小學除法教學中的三重境界

馮細華

[摘要]基于教師對知識模塊的整體把握和學生對知識體系的主動建構的認識，借用國學大師王國維具有詩人的靈動、美學家的敏感、哲學家的參悟的三句話來描述對除法教學的理解和把握。整數除法奠定了除法運算的基礎，更是確定了方向、鋪就了道路，經過小數除法的“摸爬滾打”“百煉成鋼”后，到學習分數除法時必將有“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫”的輕松達標與成功的愉悅。

[關鍵詞]除法教學;方向技巧;三重境界

在教育理論、教育觀念豐富多元的當代，要切實履行“以學定教、以教促學”的理念，教師的自我修煉和提升有艱苦而漫長的路要走，基于教師對知識模塊的整體把握和學生對知識體系的主動建構的粗淺認識，筆者借用國學大師王國維具有詩人的靈動、美學家的敏感、哲學家的參悟的三句話來描述筆者對除法教學的理解和把握。

一、“昨夜西風凋碧樹。獨上高樓，望盡天涯路”——整數除法

小學二年級開始整數除法的學習，教學活動便一步步漸入“昨夜西風凋碧樹”的境界。通過分物的活動體會每份分得同樣多便是平均分，把這類活動的操作、思維過程和結果用算式記錄下來便是除法運算。很多教師和家長常常奔著算式去引導學生的學習，過早地將具體運算、形式運算推送給學生，忽略了活動內容的豐富性和形式的多樣性的作用，導致與學生的認知發展規律相悖的后果。

其實教師應該結合兒童前運算階段的特征（思維活動具有相對具體性，不能進行抽象運算思維;思維具有不可逆性：兒童不能在心理上反向思考他們見到的行為，不能回想起事物變化前的樣子）來強化學生對數學活動的體驗：通過動手分、動筆圈、合作擺，以及后段經歷還有剩余的情境，讓學生加深對除法本質的理解，這對后續豎式筆算的學習有著非常重要的作用（包括設計“等分除”、“包含除”等情境的活動）。

例如：教師可讓學生充分體驗先每份放幾個還有剩余，還可以每份放一個，如果發現不夠再回頭調整，減少每份放的個數。這樣的操作為試商、調商積累數學活動經驗。

再比如：在別的教師安排學生分幾大捆和幾小捆小棒的活動的基礎上，筆者安排了將552元獎金（現鈔）平均分給兩個獲獎者的表演活動讓孩子經歷：每人分3張百元，還差一張;每人分2張百元，還多一張百元;換成10張十元可與另外5張合起來，每人再分十元面額的，每人分到7張十元，又多1張十元的;最后將這張十元換成10張1元面額的又可以繼續分。

這些“昨夜西風凋碧樹”的歷練是三年級的分步求商、四年級的試商調商和五年級的小數除法的教學所必要的數學活動經驗的積累。

三年級的除法學習主要是口算除法和分步求商，在二年級的基礎上又螺旋上升了一級。教師應變“教教材”為“用教材教”，筆者把“結余多少錢——連加連減”內容的學習與乘法、除法（包含除）進行關聯比較，還專門安排了一節課研究“將552元獎金平均分給兩個獲獎者的活動”的算式書寫及其每一步所表示的意義：

筆者請學生上臺協助，一人記錄分的過程與結果，兩人演示分的過程：先分到2個一百元后，將剩下的一百元轉化為10個十元，合起來是15個十元，再分到7個十元，同理，將剩下的1個十元轉化為10個一元，合起來是12個一元，又分到6個一元;結果是每個獲獎者分到2個百元，7個十元和6個一元，共276元。

在此筆者進一步揭示了除法的本質是平均分，分步求商就是將各個數位上計數單位的個數逐一平均分，最后的商就是各數位上分得的個數組成的，結合數位順序表可以很好解釋商里有0的問題。

這樣的縱向聯系是一種對舊知識的回顧、內化，對新知識建構的鞏固、拓展所作的嘗試。

到了四年級就要“獨上高樓，望盡天涯路”了。掌握了三位數除以兩位數的試商與調商、商不變的規律，整數除法所必備的技能得以完善，后續的小數除法學習便方向明確、輕車熟路了。

二、“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”——小數除法

五年級的小數除法學習，學生除了要沐浴轉化思想的光輝、借力商不變的規律外，既要經受整數除法的全程考驗，又要接納小數點位置的移動、商里不同位置有0、循環小數和四舍五入的多重煎熬，因此，“為伊消得人憔悴”在所難免。

“打鐵還需自身硬”。在此前的學習中，只要諳熟分步求商的道理（包括哪一位不夠商1要商0占位），先解決除數是整數的小數除法——從除到被除數末尾無余數、商無需補0到除到被除數末尾有余數，需添0繼續除或商需要補0的問題;再解決除數是小數的小數除法——需要先將除數轉化為整數、根據商不變的規律被除數的小數點也要同步移動相同的位數或者說將被除數擴大相同倍數的問題，小數除法的算理似乎就懂了，算法似乎就會了。但往往事與愿違，學生不是這里失誤就是那里犯錯，除了嚴格按照循序漸進的原則放慢節奏，穩步推進教學，步步為營外，針對先前學過的知識學生因為時間久、熟練程度不夠而陌生或遺忘，教師得采取有效措施進行預防、補救。

為此，筆者十分注重前測和復習、鞏固，在新課預習環節筆者會通過編制復習題、前測題讓學生存在的問題暴露出來，課堂上有針對性地展開教學，課后通過發布微課視頻、鞏固練習進行補救。

這個過程師生都很辛苦，但扎實開展一段時間后，效果明顯，那種浴火重生的喜悅如期而至。

三、“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”——分數除法

五年級下學期圍繞分數的四則運算逐步開展教學，直到接觸分數除法。學生往往更多地局限于算法，而對算理的理解不太明了（除法是乘法的逆運算），嘗試幾次真正的除法運算后，發現學習倒數后解決分數除法的計算問題居然都是轉化為分數乘法來進行。

這樣，解決問題的過程中，根據除法的意義列除法算式，計算時都轉化為乘法算式來計算。這正好與二年級想乘法口訣算除法類似，原來所有的除法計算都離不開乘法計算，而分數除法干脆轉化為乘法來計算了。

驀然回首的發現、頓悟讓師生釋懷、舒心。

總之，整數除法奠定了除法運算的基礎，更是確定了方向、鋪就了道路，經過小數除法的“摸爬滾打”“百煉成鋼”后，到學習分數除法時必將有“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫”的輕松達標與成功的愉悅。