材料的微觀斷裂機制需要依賴于一些基于統計的格點模型[9], 纖維束模型是研究無序材料拉伸斷裂機制的常用統計模型. 雖然纖維束模型相對比較簡單, 但是卻能夠模擬材料的微觀斷裂機制, 模擬結果也可以和實際拉伸實驗進行比較[10-12]. 近年有針對PET 纖維束的準靜態和動態拉伸斷裂實驗的研究, 通過與實驗結果對比, 發現準靜態拉伸斷裂實驗得到的本構曲線與纖維束模型的模擬結果比較符合[13].

經典纖維束模型用來模擬線彈性纖維在準靜態加載條件下的脆性斷裂過程[6], 纖維的斷裂閾值滿足具體的概率分布函數和累計分布函數, 關系如下[14,15]:

當纖維承受的負載超過閾值后, 這根纖維發生斷裂, 不再承受任何力, 釋放的負載再分配給其他未斷纖維. 根據負載再分配方式的不同, 纖維束模型可分為平均應力再分配模型 (GLS)、最近鄰應力再分配模型(LLS)和一般的局域應力再分配模型. 平均應力再分配模型可以看成是考慮了長程作用的平均場模型, 可以應用平均場理論得到精確的解析結果, 而最近鄰應力再分配模型則考慮了短程相互作用, 纖維斷裂后負載只會分配給最近鄰的纖維[16-19], 最近鄰應力再分配模型難以得到解析結果[19,20], 主要依賴于數值模擬方法進行處理.

為了更好地模擬不同材料的拉伸斷裂過程, 在經典纖維束模型的基礎上, 又構建了大量的擴展纖維束模型. 經典纖維束模型的每根纖維本身是脆性斷裂, 即纖維達到閾值后立即斷裂. 而在連續損傷模型中, 當纖維承擔的應力在達到損傷閾值后, 纖維并不會直接斷裂而是先受到損傷, 此時受損傷纖維的楊氏模量會衰減[21,22]. 在連續損傷模型中損傷次數和閾值分布是影響非脆性斷裂過程及其斷裂性質的主要因素[23]. 為了模擬高聚物等纖維強化復合材料的動態力學行為而構建的黏彈性纖維束模型可以研究蠕變斷裂行為. 黏彈性纖維束模型中最重要的斷裂性質就是蠕變壽命的統計[24,25]. 近年來有些研究者通過改變閾值分布指數和閾值上限值這兩個無序參數控制系統的無序程度, 分布指數越大閾值無序度越低, 閾值上限值越高無序程度越高[17,26,27]. 這類模型實質是通過控制閾值分布改變系統無序性, 系統無序程度的變化導致斷裂性質發生極大的改變. 另外還有針對高維度纖維束模型的研究, 在最近鄰應力再分配的基礎上分別對1—8維的模型進行了模擬計算, 結果發現隨著維數增加, 最近鄰應力再分配模型逐漸渡越到平均應力再分配模型[28,29].

在研究材料斷裂的微觀機制時發現, 實際材料的拉伸強度常比應用連續性理論得到的理論結果小得多, 出現這一現象的主要原因是材料的微觀結構中廣泛存在的缺陷結構. 缺陷對材料的力學性質和斷裂過程具有復雜影響, 缺陷不僅具有隨機性,而且種類繁多, 常見的缺陷包括空洞、空隙、雜質、位錯和微裂紋等. 近年有些工作利用實驗方法和有限元方法研究材料微觀結構中的缺陷對材料斷裂的影響, 這些隨機分布的微觀缺陷結構對復合材料的力學性能和斷裂過程造成顯著的影響[30,31]. 缺陷影響了材料斷裂過程中裂紋微觀的成核過程和前沿的傳播性質, 進而影響材料的可靠性, 制約了材料的負載能力. 因此, 有必要從理論上研究缺陷對材料拉伸斷裂性質的影響[32,33]. 理論上研究缺陷的影響, 首先需要構建能夠描述缺陷的統計模型. 纖維束模型可以很好地描述無序材料的拉伸斷裂性質, 但沒有考慮到缺陷對拉伸斷裂性質的影響.在以往的工作中, 我們在經典纖維束模型的基礎上, 初步構建了考慮單尺寸缺陷的含缺陷纖維束模型, 并應用數值模擬的方法分析了缺陷對纖維束模型拉伸斷裂性質的影響[34,35]. 本文將在此基礎上, 構建更加符合實際材料結構的含缺陷纖維束模型, 進一步深入研究缺陷對材料拉伸斷裂性質的影響.

2 含缺陷纖維束模型

在已有研究單尺寸缺陷的簡單含缺陷纖維束模型[34,35]中, 僅考慮了隨機分布的單根纖維的缺陷, 沒有考慮缺陷尺寸這一重要因素的影響. 除了纖維束模型, 彈簧網絡模型中也有相似的缺陷算法, 缺陷密度是彈簧網絡模型中最重要的影響因素[36]. 僅僅考慮單一尺寸缺陷的密度和缺陷程度還不足以描述實際材料的缺陷性質. 為了更好地分析缺陷對材料拉伸斷裂過程的影響, 本文構建更加符合實際的含缺陷纖維束模型. 縱向上, 同一根纖維可能出現多處缺陷, 計算時取最大程度的缺陷值為這根纖維的缺陷; 橫向上, 考慮缺陷聚集在一起形成團簇狀結構. 此模型在考慮缺陷空間分布的基礎上, 引入隨機缺陷尺寸變量, 同時考慮缺陷程度的空間衰減因素, 假設缺陷程度按照一定的函數關系隨著缺陷尺寸變化.

在模擬過程中, 首先構建經典纖維束模型, 假設纖維閾值最初滿足均勻分布, 其概率密度為

對應的累積分布函數為

然后, 在此基礎上, 引入團簇狀缺陷的描述方法[37].首先假設纖維束中有α個大小不同的缺陷, 缺陷的中心位置在纖維束中滿足均勻分布, 再根據缺陷尺寸確定缺陷的邊界范圍. 缺陷尺寸可以采用固定值或滿足一定的概率分布, 本文選定缺陷尺寸在[0,β]之間滿足均勻分布, 并假設缺陷同纖維束一樣滿足周期性邊界條件. 第i個缺陷的缺陷尺寸記為βi, 其中心纖維的缺陷程度定義為Ci,

其中γ>β是決定中心缺陷程度的控制變量. 如圖1所示, 以缺陷中心為坐標零點建立直角坐標系. 在缺陷內部不同纖維的缺陷程度與其位置之間滿足一定的函數關系, 本文首先采用了簡單的線性衰減函數關系. 如圖1 所示, 假設第i個缺陷內部, 以缺陷中心為計數基準, 第j(j≤βi/2) 根纖維的初始閾值記為xj, 引入缺陷后其斷裂閾值x?j表示為

圖1 一維纖維束模型的團簇狀缺陷程度示意圖Fig. 1. Schematic diagram of cluster defect degree for onedimensional fiber bundle model. The Cartesian coordinate system is established with defect center as its coordinate zero.

對一維排列的纖維束來說, 缺陷中心纖維的缺陷程度最大, 向左右兩邊逐漸呈線性衰減. 不同尺寸的缺陷, 其中心纖維的缺陷程度與該缺陷的尺寸呈正比, 缺陷尺寸越大, 中心纖維缺陷程度越高.因為考慮了不同尺寸的缺陷, 所以會出現同一根纖維可能同時處于多個缺陷之中. 由于模型假設了在多個缺陷重合的情況下, 取最大的缺陷程度作為這根纖維的實際缺陷. 因此, 在多個缺陷出現空間重疊現象時, 纖維束系統會出現一個大尺寸缺陷邊緣處的缺陷程度與小尺寸缺陷中心位置缺陷程度的競爭, 也就是說大尺寸缺陷不能完全覆蓋其他缺陷. 圖2 為團簇狀缺陷模型示意圖, 以3 個缺陷為例, 同一根纖維可能多次受到團簇狀缺陷的影響,缺陷滿足周期性邊界條件.

圖2 一維纖維束模型的團簇狀缺陷模型示意圖, 其中包含3 個缺陷, 缺陷和纖維束都采用周期性邊界條件Fig. 2. Schematic diagram of the clustered defect model of the one-dimensional fiber bundle model, which contains 3 defects, both the defect and the fiber bundle adopt periodic boundary conditions.

在以上構建的含缺陷的纖維束模型中, 假設纖維束被準靜態地拉伸直至完全斷裂. 一根纖維斷裂后, 所承擔的應力需要在其他未斷裂的纖維中進行重新分配. 由于缺陷對整個纖維束來說是局域的,直接影響了纖維之間的局域相互作用, 因此, 本模型的應力再分配機制采用最近鄰應力再分配. 根據上述模型構建方法可知, 該模型最重要的參數是缺陷個數α以及缺陷尺寸上限β. 接下來, 應用數值模擬方法分別分析缺陷個數α以及缺陷尺寸上限β對模型拉伸斷裂性質的影響. 在模擬中, 纖維束尺寸取100000 根纖維, 以下分析的結果是不少于5000 次模擬結果的系綜平均.

3 缺陷個數α 對斷裂過程的影響

缺陷個數α表示了纖維束中缺陷的多少, 為了單獨分析缺陷個數α對模型拉伸斷裂性質的影響, 首先固定缺陷尺寸上限β的值. 在本模型中,考慮到系統的尺寸以及實際材料出現缺陷的情況.一般情況下, 缺陷尺寸相比系統的尺寸來說要小得多, 因此β不應太大; 另外, 在以往的研究中, 我們已經分析了β= 1 的極限情況, 當β太小時, 模型趨向于β= 1 時的極限情況, 團簇狀缺陷結構不明顯, 因此,β取值也不應太小. 在以下的模擬中,首先固定β= 150,γ=200 , 考慮缺陷個數α在50—3200 之間變化, 分析缺陷個數α對斷裂性質的影響.

圖3 給出了模型在拉伸斷裂過程中本構曲線與缺陷個數α的關系, 橫坐標ε表示應變, 縱坐標σ表示應力, 其中缺陷尺寸上限β固定為150. 從圖3 可以看出, 雖然模型中每一根纖維都具有脆性斷裂性質, 但整體上本構曲線在斷裂階段還是表現出一定的非脆性斷裂性質. 由于模型中各纖維的斷裂閾值分布存在著漲落, 使得每次模擬得到的臨界應變和臨界應力也存在漲落, 在最后模擬結果中,進行系綜平均后就呈現出一定的非脆性斷裂性質,在達到臨界應力之后, 應力并沒有立即降為0. 不同缺陷個數α下的本構曲線在臨界斷裂前基本上是重合的, 在接近臨界斷裂時稍有變化. 對拉伸斷裂過程的應力應變關系來說, 初始階段的本構曲線主要由斷裂閾值較小的纖維的閾值分布決定, 而缺陷對纖維束中纖維斷裂閾值中較小閾值的分布影響較小. 由于在不同的缺陷個數取值下, 纖維斷裂閾值分布中較小閾值的分布均近似符合均勻分布,因此, 缺陷個數取值對模型拉伸斷裂的本構曲線初始階段幾乎沒有產生影響. 缺陷個數α對纖維束斷裂力學性質的影響不是線性的, 在缺陷個數α較小時, 對本構關系的影響比較明顯; 而當缺陷個數α取值較大時, 對本構關系的影響反而較小, 接下來定量分析缺陷個數α對臨界應力大小的影響.

圖3 不同缺陷個數α 下系統的本構關系, α 在50—3200的范圍內變化, 圖中 ε 表示應變, σ 表示應力Fig. 3. Constitutive curves of the system under different number of defects α, α varies from 50 to 3200. In the figure,εrepresents strain and σ represents stress.

圖4 為臨界應力σc與缺陷個數α的關系曲線, 其中缺陷尺寸上限β為固定值150. 從圖中不難發現, 臨界應力隨著缺陷個數的增加單調地減小, 當缺陷個數比較小時臨界應力隨缺陷個數的變化比較明顯, 而當缺陷個數增加到相對較大數值時, 臨界應力的減小則緩慢得多. 值得注意的是,模擬中采用了相對較大的缺陷尺寸, 也就是說即使在缺陷數目比較少的情況下, 大尺寸缺陷的出現仍然會對臨界應力造成較大的影響. 而且由于缺陷數目比較小, 缺陷的空間分布比較分散, 缺陷之間重疊的情況很少. 因而縱向上不同缺陷程度的競爭作用不強, 此時少數的大尺寸缺陷會對系統的力學性質產生較大的影響. 而當缺陷數目增加到較大值的時候, 缺陷之間將出現較多的重疊, 縱向上缺陷程度的競爭變得激烈, 使得最終缺陷纖維根數和缺陷數目不成正比, 因此對系統力學性質的影響趨于平緩. 為了進一步說明這一點, 減小缺陷尺寸, 將缺陷尺寸上限設定為β= 40, 模擬結果如圖4 插圖所示. 這樣在保持缺陷個數的變化區間不變的情況下, 由于缺陷的尺寸較小, 缺陷的重疊可以忽略不計, 也就是縱向上缺陷程度的競爭現象不明顯, 此時缺陷纖維的根數和缺陷數目近似呈線性關系, 表現在模擬結果上就是臨界應力與缺陷數目之間近似呈線性關系. 以上模擬結果也說明, 減小缺陷尺寸使得模型從團簇狀缺陷向非團簇狀孤立缺陷轉變, 在接下來的分析中將根據最大雪崩尺寸和負載加載步數的變化情況討論團簇狀缺陷模型和非團簇狀缺陷模型的區別.

圖4 臨界應力隨缺陷個數α 的變化關系, 插圖為β =40 時臨界應力隨著缺陷個數α 的變化關系, 此時臨界應力接近于線性變化Fig. 4. Relationship between critical stress and the number of defects α. In the inset, the relationship between critical stress and the number of defects α with β = 40 is shown, at this time, the critical stress changes linearly with α.

在團簇狀缺陷模型中, 最大雪崩尺寸Δm和負載加載步數step 隨著缺陷個數α呈現相反的變化關系. 如圖5 所示, 缺陷個數從50 個逐漸增加到3200 個, 最大雪崩尺寸和負載加載步數均呈非單調變化, 在缺陷個數為400 附近, 最大雪崩尺寸和負載加載步數都出現了極值. 當缺陷個數從50 增加到400 時, 最大雪崩尺寸逐漸增加, 相應的負載加載步數逐漸減少, 系統更容易在經歷少數大尺寸雪崩后發生宏觀斷裂. 而當缺陷個數由400 繼續增加時, 最大雪崩尺寸開始減少, 而負載加載步數則開始增加, 此時, 系統具有更強的韌性, 在拉伸過程中更不容易發生脆性斷裂. 缺陷個數等于400 是一個極值點, 此時, 系統具有最小的負載加載步數,同時最大雪崩尺寸取最大值, 說明此時系統最接近于脆性斷裂. 而當缺陷個數大于400 時, 隨著缺陷個數增加, 雖然臨界應力單調減小, 但是減小的速度降低了. 另一方面, 負載加載步數反而增加了,說明系統雖然能夠承擔的負載有所下降, 卻具有更強的韌性. 需要注意的是, 以上結果只是在β=150 條件下模擬得到的, 對應了缺陷尺寸比較大的情形. 為了詳細分析極值出現的條件, 又針對不同β值進行了數值模擬. 如圖6 所示, 模擬得到了不同β取值下, 最大雪崩尺寸和負載加載步數隨缺陷個數的變化關系, 其中圖6(a)—圖6(d)分別對應β= 120, 90, 70, 60.

圖5 最大雪崩尺寸 Δm 和負載加載步數step 隨著缺陷個數α 的變化, 在α = 400 處最大雪崩尺寸和負載加載步數均出現極值Fig. 5. The maximum avalanche size ( Δm ) and the step number of load increase (step) vary with the number of defects. The maximum avalanche size and the step number of load increase reach the extreme value at α = 400.

圖6 不同β 取值下的最大雪崩尺寸和負載加載步數極值的出現情況 (a) β = 120; (b) β = 90; (c) β = 70; (d) β = 60. 當β 取值較大時最大雪崩和加載步數與缺陷個數α 存在類似二次函數的關系Fig. 6. The extreme values of the maximum avalanche size and the step number of load increase with different β: (a) β = 120; (b) β =90; (c) β = 70; (d) β = 60. When the value of β is large, there is a similar quadratic function between the maximum avalanche, the step number of load increase and the number of defects α.

在不同的β取值下, 最大雪崩尺寸和負載加載步數隨著缺陷個數的變化規律存在明顯差異. 當β= 120 時, 最大雪崩尺寸和負載加載步的極值點出現在α= 800 處. 當β= 90 時, 最大雪崩尺寸和負載加載步數的極值點出現在α= 1200 處. 而當β降到70 時, 最大雪崩尺寸和負載加載步數的極值點增加到α= 2300. 可以發現, 隨著缺陷尺寸上限β的降低, 最大雪崩尺寸和負載加載步數出現極值點對應的缺陷個數α的值逐漸增大. 在β=60 時, 增大α的變化范圍, 進一步模擬發現, 此時極值點出現在α= 3200 附近. 不難發現, 當系統的缺陷尺寸較大時, 最大雪崩尺寸和負載加載步數的極值出現在缺陷個數較小時, 隨著缺陷尺寸的降低, 這一極值出現在更大的缺陷數目處, 當缺陷尺寸足夠小時, 極值逐漸消失. 這就說明, 在不同的缺陷尺寸上限β取值下, 模型中缺陷可以表現出不同的性質, 當β較大時, 模型缺陷可以看成團簇狀缺陷, 而當β取值較小時, 則表現出非團簇狀缺陷的性質. 雖然缺陷尺寸不同, 但是在極值點之前, 最大雪崩尺寸和負載加載步數的變化性質相似, 也就是說如果缺陷個數被限制在一定范圍內, 團簇狀缺陷模型也會過渡為非團簇狀缺陷模型.

由于模擬采用了應力控制型拉伸方式, 在拉伸斷裂過程中會產生一系列雪崩, 雪崩尺寸是反映雪崩過程的主要參量, 而雪崩尺寸分布則能夠很好地描述模型在斷裂過程中的統計性質. 圖7 為不同缺陷個數取值下雪崩尺寸分布的統計結果, 為了更好地展示雪崩尺寸分布的統計性質, 圖中使用了雙對數坐標. 與平均應力再分配的模型不同, 一般情況下, 最近鄰應力再分配下, 由于存在著顯著的局域相互作用, 雪崩尺寸分布一般不滿足簡單的冪律分布. 從本文模擬結果可以看出, 和其他最鄰近應力再分配下的纖維束模型類似, 整體上雪崩尺寸并不滿足簡單的冪律分布. 但是在雪崩尺寸較小時, 其分布還是能比較好地滿足以下形式的冪律分布:

圖7 缺陷個數α 不同取值下的雪崩尺寸分布Fig. 7. The avalanche size distribution under different values of the number of defects α.

其中Δ為負載每次準靜態加載所引起的雪崩尺寸,即每次加載后纖維的斷裂數. 從圖7 可以看出, 在缺陷個數為100 和800 時, 對于較小尺寸的雪崩,其雪崩尺寸分布的冪律指數滿足δ= 6.5 和δ=5.9. 以上統計結果顯示, 缺陷個數對模型拉伸斷裂過程統計性質的影響較小, 只小幅度地影響了較小尺寸雪崩尺寸的冪律分布指數.

4 缺陷尺寸上限β 對斷裂過程的影響

對于含缺陷的材料來說, 其中的缺陷尺寸也是影響其力學性質的重要參量. 通過以上的分析發現, 缺陷尺寸上限β影響了模型中的缺陷狀態. 接下來, 為了詳細分析缺陷尺寸上限β對模型斷裂性質的影響, 假設缺陷個數α取固定值. 在以上的討論中發現, 如果缺陷個數太小的話, 缺陷之間的相互作用不明顯, 團簇狀缺陷模型會過渡為非團簇狀缺陷模型. 為了使缺陷尺寸上限β對系統的影響較明顯, 在以下的模擬中, 固定缺陷個數α= 800, 模擬缺陷尺寸上限β在20—180 之間變化時系統的拉伸斷裂性質.

圖8 為缺陷尺寸上限對本構關系影響的模擬結果. 可以看出, 由于系統的漲落導致系綜平均以后的模擬結果中, 本構曲線呈現出一定的非脆性斷裂性質. 在系統達到臨界值之后, 應力并沒有立即降為0, 但是對于模型的每一次模擬結果來說, 缺陷或漲落的存在不會影響模型的脆性斷裂性質. 在拉伸的初始階段, 不同缺陷尺寸上限的本構曲線幾乎完全重合, 說明缺陷尺寸對纖維束中較弱纖維的強度分布沒有產生明顯影響, 主要影響了較大強度纖維的強度分布. 隨著缺陷尺寸的增加, 系統的臨界應力和臨界應變單調減小. 不難看出, 隨著缺陷尺寸上限的增加, 本構曲線差距越來越大. 這也說明, 對于尺寸較小的孤立缺陷, 缺陷之間的空間重疊可以忽略, 此時材料拉伸斷裂性質的主要影響因素是缺陷個數, 缺陷尺寸的影響較小. 而當缺陷尺寸較大時, 缺陷之間的空間重疊概率較大, 相互作用較強, 因此缺陷尺寸對材料拉伸斷裂性質的影響較大.

圖8 不同缺陷尺寸上限β 下模型的本構關系曲線Fig. 8. The constitutive curves of the model with different maximum defect sizes.

圖9 為臨界應力σc與缺陷尺寸上限β的關系, 可以清晰地看出, 小尺寸缺陷對臨界應力的影響并不明顯, 隨著缺陷尺寸的增加, 臨界應力迅速減小. 當缺陷尺寸上限足夠大時, 臨界應力隨著缺陷尺寸上限的增加近似呈線性減小. 臨界應力的變化也說明, 較小尺寸的孤立缺陷, 其尺寸對模型拉伸斷裂性質的影響是非常有限的; 而對較大尺寸的團簇狀缺陷, 缺陷之間的空間重疊引起的競爭作用使得系統容易受到缺陷尺寸的影響. 因為缺陷尺寸決定團簇狀缺陷中心的缺陷程度, 導致團簇狀缺陷模型的斷裂性質更容易受到缺陷尺寸的影響.

圖9 不同缺陷尺寸上限β 下的臨界應力, β 值在20—560之間變化Fig. 9. The critical stress at different maximum defect sizes β varying from 20 to 560.

改變缺陷尺寸上限β, 最大雪崩尺寸和負載加載步數隨缺陷尺寸上限β的變化規律如圖10 所示. 隨著缺陷尺寸上限β的增加, 最大雪崩尺寸先緩慢增加后快速增長, 而負載加載步數則相應減小. 這說明缺陷尺寸上限β增加后, 模型更容易在較小的負載加載步數后, 出現較大尺寸的雪崩, 說明此時模型整體上更加體現出脆性斷裂性質. 隨著缺陷尺寸上限β的增加, 最大雪崩尺寸和負載加載步數都沒有出現飽和的趨勢. 這是因為此模型中,增加缺陷尺寸相應增大了團簇狀缺陷中心的缺陷程度, 缺陷尺寸和中心缺陷程度的增加單調地加速了系統的整體斷裂過程. 在保持缺陷中心缺陷程度和團簇狀缺陷尺寸關系不變的情況下, 增加缺陷尺寸和增加缺陷中心缺陷程度是同步的. 而且在團簇狀缺陷內部, 不同纖維的缺陷程度與其空間位置之間滿足較簡單的線性關系. 當然, 不同纖維的缺陷程度與其空間位置之間的函數關系對纖維束拉伸斷裂性質也會產生一定的影響.

圖10 不同缺陷尺寸上限β 下的最大雪崩尺寸和負載加載步數, β 值在20—180 之間變化Fig. 10. The maximum avalanche size and the step number of load increase at different maximum defect sizes β varying from 20 to 180.

圖11 為系統的臨界應力隨著缺陷數目和缺陷尺寸變化的三維空間相圖, 可以看出, 系統的臨界應力對缺陷尺寸很敏感, 當缺陷尺寸較大時, 臨界應力變化很快, 只有當缺陷尺寸減少到足夠小時,其對臨界應力的影響才比較小. 同時, 在缺陷尺寸較小時, 缺陷個數對臨界應力的影響也較小, 只有當缺陷尺寸較大且缺陷個數較少時, 缺陷個數對臨界應力的影響才比較顯著. 相比較而言, 缺陷尺寸上限比缺陷個數對模型斷裂強度的影響更大. 這說明控制系統中缺陷的尺寸處于較小范圍內, 才能使系統拉伸斷裂的臨界應力相對穩定.

圖11 系統的臨界應力隨著缺陷數目以及尺寸變化的三維空間相圖, 其中缺陷數目在50—1200 之間變化, 缺陷尺寸在20—180 之間變化Fig. 11. Phase diagram of critical stress that varies with the number and size of defects, where the number of defects varies from 50 to 1200 and the size of defects varies from 20 to 180.

5 缺陷程度空間衰減方式對斷裂過程的影響

為了分析團簇狀缺陷內部不同纖維缺陷程度的空間分布對纖維束拉伸斷裂性質的影響, 接下來在線性關系的基礎上, 引入不同纖維缺陷程度隨空間的指數分布和常數缺陷兩種分布形式. 缺陷程度隨著空間位置滿足指數變化時, 第i個缺陷中第j根 (從缺陷中心開始計算) 纖維的斷裂閾值表示為

固定缺陷尺寸上限和缺陷個數的情況下, 缺陷程度空間衰減方式分別為線性、指數和常數函數時, 臨界應力隨著中心缺陷程度的變化如圖12 所示. 在三種空間衰減方式下, 臨界應力隨著中心缺陷程度的減小均單調增加. 同時也能發現, 不同的缺陷程度空間衰減方式下, 臨界應力隨中心缺陷程度都有類似的變化規律. 但是空間衰減方式采用指數函數和常數函數的模型其臨界應力的變化曲線很接近, 說明不但變化規律一致, 具體的臨界應力數值也足夠地近似, 而采用線性衰減方式的模型其臨界應力會顯著大于另外兩種形式. 在三種空間衰減方式下, 臨界應力隨著中心缺陷程度的減小逐漸出現飽和的趨勢, 當缺陷中心的缺陷程度足夠小時, 即使缺陷個數和尺寸很大也不會對系統造成顯著的影響. 類似的規律也出現在最大雪崩尺寸和負載加載步數隨中心缺陷程度的變化關系中. 如圖13所示, 最大雪崩尺寸隨著中心缺陷程度的減少而減小, 而負載加載步數則正好相反. 這說明減少中心缺陷程度, 斷裂過程中的負載加載步數增加, 延緩了宏觀斷裂發生的進程. 而相應地兩次負載加載之間所能夠斷裂的纖維根數, 也就是雪崩尺寸減小了, 同時最大雪崩尺寸也變小了, 說明系統的斷裂進程相應延緩了. 在三種空間衰減方式下, 最大雪崩尺寸和負載加載步數隨著中心缺陷程度的減小逐漸出現飽和的趨勢, 當缺陷中心的缺陷程度足夠小時系統受缺陷的影響很小. 中心缺陷程度和缺陷尺寸之間都是單調的變化關系, 因此, 中心缺陷程度和缺陷尺寸上限對斷裂性質具有類似的影響關系.

圖12 缺陷程度空間衰減方式分別為線性、指數和常數函數情況下的中心缺陷程度對臨界應力的影響, 缺陷個數為800, 缺陷尺寸上限為150Fig. 12. The influence of the degree of central defect on the critical stress when the spatial attenuation modes of the defect degree are linear, exponential and constant functions.The number of defects is 800, and the maximum defect size is 150.

圖13 缺陷程度空間衰減方式分別為線性、指數和常數函數情況下, 最大雪崩尺寸和負載加載步數隨中心缺陷程度的變化. 缺陷個數為800, 缺陷尺寸上限為150Fig. 13. The maximum avalanche size and the step number of load increase vary with the degree of the central defect when the spatial attenuation modes of the defect degree are linear, exponential and constant functions. The number of defects is 800, and the maximum defect size is 150.

6 結論與討論

本文在已有含缺陷纖維束模型的基礎上, 考慮到缺陷的尺寸大小和內部纖維的不同空間衰減形式, 構建了含團簇狀缺陷的纖維束模型. 此模型中的缺陷尺寸大小和位置分布均采用均勻分布, 團簇狀缺陷中心纖維的缺陷程度最大, 且隨著缺陷尺寸的增加而增大. 模型先假設了每個團簇內部纖維的缺陷程度從中心向外呈線性衰減, 后又引入了指數衰減和常數缺陷程度兩種空間衰減形式. 在本團簇狀缺陷的纖維束模型中, 最主要的兩個影響因素就是缺陷個數α和缺陷尺寸上限β. 應用數值模擬的方法, 分析了該模型在最近鄰應力再分配下, 進行準靜態負載加載時的拉伸斷裂性質, 主要分析了缺陷個數和缺陷尺寸上限對斷裂的宏觀力學性質和斷裂統計性質的影響, 這包括本構曲線、臨界應力、負載加載步數、最大雪崩尺寸和雪崩尺寸分布.

在保持缺陷尺寸上限β不變的情況下, 改變缺陷個數α的大小, 通過數值模擬發現, 臨界應力和臨界應變都會隨著缺陷個數α的增加而減小. 當缺陷尺寸上限比較大的時候, 即使缺陷個數很少,但依然會對宏觀和微觀斷裂過程造成比較大的影響. 原因是缺陷雖然個數少, 但是尺寸足夠大, 纖維的缺陷程度也足夠大, 但不同缺陷之間的重疊競爭不明顯. 隨著缺陷個數α的增加, 不同缺陷間的重疊競爭也越發激烈, 但是對斷裂過程的影響卻相對α較小時減緩了, 這說明不同缺陷間的競爭機制會減緩系統整體缺陷程度隨缺陷個數的變化. 雖然缺陷個數的增加會強化缺陷間的競爭作用, 從而減緩系統整體缺陷程度的增加, 但是當缺陷個數較小, 即競爭機制不強時, 增大缺陷個數依然會加速系統的斷裂, 因此最大雪崩尺寸和負載加載步數隨著α的變化必然會出現極值. 進一步分析極值出現的條件發現, 隨著β值的增加極值對應的α值不斷減小, 這說明增加缺陷尺寸在一定程度上也會增加缺陷間的競爭.

在固定缺陷個數的取值, 改變缺陷尺寸上限β時, 模擬發現, 而當缺陷尺寸上限比較小時, 其對斷裂過程影響并不大; 而隨著缺陷尺寸上限的增加, 其對模型斷裂過程的影響越來越顯著. 原因是當缺陷尺寸比較小的時候, 相應缺陷程度也較小,即使缺陷數目很多, 但是對整個系統斷裂性質的影響并不大. 而隨著缺陷尺寸上限的增加, 由于大尺寸缺陷的引入, 出現了缺陷間的重疊競爭作用, 因此, 隨著缺陷尺寸的增加斷裂進程加快. 對于缺陷中纖維的缺陷程度, 除了假設缺陷中心纖維的缺陷程度隨著缺陷尺寸線性變化, 且缺陷內部不同纖維的缺陷程度也隨位置呈線性衰減外, 為了分析缺陷內部纖維的缺陷分布對系統斷裂性質的影響, 又引入了指數衰減和常數缺陷兩種空間衰減形式. 通過數值模擬分析了三種空間衰減形式下中心纖維缺陷程度對斷裂性質的影響. 結果表明, 缺陷尺寸、中心纖維缺陷程度以及缺陷內部的缺陷程度空間衰減方式都會對材料的承受負載能力和韌性產生影響.

無論是缺陷個數還是缺陷尺寸上限對臨界應力的影響都是單調的. 增加缺陷個數α和缺陷尺寸上限β, 臨界應力都會單調減小, 即纖維束系統強度逐漸減小. 但是值得注意的是, 在β取值較大時,α對σc的影響逐漸平緩, 而β對σc的影響逐漸加強. 這是因為團簇狀缺陷模型的缺陷程度隨缺陷尺寸的增大單調增加, 因而增加缺陷尺寸時既增加了系統缺陷纖維的比例, 又增加了缺陷纖維整體的缺陷程度, 所以對系統斷裂強度的影響越來越大. 而增大缺陷個數并不直接影響纖維的缺陷程度, 反而由于重疊競爭機制減緩系統缺陷纖維比例的增加. 總之, 本文的模擬結果表明, 材料中的缺陷尺寸和個數均會對材料拉伸力學性質產生顯著的影響. 而當大尺寸的缺陷存在時, 即使缺陷個數較少, 也會顯著降低材料的承載性能. 本文的模擬結果對復合材料的設計、制備和加工過程中優化設計方案和加工工藝、改善制備方法具有一定的理論意義. 文中考慮了空間對稱缺陷, 但實際的缺陷可能包含更復雜的非對稱形態, 在后續研究中將分析這種復雜的含非對稱缺陷的纖維束模型.