“找次品”方法背后的道理

文|沈強(qiáng)

在教學(xué)“找次品”中，為了用最少的次數(shù)且保證找到次品，會(huì)引導(dǎo)學(xué)生把物品分成三堆，而且盡可能均分。那如何讓學(xué)生理解其中的道理，可以對以下兩個(gè)問題展開討論與交流。

一、為什么要分成三堆？

例如：8個(gè)乒乓球里有1個(gè)是次品（次品重一些），假如用天平稱，至少稱幾次就保證一定能找出次品？呈現(xiàn)各種分法，讓學(xué)生尋找次品所在的范圍。如果分成兩堆（4，4），稱一次后次品鎖定在4個(gè)中；如果分成三堆（3，3，2），稱一次后次品會(huì)鎖定在最多的一堆3個(gè)中，因?yàn)閿?shù)學(xué)是研究運(yùn)氣最差的情況；如果分成四堆（2，2，2，2），任意挑兩堆稱一次后，次品還是鎖定在另外兩堆（2，2）中，也就是鎖定在4個(gè)中。從理論上講，次品鎖定的范圍越小，找的機(jī)會(huì)就越大。

當(dāng)然并不是所有的數(shù)量都要分成三堆，比如在6個(gè)中找一個(gè)次品，分成兩堆和三堆，稱的次數(shù)是一樣的。這樣的數(shù)還有很多，像10個(gè)、12個(gè)……但有些數(shù)比如8個(gè)或16個(gè)之類的數(shù)，通過推理和計(jì)算發(fā)現(xiàn)，分成三堆比分成兩堆的方法更優(yōu)。要使稱的次數(shù)盡可能少，分成兩堆的方法具有局限性，而分成三堆的方法具有通用性，所以在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，努力引導(dǎo)學(xué)生將物品分成三堆。

二、為什么要盡可能均分？

以100個(gè)乒乓球（有一個(gè)次品，較重）為例，如果把100個(gè)分成（49，49，2），稱一次后，最壞的情況是將次品鎖定在49個(gè)里；如果分成（48，48，4），稱一次后最壞的情況是將次品鎖定在48個(gè)里；如果是（47，47，6），稱一次后最壞的情況是將次品鎖定在47個(gè)里……稱一次后，要找到三堆中最大的數(shù)量作為下一次需要重新分配稱量的總量。那如何使三個(gè)數(shù)中的最大值盡可能的小？將三個(gè)數(shù)變得相等或盡可能接近，就會(huì)使最大值降到最小。

在“找次品”教學(xué)中，不僅要教給學(xué)生最快找到次品的方法，更要讓學(xué)生知道其背后的道理，真正做到“知其然知其所以然”。