反距離權重插值法模擬降水分布時的冪系數優化

陳 星

(廣東省水文局韶關水文分局，廣東 韶關 512028)

降水分布情況可用于流域水資源量計算[1-3]、降水分布規律及時空變化特征分析[4-7]、洪水預警預報分析[8-9]等水文學研究工作當中。反距離權重插值法是4種常用的區域平均降雨深的確定方法之一[10]。本文主要針對反距離權重插值法在模擬降水分布時采用的一種權重冪系數動態優化方法進行討論。

1 反距離權重插值法

已知數個雨量站位置及該位置處降水量觀測值,對需要插值計算的區域，以網格劃分為多個子區域，各子區域的降水量，按如下方式插值：

(1)

式中:

Pi——待求的第i個子區域降水量；

Pj——區域內第j個雨量站的降水量觀測值；

n——區域內的雨量站數；

λj——區域內第j個雨量站的權重。

其中λj通常定義為：

(2)

(3)

式中:

dij——第i個子區域中心至第j個雨量站的距離;

α——權重冪系數。

2 權重冪系數的動態優化

對于鄰域內已知點高度聚集的插值點，由于所有相鄰已知點都應當帶有相對較大的權重，因此傾向于使用較小權重冪系數；反之當插值點領域內已知點相對分散時，來自最近的已知點的估算可能會有更高的可靠性，為提高其權重，傾向于使用較大的權重冪系數[12]。

2.1 位置特征值

引入一個位置特征值來表示插值點在計算區域中與各已知點之間的位置的特征，以此來決定權重冪系數的取值。位置特征值由密集系數和方位系數兩部分組成。

2.1.1密集系數

以插值點與各已知點間距離倒數的方差來表示插值點鄰域內已知點的聚集程度：

(4)

式中:

當插值點遠離已知點群時，與各雨量站間距離倒數相差較小，方差較小；而靠近某個已知點或已知點群時，因其距離倒數樣本值增大，方差變大。為消除不同比例地圖對方差的影響，將方差和插值點與各已知點間平均距離的平方相乘，得到密集系數：

(5)

式中:

Ai——第i個插值點的密集系數。

2.1.2方位系數

特殊情況下，當插值點位于點群中心，且與各已知點的間距相差不大時，其密集系數將同樣偏小。此時無法判斷插值點是位于點群中心，還是在點群之外并與所有點都有較大間距。若插值點位于點群中心，又傾向于使用較大的位置特征值，與位于點群之外的情況相反，因此引入另外一個方位系數與密集系數相乘來修正插值點與已知點群間相對位置帶來的誤差。

將插值點與所有已知點連線，求各相鄰連線間的夾角，取最大的一個夾角，規定該夾角為π時，方位系數為1，密集系數即為位置特征值；而當該夾角小于π時，說明插值點正位于點群內部，需要較大的位置特征值，使方位系數大于1；反之則使方位系數小于1。可以按如下方式將最大夾角歸一化為方位系數：

(6)

式中:

Bi——第i個插值點的方位系數;

βmax——最大夾角;

e——自然對數底數。

圖關系曲線示意

使密集系數Ai與方位系數Bi相乘得到位置特征值：

Ki=AiBi

(7)

式中:

Ki——第i個插值點的位置特征值。

2.2 權重冪系數

位置特征值的分布與預想的權重冪系數的分布是相反的，需用使用歸一化公式進行轉換，經分析，當插值點較為遠離已知點群，位置特征值取值約為0.3時，權重冪系數取值4為宜；而當靠近已知點時，使權重冪系數逐漸接近2。可按下式對Ki歸一化處理得到初始權重冪系數：

α0i=-0.4lnKi+3.5

(8)

式中:

α0i——第i個插值點的初始權重冪系數。

當權重冪系數低于2時，模擬的降水分布會圍繞雨量站形成尖銳的峰形，與一般認為的降水沿空間應當有較平滑分布的情況不符，因此規定其最小值取2。

(9)

式中:

αi——第i個插值點的權重冪系數。

各插值點權重冪系數按式(9)中方法取值，權重冪系數隨位置變化而動態變化，稱其為動態取值方法。

3 應用實例

為了演示權重冪系數動態取值方法與常數取值方法插值效果的區別，本文以廣東省始興縣為研究區域，縣域內15個整編雨量站2019年降水量為已知點及其觀測值，分別以權重冪系數取常數2、常數4、動態取值3種方案進行插值。廣東省始興縣15個整編雨量站分布及其2019年降水量如圖2所示，使用動態取值方案時的位置特征值Ki分布如圖3所示。

圖2 始興縣雨量站分布及2019年降水量示意(單位：mm)

圖3 動態取值方案的位置特征值Ki分布示意

權重冪系數取值分別為常數2、常數4、動態取值時，插值結果如圖4所示。

a)冪系數2

b)冪系數4

c)動態冪系數

3.1 插值點分布對比

在降水分布圖上對插值點均勻采樣，每張分布圖上的樣本數量為4 828個。3種方案下的插值點樣本標準差見表1所示；將樣本按數值大小分成10個等值區間，每個區間內的插值點樣本數量占比如圖5所示，將各樣本按數值從低到高的序列排列(如圖6所示)。

表1 3種方案所得樣本標準差

圖5 3種方案所得樣本在各數值區間的占比示意

a) 冪系數2

b) 冪系數4

c) 動態冪系數

從圖5可見，當權重冪系數為2時，最大、最小兩個區間的樣本偏少，僅占總數的5.9%；而位于20%～70%的中間各區間樣本占比則高于使用冪系數4或動態冪系數時的數量；從圖6可見，該方案下最小的4個已知點和最大的4個已知點位置非常接近，對應的頭尾兩段曲線斜率明顯高出中間部分。從表1可見其標準差也小于另外兩種方案。顯然，在使用2作為權重冪系數時，其插值點整體分布將更趨向于所有參與插值的已知點的平均值，多數點子聚集于數值的中間部分，數值上偏大和偏小的已知點能夠影響的范圍有限。

相比于以2作為權重冪系數，另外兩種方案的樣本在各數值區間的分布更加均勻；在圖6的序列曲線上各已知點附近的曲線斜率更為一致，兩段的已知點同樣能夠有效影響到附近的插值點。這兩種方案在樣本標準差、在各數值區間的分布、樣本點序列分布較為一致，主要區別在于：當取冪系數4時，在已知點附近更容易形成數值相近的點群聚集，如中心桃、北山、司前、澄江、小古菉4個點附近均有較多數值相近的樣本聚集，分布曲線呈現為階梯狀；相比之下取用動態冪系數時分布曲線更為平滑，圖5中最大、最小區間的點子數量略高于使用動態冪系數時的數量，也是位于兩端的已知點形成的數值相近的點群范圍更大導致的。

3.2 剖面對比

選取3條剖面，在剖面上對3種插值方案所插數值進行比較，3條剖面位置如圖7所示，各剖面對比如圖8所示。

圖7 3條剖面位置示意

a) 剖面1

b) 剖面2

c) 剖面3

從圖8可以看出，當取用冪系數2時，插值點在距離已知點很近的地方形成了凸出的峰形，當插值點遠離某個已知點時，該已知點對插值點的權重迅速下降，而在缺少距離較近的已知點時，插值會趨向各已知點的平均值，如在剖面2中的小古菉—結龍灣段、梅子窩—車扒嶺段，中間都有大幅偏向平均值的凸起。一般認為，當兩個雨量站觀測的降水量相近時，兩個站之間的降水量會與兩個站的觀測值相近，相比之下，取用冪系數4或動態冪系數時，這兩段已知點之間的過渡更加平直；通過剖面1中的結龍灣—始興段、剖面3中的小古菉—始興段，也可以看出當已知點距離剖面有一定距離時，使用后兩種方案仍然可以對插值點產生顯著的影響，而取用冪系數2時則會大幅偏向各已知點平均值。

取用冪系數4或動態冪系數時，整體結果較為一致，主要區別為：取用冪系數4時，各已知點會在一定距離內的插值點上獲得壓倒性的權重，表現為在已知點周圍插出面積較大的、數值相近的點群，如剖面2的結龍灣、梅子窩、車扒嶺，剖面3的北山附近，插值點的分布最平坦，延續的距離最長。這種情況會導致相鄰的兩個點群之間形成更加陡峭的過渡；當已知點較密集且呈梯度分布時，插值點容易呈現階梯狀分布，如剖面3中結龍灣—小鐵寨—小安—黃騰徑段；而采用動態冪系數時，各已知點附近形成的點群范圍較小，在階梯分布的已知點附近也可以獲得更為平緩的過渡。

3.3 點群分布對比

對3.1中獲得的采樣點，在已知點相鄰的區域中查找與其數值相近的采樣點作為點群。規定采樣點值與該已知點值之差不超過所有已知點最大值與最小值的差的某個百分比時，視為數值相近。百分比分別取0.1%、0.5%、1%時，3種方案獲得的點群如圖9～圖11所示，點群占所有采樣點的比值見表2。

a) 冪系數2

a) 冪系數2

a) 冪系數2

表2 3種方案點群占采樣點比值 %

從圖9～圖11及表2可見，當取權重冪系數2時，由于在附近插值點中的權重衰減過快，許多已知點在插值面上形成高凸的峰形。其點群是最小的，并且其點群容易形成蝌蚪狀尾巴，如深渡水、司前、中心桃，最夸張的是圖11a)中中心桃的點群，已經繞到隘子的背后了，此時在隘子南部已經沒有已知點了，該部分插值點應當更多地考慮隘子的權重，顯然在此處的插值是不合理的。另外兩種方案下的點群一般呈團狀，即便有蝌蚪狀尾巴長度也較短，基本能在附近的插值點中保留已知點的特征。

當取權重冪系數4時，點群是最大的，即使只考慮0.1%范圍內的點群也占到了所有采樣點的9.8%，已知點附近的插值面非常平坦，呈圓臺狀，這又會導致點群間的過渡陡峭，整體分布不夠平緩，與上文中的結論一致。

采用動態冪系數時在一定程度上規避了前兩種方案的缺點，但是在圖9c)中，司前、中心桃的點群是不連續的，原因是已知點附近位置特征值過高，導致在遠離已知點的過程中實際權重先迅速減小然后再增大，使得該處插值點的分布也出現了一定的反曲波動。

4 結語

通過對比3種方案的插值結果，認為：當取用小的冪系數時(冪系數2)，已知點在其附近插值點中的權重衰減迅速，大部分的插值點會偏向所有已知點平均值，無法保留其附近已知點的特征；取用大的冪系數時(冪系數4)，已知點在其附近插值點中的權重衰減緩慢，已知點附近形成與其值相近的點群，各點群間有陡峭的過渡；而當取用動態冪系數時，插值點在能較好保留附近已知點特征的同時，在不同的已知點之間也能形成平緩的過渡，更加接近現實中降水分布的情況，模擬效果較好。雖然已知點附近可能出現反曲波動，但是波動的范圍、數值都較小，在實際應用中可以忽略不計。

雖然本文中動態冪系數的計算過程較為復雜，但反距離權重插值法本身計算量大，僅適用于借助計算機計算的情景。在計算機的協助下，該計算過程仍然可以高效地完成。此方法可用于推算降水觀測站點分布不均勻的區域降水量、以鄰近站點推算無降水觀測的小區域降水量，也可用于洪水預報中降水分布等分析。