基于Matlab的信號分析與數字濾波器設計

趙子曦

摘要：對于信號的時域分析只能獲取部分信息，因此在頻域作出信號頻譜以輔助分析顯得十分重要。在進行頻譜分析后，會發現信號包含復雜噪聲，因此使用軟件設計濾波器去噪。在Matlab的基礎上，本文首先采用經典的傅里葉變換對各類信號進行頻譜分析，然后用窗函數法設計FIR數字濾波器。在聲音信號上的實驗證明，本文設計的FIR數字濾波器可以有效壓制噪聲，提取良好聲音信號。

關鍵詞：信號頻譜分析; Matlab;濾波器;信號去噪中圖分類號：TP311? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）29-0114-02

進入21世紀以來，計算機技術飛速發展，大數據、物聯網、人工智能（AI：Artificial Intelligence）成為學界、工業界的研究熱點，隨之對信號分析技術提出了更高的要求，也帶來了新的機遇。

在摩爾定律的基礎上，計算機有限的算力在復雜數據的處理上顯得吃力，而現代數據處理又十分追求更高的效率、更快的速度和更準確的結果。Matlab是工程領域應用廣泛的一款成熟軟件，它擁有強大的矩陣運算能力和科學數據處理能力，可以處理十分微小的電路信號，因此使用Matlab進行信號分析與處理、數字濾波器設計等對于電路分析、小信號分析、波形重整具有十分重要的意義。

1信號頻域分析

1.1離散傅里葉變換與窗函數

實際上，計算機存儲的所有數據都是離散的，它們需要運用時域和頻域都是離散的離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）進行處理。TD（Time-Domain）連續信號經采樣后，通過快速傅里葉變換成為FD（Frequency-Domain）采樣。通過數學表達式繪圖，不難看出輸入DFT進行變換的時域信號和變換后輸出的頻域信號均為有限長序列，即主值序列。

在實際應用中常采用快速傅里葉變換計算DFT：

連續周期、連續非周期、離散周期、離散非周期信號的頻譜與 DFT之間的關系：時域上的信號是非周期的，則頻域上的信號是連續的;時域上的信號是周期的，則頻域上的信號是離散的;反之亦然。

在對信號進行處理的過程中，會出現各種各樣的錯誤，最典型的有混疊現象、泄露現象、柵欄效應。

混疊現象：連續信號的采樣參數設置與采樣定理相悖，信號頻譜受到此影響而改變出現的高低頻率成分混疊現象。因此，當使用采樣信號求解原始信號的過程中，頻域信息無法正確反解，形成嚴重的失真。泄露現象：當取樣長度不是全函數長度時，會發生泄露效應，函數對應頻率附近出現譜線。柵欄效應：對信號的采樣，實際上是先把連續信號利用泰勒公式在頻域上進行表示，后由離散傅里葉變換計算頻譜再采樣。那么就存在基頻以及n倍基頻，這些頻率點就像是“柵欄”，把連續信號分隔成細微的部分，這種現象就是柵欄效應。

在這三種干擾中，其中最為嚴重的失真就是頻譜混疊，而由于計算機無法截取全部長的信號，所以應用采樣定理。為了避免采樣定理過程中存在的常見干擾和信息損失，一般使用窗函數來截取信號，即通過加窗可以更好地對信號進行頻域分析。

1.2頻域信號分析

利用FFT，分析連續周期方波信號的頻譜：通過改變采樣率與時間截斷長度，分別研究頻譜的混疊與泄漏。

2數字濾波器設計

2.1數字頻率、模擬頻率與FIR濾波器

傳統的硬件濾波一般對應模擬頻率f：每秒經歷多少個周期，單位Hz，即1/s;模擬角頻率Ω：每秒經歷多少弧度，單位rad/ s，而軟件濾波對應數字頻率ω，即每個采樣點間隔之間的弧度，單位rad。二者的關系為Ω=2pi*f;ω=Ω*T，如果需要歸一化，那么 ω除以2*pi 即可。

在模擬頻率、數字頻率之間映射完成之后，使用窗函數法（傅里葉級數法）設計理想的數字錄波器。給定一組頻率響應 H（jΩ），則由 IDTFT 可得出濾波器的單位脈沖響應：

由于是理想濾波器，故hd[k]是無限長序列。但是我們所要設計的 FIR 濾波器，其 h[k]是有限長的。為了能用 FIR 濾波器近似理想濾波器，需將理想濾波器的無限長單位脈沖響應hd [k]分別從左右進行截斷。當截斷后的單位脈沖響應hd[k]不是因果系統的時候，可將其右移從而獲得因果的 FIR 濾波器。

設計的核心過程為：理想濾波器頻率設計->反變換時域無限長信號->信號截斷->右移變因果系統。

2.2數字濾波器設計內容

設計FIR數字低通濾波器，截止頻率ωc=π/4，在不同窗口長度（N=15，33分別求出h（n）的幅頻、相頻特性，觀察3dB帶寬和20dB帶寬以及阻帶最小衰減，總結窗口長度N、窗函數特性對濾波特性的影響。

窗函數法設計FIR濾波器的技術路線：首先根據阻帶最小衰減對照相關表格、窗函數，估算ωs與ωp，計算窗口長度N，N≈ A/Bt，A取決于窗函數類型。利用接著fir1（）函數計算出濾波器系數，最后使用濾波函數filter（）得到濾波后的函數。

3聲音信號的濾波

聲音信號濾波包含如下操作過程，首先利用電腦聲卡進行人聲采集，而后在Matlab中導入該信號，并作頻譜分析，接著由其頻譜特性隨機加入正弦噪聲，最后選用有限脈沖響應FIR濾波器進行濾波，并將輸出信號與原信號對比評價。

聲音信號使用蘋果筆記本電腦 MacBook Air_Cirrus Logic CS4206A （AB 126）聲卡采集，環境聲音需大小在30db左右，麥克風格式設置為2通道、32位、44100Hz（錄音師音質）?？紤]到信號處理量，信號時長一般為8s左右為宜，在這種采集情況下，默認原始信號無噪。

利用 MATLAB 中的audioread函數把語音信號轉換成序列，得到信號信息，然后在各個時間點加入正弦信號分量。

對于語音去噪現在已經有一些比較成熟的方法，如小波變換法、小波包變換法以及濾波器法。利用小波的方法去噪設計過程相對煩瑣，因此，考慮到FIR濾波器具有線性相位且易于設計實現，本文選用FIR濾波器方法，加上hanning窗來實現去噪功能。

4 總結

本文對信號進行頻譜分析，通過利用FFT分析連續周期方波信號的頻譜得出：采樣率設置為3～4倍方波基頻，否則實信號以fs為采樣速率的信號在 fs/2處混疊，fft結果中前半部分對應[0， fs/2]，后半部分對應[ -fs/2， 0]。漢明（Hanning）窗使頻譜旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能，有效抑制了頻譜泄露現象。窗口長度N越大，濾波器階數越高，過渡帶越窄，且窗函數可以明顯改善截斷效應。

實驗證明，Matlab在信號處理領域已經十分成熟易用，但是其本身仍舊存在幾點局限性。第一，文件命名不可以使用函數名和中文字符，否則程序會崩潰或無法正常運行;第二，Mat?lab在處理聲音信號的時候對硬件要求較高，需要花費的時間也很長，這也是控制聲音信號在十秒以內的原因。此外，從原理上來說，計算機無法對連續信號進行分析，每一個實際的連續信號實際上都是采樣信號，即各種信號截斷、轉換都是在DFT的基礎上，與實際總是存在誤差。

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【通聯編輯：李雅琪】